20xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版32-資料下載頁(yè)
2025-01-25 22:18本頁(yè)面
【正文】 ，AC=30．222。AE=18，AD=15．∴ DE=AC=15．延長(zhǎng)AH交BC于P， 則AP⊥BC．∴ APBC=ACBD，222。AP=24．連DF，則DF⊥AB，∵ AE=DE，DF⊥AB．222。AF=AE=9．∵ D、E、F、G共圓，222?！螦FG=∠ADE=∠ABC，222。DAFG∽DABC，∴ =，222。AK==．二．(本題滿分50分)在平面直角坐標(biāo)系XOY中，y軸正半軸上的點(diǎn)列{An}與曲線y=(x≥0)上的點(diǎn)列{Bn}滿足|OAn|=|OBn|=，直線AnBn在x軸上的截距為an，點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)為bn，n∈N*．⑴ 證明anan+14，n∈N*；⑵ 證明有n0∈N*，使得對(duì)?nn0，都有++…++n－2004．解：⑴ 點(diǎn)An(0，)，Bn(bn，)222。由|OAn|=|OBn|，222。bn2+2bn=()2，222。bn=－1(bn0)．∴ 0bn．且bn遞減，222。n2bn=n(－n)= =單調(diào)增．∴ 0n．222。令tn=且tn單調(diào)減．由截距式方程知，+=1，(1－2n2bn=n2bn2)∴ an====()2+()=tn2+tn=(tn+)2－≥(+)2－=4．且由于tn單調(diào)減，知an單調(diào)減，即anan+14成立．亦可由=bn+2．=，得 an=bn+2+，．∴ 由bn遞減知an遞減，且an0+2+180。=4．⑵ 即證(1－)2004．1－===k2(()2－()2) ≥180。．∴(1－)(+)+(+++)+…++++…．只要n足夠大，就有(1－)2004成立．三．(本題滿分50分)對(duì)于整數(shù)n≥4，求出最小的整數(shù)f(n)，使得對(duì)于任何正整數(shù)m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一個(gè)f(n)元子集中，均至少有3個(gè)兩兩互素的元素．解：⑴ 當(dāng)n≥4時(shí)，對(duì)集合M(m，n)={m，m+1，…，m+n－1}，當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，m，m+1，m+2互質(zhì)，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，m+1，m+2，m+3互質(zhì)．即M的子集M中存在3個(gè)兩兩互質(zhì)的元素，故f(n)存在且f(n)≤n． ①取集合Tn={t|2|t或3|t，t≤n+1}，則T為M(2，n)={2，3，…，n+1}的一個(gè)子集，且其中任3個(gè)數(shù)無(wú)不能兩兩互質(zhì)．故f(n)≥card(T)+1．但card(T)=[]+[]－[]．故f(n)≥[]+[]－[]+1． ②由①與②得，f(4)=4，f(5)=5．5≤f(6)≤6，6≤f(7)≤7，7≤f(8)≤8，8≤f(9)≤9．現(xiàn)計(jì)算f(6)，取M={m，m+1，…，m+5}，若取其中任意5個(gè)數(shù)，當(dāng)這5個(gè)數(shù)中有3個(gè)奇數(shù)時(shí)，這3個(gè)奇數(shù)互質(zhì)；當(dāng)這3個(gè)數(shù)中有3個(gè)偶數(shù)k，k+2，k+4(k186。0(mod 2))時(shí)，其中至多有1個(gè)被5整除，必有1個(gè)被3整除，故至少有1個(gè)不能被3與5整除，此數(shù)與另兩個(gè)奇數(shù)兩兩互質(zhì)．故f(6)=5．而M(m，n+1)=M(m，n)∪{m+n}，故f(n+1)≤f(n)+1． ③∴ f(7)=6，f(8)=7，f(9)=8．∴ 對(duì)于4≤n≤9，f(n)= []+[]－[]+1成立． ④設(shè)對(duì)于n≤k，④成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，由于M(m，k+1)=M(m，k－5)∪{m+k－5，m+k－4，…，m+k}．在{m+k－5，m+k－4，…，m+k}中，能被2或3整除的數(shù)恰有4個(gè)，即使這4個(gè)數(shù)全部取出，只要在前面的M(m，k－5)中取出f(n)個(gè)數(shù)就必有3個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)．于是當(dāng)n≥4時(shí)，f(n+6)≤f(n)+4=f(n)+f(6)－1．故f(k+1)≤f(k－5)+f(6)－1=[]+[]－[]+1，比較②，知對(duì)于n=k+1，命題成立．∴對(duì)于任意n∈N*，n≥4，f(n)= []+[]－[]+1成立．又可分段寫出結(jié)果：f(n)=
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