中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)分類練習(xí)-平行四邊形綜合解答題附答案解析-資料下載頁
2025-03-31 07:34本頁面
【正文】 性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定和性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形或直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．14．小明在矩形紙片上畫正三角形，他的做法是：①對折矩形紙片ABCD(ABBC)，使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平；②沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P處，再折出PB、PC，最后用筆畫出△PBC(圖1)．（1）求證：圖1中的 PBC是正三角形： （2）如圖2，小明在矩形紙片HIJK上又畫了一個正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN．①求證：IH=IJ②請求出NJ的長； （3）小明發(fā)現(xiàn)：在矩形紙片中，若一邊長為6cm，當(dāng)另一邊的長度a變化時，在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形，但位置會有所不同．請根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，畫出不同情形的示意圖(作圖工具不限，能說明問題即可)，并直接寫出對應(yīng)的a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②126（3）3＜a＜4，a＞4【解析】分析：（1）由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）①利用“HL”證Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一點(diǎn)Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15176。，繼而可得∠NQJ=30176。，設(shè)NJ=x，則IQ=QN=2x、QJ=x，根據(jù)IJ=IQ+QJ求出x即可得；（3）由等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進(jìn)行計算，畫出圖形即可．（1）證明：∵①對折矩形紙片ABCD(ABBC)，使AB與DC重合，得到折痕EF∴PB=PC∵沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P處∴PB=BC∴PB=PC=BC∴△PBC是正三角形：（2）證明：①如圖∵矩形AHIJ∴∠H=∠J=90176?！摺鱉NJ是等邊三角形∴MI=NI在Rt△MHI和Rt△JNI中 ∴Rt△MHI≌Rt△JNI（HL）∴HI=IJ②在線段IJ上取點(diǎn)Q，使IQ=NQ∵Rt△IHM≌Rt△IJN，∴∠HIM=∠JIN，∵∠HIJ=90176。、∠MIN=60176。，∴∠HIM=∠JIN=15176。，由QI=QN知∠JIN=∠QNI=15176。，∴∠NQJ=30176。，設(shè)NJ=x，則IQ=QN=2x，QJ=x，∵IJ=6cm，∴2x+x=6，∴x=126，即NJ=126（cm）．（3）分三種情況：①如圖：設(shè)等邊三角形的邊長為b，則0＜b≤6，則tan60176。=，∴a=，∴0＜b≤=；②如圖當(dāng)DF與DC重合時，DF=DE=6，∴a=sin60176。DE==，當(dāng)DE與DA重合時，a=，∴＜a＜；③如圖∵△DEF是等邊三角形∴∠FDC=30176?！郉F=∴a＞點(diǎn)睛：本題是四邊形的綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度較大．15．已知一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為直角邊在第二象限內(nèi)左等腰直角三角形ABC，∠BAC=90176。，如圖1所示．（1）填空：AB= ，BC= ．（2）將△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，①當(dāng)AC與x軸平行時，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90176。時，得到△BDE，如圖2所示，求過B、D兩點(diǎn)直線的函數(shù)關(guān)系式．③在②的條件下，旋轉(zhuǎn)過程中AC掃過的圖形的面積是多少？（3）將△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，點(diǎn)C′為直線AB上的一點(diǎn)，請直接寫出△ABC掃過的圖形的面積．【答案】（1）：5；5；（2）①（0，﹣2）；②直線BD的解析式為y=﹣x+3；③S=π；（3）△ABC掃過的面積為．【解析】試題分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，結(jié)合一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理即可解答；（2）①因?yàn)锽（0，3），所以O(shè)B=3，所以AB=5，所以AO=ABBO=53=2，所以A（0，2）；②過點(diǎn)C作CF⊥OA與點(diǎn)F，證明△AOB≌△CFA，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出直線AC解析式，根據(jù)AC∥BD，所以直線BD的解析式的k值與直線AC的解析式k值相同，設(shè)出解析式，即可解答．③利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)而得出A，B，C對應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案，再利用以BC為半徑90176。圓心角的扇形面積減去以AB為半徑90176。圓心角的扇形面積求出答案；（3）利用平移的性質(zhì)進(jìn)而得出△ABC掃過的圖形是平行四邊形的面積．試題解析：（1）∵一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴A（4，0），B（0，3），∴AO=4，BO=3，在Rt△AOB中，AB=，∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90176。，∴BC=；（2）①如圖1，∵B（0，3），∴OB=3，∵AB=5，∴AO=ABBO=53=2，∴A（0，2）．當(dāng)在x軸上方時，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），②如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥OA與點(diǎn)F，∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠BAC=90176。，AB=AC，∴∠BAO+∠CAF=90176。，∵∠OBA+∠BAO=90176。，∴∠CAF=∠OBA，在△AOB和△CFA中，∴△AOB≌△CFA（AAS）；∴OA=CF=4，OB=AF=3，∴OF=7，CF=4，∴C（7，4）∵A（4，0）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標(biāo)代入得：，解得：，則直線AC解析式為y=x，∵將△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90176。時，得到△BDE，∴∠ABD=90176。，∵∠CAB=90176。，∴∠ABD=∠CAB=90176。，∴AC∥BD，∴設(shè)直線BD的解析式為y=x+b1，把B（0，3）代入解析式的：b1=3，∴直線BD的解析式為y=x+3；③因?yàn)樾D(zhuǎn)過程中AC掃過的圖形是以BC為半徑90176。圓心角的扇形面積減去以AB為半徑90176。圓心角的扇形面積，所以可得：S=；（3）將△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，△ABC掃過的圖形是一個平行四邊形和三角形ABC，如圖3：將C點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=x+3，求得C′的橫坐標(biāo)為，平行四邊CAA′C′的面積為（7+）4=，三角形ABC的面積為55=△ABC掃過的面積為：．考點(diǎn)：幾何變換綜合題．
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