20xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版16-資料下載頁(yè)
2025-01-25 05:28本頁(yè)面
【正文】 BE=(a+b+c)－a=(b+c－a)．∴EF=(a+b+c)+(b+c－a)=b+c．連CO1,則CO1平分∠ECG,CO1⊥EG,222?！螰EP=90176。－∠C．同理∠EFP=90176。－∠B,∠EPF=(B+C)．∵= ，∴EP=(b+c)。設(shè)P、A在EF上的射影分別為M、N，則EM=EPcos∠FEP=(b+c) ．又BN=ccosB，故只須證ccosB+ (b+c－a)= (b+c) ,即sinCcosB+ (sinB+sinC－sin(B+C)) =(sinB+sinC) 就是2coscossin=sinCcosB－sinBcosC－cosBsinC+sincos 右邊= sin(C－B)+sincos=cos(sin－sin) =2cos cos sin 。故證。四、（本題滿(mǎn)分35分）有n（n≥6）個(gè)人聚會(huì)，已知：（1）每人至少同其中個(gè)人互相認(rèn)識(shí)；（2）對(duì)于其中任意個(gè)人，或者其中有2 人相識(shí)，或者余下的人中有2人相識(shí)．證明：這n個(gè)人中必有三人兩兩認(rèn)識(shí)．證明：作一個(gè)圖，用n個(gè)點(diǎn)表示這n個(gè)人，凡二人認(rèn)識(shí)，則在表示此二人的點(diǎn)間連一條線(xiàn)．問(wèn)題即，在題設(shè)條件下，存在以這n點(diǎn)中的某三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形．設(shè)點(diǎn)a連線(xiàn)條數(shù)最多，在與a連線(xiàn)的所有點(diǎn)中點(diǎn)b連線(xiàn)最多，與a連線(xiàn)的點(diǎn)除b外的集合為A，與b連線(xiàn)的點(diǎn)除a外的集合為B．1176。 設(shè)n=2k，則每點(diǎn)至少連k條線(xiàn)，A、B中都至少有k－1個(gè)點(diǎn)．⑴若存在一點(diǎn)c，與a、b都連線(xiàn)，則a、b、c滿(mǎn)足要求；⑵若沒(méi)有任何兩點(diǎn)與此二點(diǎn)都連線(xiàn)(圖1)， 則由A∩B=216。，|A∪B|≤2k－2，|A|≥k－1，|B|≥k－1， 故得 |A|=|B|=k－1，且圖中每點(diǎn)都連k條線(xiàn)．若A(或B)中存在兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)間連了一條線(xiàn)，則此二點(diǎn)與a連出三角形，若A中任何兩點(diǎn)間均未連線(xiàn)，B中任兩點(diǎn)也未連線(xiàn)，則A∪中不存在兩點(diǎn)連線(xiàn)，B∪{a}中也不存在兩點(diǎn)連線(xiàn)．與已知矛盾．2176。 設(shè)n=2k+1．則每點(diǎn)至少連k條線(xiàn)，A、B中都至少有k－1個(gè)點(diǎn)．⑴若存在一點(diǎn)c，與a、b都連線(xiàn)，則a、b、c滿(mǎn)足要求；⑵若沒(méi)有任何兩點(diǎn)與此二點(diǎn)都連線(xiàn)，且|A|≥k，則由|B|≥k－1時(shí)(圖2)，則由A∩B=216。，|A∪B|≤2k－1，|A|≥k，|B|≥k－1， 故得|A∪B|=2k－1，|A|=k，|B|=k－1，若A(或B)中存在兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)間連了一條線(xiàn)，則此二點(diǎn)與a連出三角形，若A中任何兩點(diǎn)間均未連線(xiàn)，B中任兩點(diǎn)也未連線(xiàn)，則A∪中不存在兩點(diǎn)連線(xiàn)，B∪{a}中也不存在兩點(diǎn)連線(xiàn)．與已知矛盾． ⑶若沒(méi)有任何兩點(diǎn)與此二點(diǎn)都連線(xiàn)，且|A|=k－1，即每點(diǎn)都只連k條線(xiàn)．這時(shí)，必有一點(diǎn)與a、b均未連線(xiàn)，設(shè)為c．c與A中k1個(gè)點(diǎn)連線(xiàn)，與B中k2個(gè)點(diǎn)連線(xiàn)，k1+k2=k，且1≤k1，k2≤k－1．否則若k2=0，則A∪中各點(diǎn)均未連線(xiàn)，B∪{a，c}中各點(diǎn)也未連線(xiàn)．矛盾．故k1，k2≥1．且由于n6，即k1，k2中至少有一個(gè)≥2，不妨設(shè)k1≥2，現(xiàn)任取B中與c連線(xiàn)的一點(diǎn)b1，由于b1與B中其余各點(diǎn)均未連線(xiàn)，若b1與A中的所有與c連線(xiàn)的點(diǎn)均未連線(xiàn)，則b1連線(xiàn)數(shù)≤2+k－1－k1≤k－1，矛盾，故b1至少與此k1個(gè)點(diǎn)中的一點(diǎn)連線(xiàn)．故證．
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