【正文】 ∠DAN+DMN）+（∠DAM+∠DMA）] =180176。﹣（45176。+90176。）=45176。，∴D點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，∠N的大小不變，求出其值為45176。點(diǎn)睛：此題是四邊形綜合題，主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，四邊形面積的計(jì)算方法，角平分線的意義，解本題的關(guān)鍵是用整體的思想解決問題，也是本題的難點(diǎn).如圖1，已知：AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且OE⊥OF．（1）求證：∠1＋∠2＝90176。；（2）如圖2，分別在OE，CD上取點(diǎn)G，H，使FO平分∠CFG，EO平分∠AEH，求證：FG∥EH．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）過點(diǎn)O作OM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠EOM，求出OM∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AEH+∠CHE=180176。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的判定可求解.【詳解】（1）方法一：過點(diǎn)O作OM∥AB ，則∠1＝∠EOM ，∵AB∥CD，∴OM∥CD ，∴∠2＝∠FOM ，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90176。，即∠EOM＋∠FOM＝90176。，∴∠1＋∠2＝90176。；方法二：過點(diǎn)F作FN∥OE交AB于N，則∠1＝∠ANF，∠EOF＋∠OFN＝180176。，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90176。，∴∠OFN＝180176。－∠EOF＝90176。，∵AB∥CD，∴∠ANF＝∠NFD，∴∠1＝∠NFD，∵∠1＋∠OFN＋∠NFD＝180176。，∴∠1＋∠2＝180176。－∠OFN＝90176。；（2）∵AB∥CD，∴∠AEH＋∠CHE＝180176。，∵FO平分∠CFG，EO平分∠AEH，∴∠CFG＝2∠2，∠AEH＝2∠1，∵∠1＋∠2＝90176。，∴∠CFG＋∠AEH＝2∠1＋2∠2＝180176。，∴∠CFG＝∠CHE ，∴FG∥EH.（問題原型）如圖①，AB∥CD，點(diǎn)M在直線AB、CD之間，則∠M＝∠B+∠D，小明解決上述問題的過程如下：如圖②，過點(diǎn)M作MN∥AB則∠B＝_______（_______）∵AB∥CD，（已知）MN∥AB（輔助線的做法）∴MN∥CD（______）∴∠______＝∠D（______）∴∠B+∠D＝∠BMD請完成小明上面的過程．（問題遷移）如圖③，AB∥CD，點(diǎn)M與直線CD分別在AB的兩側(cè)，猜想∠M、∠B、∠D之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．（推廣應(yīng)用）（1）如圖④，AB∥CD，點(diǎn)M在直線AB、CD之間，∠ABM的平分線與∠CDM的平分線交于點(diǎn)N，∠M＝96176。，則∠N＝_____176。；（2）如圖⑤，AB∥CD，點(diǎn)M與直線CD分別在AB的兩側(cè)，∠ABM的平分線與∠CDM的平分線交于點(diǎn)N，∠N＝25176。，則∠M＝______176。；（3）如圖⑥，AB∥CD，∠ABG的平分線與∠CDE的平分線交于點(diǎn)M，∠G＝78176。，∠F＝64176。，∠E＝64176。，則∠M＝_______176。．【答案】(問題原型)∠BMN；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩直線平行；∠NMD；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；(問題遷移)∠BMD＝∠D﹣∠B；證明見解析；(推廣應(yīng)用)（1）∠N＝48176。；（2）∠M＝50176。；（3）∠M＝39176。，【解析】【分析】(問題原型)：過點(diǎn)M作MN∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得答案；(問題遷移)過點(diǎn)M作MN∥AB，由平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠B，∠NMD＝∠D，利用角的和差即可得答案；(推廣應(yīng)用)：（1）利用圖②結(jié)論，結(jié)合角平分線的性質(zhì)即可得答案；（2）利用圖③的結(jié)論，結(jié)合角平分線的性質(zhì)即可得出答案；（3）如圖⑥，過G，F(xiàn)，E分別作GN∥AB，F(xiàn)H∥AB，EP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合角平分線的性質(zhì)利用圖②的結(jié)論即可得出答案.【詳解】(問題原型)：如圖②，過點(diǎn)M作MN∥AB，則∠B＝∠BMN（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD，（已知）∴MN∥AB（輔助線的做法）∴MN∥CD（平行于同一條直線的兩直線平行）∴∠NMD＝∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠B+∠D＝∠BMD，故答案為∠BMN，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，平行于同一條直線的兩直線平行，∠NMD，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，（問題遷移）：如圖③，過點(diǎn)M作MN∥AB，∴∠1＝∠B，∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴∠NMD＝∠D，∵∠NMD＝∠1+∠BMD，∴∠BMD＝∠D﹣∠B；（推廣應(yīng)用）：（1）如圖④，由如圖②的結(jié)論可得，∠ABM+∠CDM＝∠M＝96176。，∠N＝∠ABN+∠CDN，∵BN，DN分別平分∠ABM，∠CDM，∴∠ABN+∠CDN＝＝（∠ABM+∠CDM）＝48176。，∴∠N＝48176。；（2）如圖⑤，由如圖③的結(jié)論可得，∠M＝∠CDM﹣∠ABM，∵BN，DN分別平分∠ABM，∠CDM，∴∠CDN﹣∠ABN＝∠CDM﹣∠ABM＝（∠CDM﹣∠ABM）＝∠M＝∠N＝25176。，∴∠M＝50176。；（3）如圖⑥，過G，F(xiàn)，E分別作GN∥AB，F(xiàn)H∥AB，EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GN∥FH∥EP∥CD，∴∠2＝∠GFH，∠3＝∠EFH，∴∠2+∠3＝∠GFE＝64176。，∴∠1+∠4＝∠BGF+∠DEF﹣∠GFE＝78176。，∵AB∥GN，EP∥CD，∴∠ABG＝∠1，∠CDE＝∠4，∴∠ABG+∠CDE＝78176。