【文章內(nèi)容簡介】 統(tǒng)的單位階躍響應。響應。從式（從式（ 312）可求得二階系統(tǒng)的特征方程）可求得二階系統(tǒng)的特征方程（ 314） 它的兩個根，即為二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點：它的兩個根，即為二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點： （（ 315））對式（對式（ 313）進行分解得）進行分解得 下面分別對二階系統(tǒng)在下面分別對二階系統(tǒng)在 ? =1， ? 1以及以及 0?1三種三種情況下的瞬態(tài)響應進行討論，假設初始狀態(tài)為零。情況下的瞬態(tài)響應進行討論，假設初始狀態(tài)為零。 (一一 )重根時，重根時， ?=1， s1,2=?n臨界阻尼情況臨界阻尼情況 （（ 316）式變?yōu)椋海┦阶優(yōu)椋? （（ 316））（（ 317））對上式進行分部分式，可得 對（對（ 318）式拉氏反變換，得到）式拉氏反變換，得到 （（ 318））（（ 319））響應曲線為一指數(shù)曲線形式響應曲線為一指數(shù)曲線形式。它單調(diào)上升、無超調(diào)、無。它單調(diào)上升、無超調(diào)、無振蕩，振蕩， t??時，時， y(t)=1，所，所以以 無穩(wěn)態(tài)誤差。無穩(wěn)態(tài)誤差。(二二 )兩個不等的負實根時，兩個不等的負實根時， ? 1， 過阻尼情況過阻尼情況 (316)式可以寫成部分分式為式可以寫成部分分式為 (320)求上式的拉氏反變換，得求上式的拉氏反變換，得 (321)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量，響應為指數(shù)函數(shù)曲線形式，響應為指數(shù)函數(shù)曲線形式。單調(diào)上升，無振蕩，過渡。單調(diào)上升，無振蕩，過渡過程時間長，過程時間長， ， t??時，時，y(t)=1，所以，所以 無穩(wěn)態(tài)誤差。無穩(wěn)態(tài)誤差。（三）一對共軛復根時（三）一對共軛復根時 ， 0?1，欠阻尼情況，欠阻尼情況 由于由于 ?1，（，（ 312）式得，）式得， s1,2= ? ?n177。j?d 式中式中 　　 　　 ，稱為阻尼自然頻率（，稱為阻尼自然頻率（ rad／／ s））這時，采用部分分式法，式（這時，采用部分分式法，式（ 310）變?yōu)椋┳優(yōu)? (322)上式的拉氏反變換為 (323)無穩(wěn)態(tài)誤差；無穩(wěn)態(tài)誤差；呈現(xiàn)衰減振蕩過程，呈現(xiàn)衰減振蕩過程，振蕩頻率是阻尼自然振蕩頻率是阻尼自然頻率頻率 ?d ；其振幅衰減；其振幅衰減的快慢由的快慢由 ? 和和 ?n決定決定；；振蕩幅值隨振蕩幅值隨 ? 減小而減小而加大。加大。 圖 314 阻尼比不同時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應 y(t)=1cos ?nt （（ t≥0）） (324) s1,2=177。j?n， 將將 ?=0代入式（代入式（ 315）可得）可得（四）一對復根時（四）一對復根時 ， ?=0，零阻尼情況，零阻尼情況 二階系統(tǒng)在無阻尼時瞬態(tài)響應是等幅振蕩，二階系統(tǒng)在無阻尼時瞬態(tài)響應是等幅振蕩，振蕩頻率為振蕩頻率為 ?n 。穩(wěn)定邊界（五）一對正實部虛根時（五）一對正實部虛根時 ， ?0，負阻尼情況，負阻尼情況 極點實部大于零，響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定圖 315 負阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線 頻率頻率 ?n和和 ?d的物理意義：的物理意義：u ?n是無阻尼（是無阻尼（ ?=0）時二階系統(tǒng)等幅振蕩的振）時二階系統(tǒng)等幅振蕩的振蕩頻率，因此稱為蕩頻率，因此稱為 無阻尼自然頻率無阻尼自然頻率 ；；u 是欠阻尼（是欠阻尼（ 0?1）時衰減振蕩）時衰減振蕩的振蕩頻率，因此稱為阻尼自然頻率；的振蕩頻率，因此稱為阻尼自然頻率；uTd=2?/?d稱為阻尼振蕩周期。稱為阻尼振蕩周期。u顯然顯然 ?n ?d，且隨著，且隨著 ?的增大，的增大， ?d的值相應地的值相應地減小。減小。?? 幾點結論： 二階系統(tǒng)的阻尼比 ?決定了其振蕩特性： ? 0 時，階躍響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定； ? = 0時，出現(xiàn)等幅振蕩； 0 ? 1時，有振蕩， ?愈小，振蕩愈嚴重，但響應愈快； ? ≥ 1 時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長。 ?一定時， ?n越大，瞬態(tài)響應分量衰減越迅速，響應的快速性越好。工程中通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在 ~，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩三、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應 （（ 325）） 按前面分析單位階躍響應的同樣方法，可以得到按前面分析單位階躍響應的同樣方法，可以得到 一個隨動系統(tǒng)，其輸入端以一個連續(xù)等速信號給定時一個隨動系統(tǒng)，其輸入端以一個連續(xù)等速信號給定時，其響應就屬斜坡響應。當輸入單位斜坡信號時，其響應就屬斜坡響應。當輸入單位斜坡信號時，（一）（一） 0?1 斜坡響應為斜坡響應為 （（ 326）） （三）（三） ?1 斜坡響應為斜坡響應為 響應曲線如圖響應曲線如圖 316所示。所示。 （（ 328））（二）（二） ? = 1 斜坡響應為斜坡響應為 (327)圖 316 二階系統(tǒng)的單位斜坡響應曲線 四、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應 當輸入單位脈沖信號時， X(s)=1, （（ 329）） （一）（一） 0?1 脈沖響應為脈沖響應為 （（ 330）） （二）（二） ?=1 脈沖響應為脈沖響應為 (331)（三）（三） ?1 脈沖響應為脈沖響應為 (332)圖 317 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應曲線 表表 31輸入信號幅值不為單位值時，響應表達式輸入信號幅值不為單位值時，響應表達式 信號形式信號形式 輸入信號形式幅值為輸入信號形式幅值為 R 階階躍躍信信號號 表表 31輸入信號幅值不為單位值時，響應表達式輸入信號幅值不為單位值時，響應表達式 信號形式信號形式 輸入信號形式幅值為輸入信號形式幅值為 R 脈脈沖沖信信號號 表表 31輸入信號幅值不為單位值時，響應表達式輸入信號幅值不為單位值時，響應表達式 信號形式信號形式 輸入信號形式幅值為輸入信號形式幅值為 R 斜斜坡坡信信號號 表表 32　阻尼比與極點的關系　阻尼比與極點的關系 阻尼比阻尼比 ? 極點極點 極點特征極點特征 兩個不同的實數(shù)兩個不同的實數(shù)極點極點 兩個相同的實數(shù)兩個相同的實數(shù)極點極點 兩個共軛的復數(shù)兩個共軛的復數(shù)極點極點 位于虛軸上的共位于虛軸上的共軛極點軛極點 兩個共軛的復數(shù)兩個共軛的復數(shù)極點極點 五、二階系統(tǒng)階躍響應與極點的關系五、二階系統(tǒng)階躍響應與極點的關系表 33　極點與階躍響應的關系 阻尼比阻尼比 ? 極極 點點 極點在極點在 s平面的位置平面的位置 階躍響應形式階躍響應形式 ?1?=10?1?=0?0n 若系統(tǒng)的所有特征根 si（ i=1， 2， … ， n）均具有負實部 ，即 Re[si]0，則其系統(tǒng)會趨于穩(wěn)定，這種系統(tǒng)稱為 穩(wěn)定 系統(tǒng)。 n Re[si]絕對值越大，則它所對應的自由響應項衰減得越快，系統(tǒng)達到穩(wěn)定的時間越短。n 虛部 Im[si]的分布情況決定了系統(tǒng)的響應在規(guī)定時間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)響應的情況，這影響著系統(tǒng)響應的準確性。n 若系統(tǒng)存在具有 正實部 的特征根 si， 即 Re[si]0，則其系統(tǒng)會產(chǎn)生振蕩，這種系統(tǒng)稱為 不穩(wěn)定 系統(tǒng)。n 若系統(tǒng)有一個特征根的 實部為 0，而其余特征根的實部均為 負數(shù) ，系統(tǒng)最終會變成 一等幅振蕩 ，這種系統(tǒng)稱為 臨界穩(wěn)定系統(tǒng) 。往往也將 臨界穩(wěn)定系統(tǒng)看成不穩(wěn)定系統(tǒng) 。216。 二階系統(tǒng)的特征參量阻尼比 ?和無阻尼自然頻率 ?n對其瞬態(tài)響應具有重要的影響。下面進一步分析 ?和 ?n與瞬態(tài)響應指標的關系，以便指出設計和調(diào)整二階系統(tǒng)的方向，除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的控制系統(tǒng)外，通常允許控制系統(tǒng)具有適度的振動特性，以求能有較短的調(diào)整時間。因此，系統(tǒng)經(jīng)常工作在欠阻尼狀態(tài)。216。 二階系統(tǒng)， 當 0?1時 ，推導瞬態(tài)響應各項特征指標的計算公式。