20xx年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析蘇教版13-資料下載頁
2025-01-25 05:28本頁面
【正文】 三角形，這樣就得到了5個鈍角三角形．一般的，由⑴得到了4個鈍角三角形后，只要在AF上再取n－4個點EE…En－4，把這些點與B連起來，即可得到均是鈍角三角形的n個三角形．必要性n=2時，連1條對角線把四邊形分成了2個三角形，但其中最多只能有1個鈍角三角形．n=3時，無法從同一頂點出發(fā)連線段把四邊形分成3個三角形，現(xiàn)連了1條對角線AC后，再連B與AC上某點得到線段，此時無法使得到的兩個三角形都是鈍角三角形．∴當n=2，3時無法得到滿足題目要求的解．只有當n≥4時才有解．二、（35分）設A是一個有n個元素的集合，A的m個子集A1,A2,L,Am兩兩互不包含．試證：(1) ≤1；(2) C≥m2．其中|Ai|表示Ai所含元素的個數(shù)，C表示n個不同元素取|Ai|個的組合數(shù)．證明：⑴ 即證：若k1+k2+…+km=n，則k1!(n－k1)!+k2!(n－k2)!+…+km!(n－km)!≤n!． 由于n!表示n個元素的全排列數(shù)，而ki!(n－ki)!表示先在這n個元素中取出ki個元素排列再把其其余元素排列的方法數(shù)，由于Ai互不包含，故n!≥k1!(n－k1)!+k2!(n－k2)!+…+km!(n－km)!成立．⑵ ∵ ()(C)≥(1+1+1+…+1)2=m2．但0≤1，故C≥m2．三、（35分） 水平直線m通過圓O的中心，直線l^m，l與m相交于M，點M在圓心的右側(cè)，直線l上不同的三點A,B,C在圓外，且位于直線m上方，A點離M點最遠，C點離M點最近，AP,BQ,CR為圓 O的三條切線，P,Q,R為切點．試證：(1)l與圓O相切時，AB180。CR+BC180。AP=AC180。BQ；(2)l與圓O相交時，AB180。CR+BC180。AP＜AC180。BQ；(3)l與圓O相離時，AB180。CR+BC180。AP＞AC180。BQ.證明：設MA=a，MB=b，MC=c，OM=d，⊙O的半徑=r．且設k=d2－r2．則當k0時，點M在⊙O外，此時，直線l與⊙O相離； 當k=0時，點M在⊙O上，此時，直線l與⊙O相切； 當k0時，點M在⊙O內(nèi)，此時，直線l與⊙O相交．∴ AP==，同理，BQ=，CR=．則AB180。CR+BC180。AP－AC180。BQ= AB180。CR+BC180。AP－(AB+BC)180。BQ=BC(AP－BQ)－AB(BQ－CR)=BC－AB=－=(a－b)(b－c)(－)=(a－b)(b－c) ．注意到a?BQ－b?AP==．故k0時，a?BQ－b?AP0，k=0時，a?BQ－b?AP=0，k0時，a?BQ－b?AP0；同理可得，k0時，b?CR－c?BQ0，k=0時，b?CR－c?BQ =0，k0時，b?CR－c?BQ 0； k0時，a?CR－c?AP0，k=0時，a?CR－c?AP =0，k0時，a?CR－c?AP 0；即當k0時，AB180。CR+BC180。AP－AC180。BQ0；當k=0時，AB180。CR+BC180。AP－AC180。BQ=0，當k0時，AB180。CR+BC180。AP－AC180。BQ0．故證．、
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