，∵BM，DM分別平分∠ABG，∠CDE，∴∠ABM＝∠ABG，∠CDM＝∠CDE，由如圖②中的結(jié)論可得∠M＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABG+∠CDE）＝78176。＝39176。，故答案為48，50，39．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；熟練掌握平行線的性質(zhì)并正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.（1)如圖示，AB∥CD，且點(diǎn)E在射線AB與CD之間，請說明∠AEC=∠A+∠C的理由．(2)現(xiàn)在如圖b示，仍有AB∥CD，但點(diǎn)E在AB與CD的上方，①請嘗試探索∠1,∠2,∠E三者的數(shù)量關(guān)系. ②請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）∠1+∠2∠E=180176?！窘馕觥吭囶}分析：（1）過點(diǎn)E作EF∥AB，由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得到∠A=∠1．由平行的傳遞性得到EF // CD，再由平行線的性質(zhì)得到∠2=∠C，由角的和差即可得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作EF∥AB，類似可得到結(jié)論．試題解析：解：（1）過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠A=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵AB // CD（已知），∴EF // CD（平行的傳遞性），∴∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠AEC=∠1+∠2（圖上可知），∴∠AEC=∠A+∠C（等量代換） ；（2）∠1+∠2∠E=180176。．理由如下：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠4+∠1=180176。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵AB // CD（已知），∴EF // CD（平行的傳遞性），∴∠FEC=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），即∠3+∠4=∠2，∴∠4=∠2∠3（等式性質(zhì)），∴∠2∠3+∠1=180176。（等量代換），即∠1+∠2∠AEC=180176。．點(diǎn)睛：本題考查了平行線的性質(zhì)，作輔助線并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，AE、BF、DC是直線，B在直線AC上，E在直線DF上，∠1=∠2，∠A=∠F.求證：∠C=∠D．證明：因?yàn)椤?=∠2（已知），∠1=∠3（ ）得∠2=∠3（ ）所以AE//_______( ) 得∠4=∠F（ ）因?yàn)開_________(已知) 得∠4=∠A所以______//_______( )所以∠C=∠D( )【答案】答案見解析【解析】試題分析：由平行線的判定與性質(zhì)證明即可．試題解析：解：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（ 對頂角相等 ） ，∴∠2=∠3（ 等量代換 ）∴AE//BF （同位角相等，兩直線平行）∴∠4=∠F（兩直線平行，同位角相等 ）∵∠A=∠F （已知） ∴∠4=∠A∴DF//AC （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴∠C=∠D （兩直線平行 ，內(nèi)錯(cuò)角相等）已知AB∥CD，點(diǎn)E在AB、CD之間，點(diǎn)P、Q分別在直線AB、CD上,連接PE、EQ.(1)如圖1，過點(diǎn)E作EH∥AB，試探究∠PEQ與∠APE+∠CQE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若點(diǎn)E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延長線交PF于點(diǎn)F，當(dāng)∠PEQ=72176。時(shí)，請求出∠PFQ的度數(shù).【答案】（1）∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由詳見解析；（2）144176。.【解析】【分析】（1）∠PEQ=∠APE+∠CQE，過點(diǎn)E作EH∥AB，即可得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APE=∠PEH，∠EQC=∠HEQ,由∠PEQ=∠PEH+∠HEQ即可證得結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作EM∥CD，設(shè)∠QEM＝α，由平行線的性質(zhì)可得∠DQE＝180176。－α，再由角平分線的定義可得∠DQH＝90176。－α；由EM∥CD，AB∥CD，可得AB∥EM，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BPE＝108176。－α，由PF平分∠BPE可得∠BPF＝∠BPE＝54176。－α；作NF∥AB，類比（1）的方法可得∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝54176。－α+90176。＋α=144176。.【詳解】(1) ∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由如下：如圖1，過點(diǎn)E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴EH∥AB∥CD，∴∠APE=∠PEH，∠EQC=∠HEQ,而∠PEQ=∠PEH+∠HEQ.∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；（2）過點(diǎn)E作EM∥CD，如圖，設(shè)∠QEM＝α，∴∠DQE＝180176。－α，∵QH平分∠DQE，∴∠DQH＝∠DQE＝90176。－α，∴∠FQD＝180176。－∠DQH＝90176。＋α， ∵EM∥CD，AB∥CD，∴AB∥EM，∴∠BPE＝180176。－∠PEM＝180176。－（72176。＋α）＝108176。－α，∵PF平分∠BPE ∴∠BPF＝∠BPE＝54176。－α，作NF∥AB，由（1）的方法可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝54176。－α+90176。＋α=144176。.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)的應(yīng)用，正確作輔助線，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．