【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。響應(yīng)。從式（從式（ 312）可求得二階系統(tǒng)的特征方程）可求得二階系統(tǒng)的特征方程（ 314） 它的兩個(gè)根，即為二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)：它的兩個(gè)根，即為二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)： （（ 315））對(duì)式（對(duì)式（ 313）進(jìn)行分解得）進(jìn)行分解得 下面分別對(duì)二階系統(tǒng)在下面分別對(duì)二階系統(tǒng)在 ? =1， ? 1以及以及 0?1三種三種情況下的瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行討論，假設(shè)初始狀態(tài)為零。情況下的瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行討論，假設(shè)初始狀態(tài)為零。 (一一 )重根時(shí)，重根時(shí)， ?=1， s1,2=?n臨界阻尼情況臨界阻尼情況 （（ 316）式變?yōu)椋海┦阶優(yōu)椋? （（ 316））（（ 317））對(duì)上式進(jìn)行分部分式，可得 對(duì)（對(duì)（ 318）式拉氏反變換，得到）式拉氏反變換，得到 （（ 318））（（ 319））響應(yīng)曲線為一指數(shù)曲線形式響應(yīng)曲線為一指數(shù)曲線形式。它單調(diào)上升、無(wú)超調(diào)、無(wú)。它單調(diào)上升、無(wú)超調(diào)、無(wú)振蕩，振蕩， t??時(shí)，時(shí)， y(t)=1，所，所以以 無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。(二二 )兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根時(shí)，兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根時(shí)， ? 1， 過(guò)阻尼情況過(guò)阻尼情況 (316)式可以寫(xiě)成部分分式為式可以寫(xiě)成部分分式為 (320)求上式的拉氏反變換，得求上式的拉氏反變換，得 (321)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量，響應(yīng)為指數(shù)函數(shù)曲線形式，響應(yīng)為指數(shù)函數(shù)曲線形式。單調(diào)上升，無(wú)振蕩，過(guò)渡。單調(diào)上升，無(wú)振蕩，過(guò)渡過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)，過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)， ， t??時(shí)，時(shí)，y(t)=1，所以，所以 無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。（三）一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)（三）一對(duì)共軛復(fù)根時(shí) ， 0?1，欠阻尼情況，欠阻尼情況 由于由于 ?1，（，（ 312）式得，）式得， s1,2= ? ?n177。j?d 式中式中 　　 　　 ，稱為阻尼自然頻率（，稱為阻尼自然頻率（ rad／／ s））這時(shí)，采用部分分式法，式（這時(shí)，采用部分分式法，式（ 310）變?yōu)椋┳優(yōu)? (322)上式的拉氏反變換為 (323)無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差；無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差；呈現(xiàn)衰減振蕩過(guò)程，呈現(xiàn)衰減振蕩過(guò)程，振蕩頻率是阻尼自然振蕩頻率是阻尼自然頻率頻率 ?d ；其振幅衰減；其振幅衰減的快慢由的快慢由 ? 和和 ?n決定決定；；振蕩幅值隨振蕩幅值隨 ? 減小而減小而加大。加大。 圖 314 阻尼比不同時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) y(t)=1cos ?nt （（ t≥0）） (324) s1,2=177。j?n， 將將 ?=0代入式（代入式（ 315）可得）可得（四）一對(duì)復(fù)根時(shí)（四）一對(duì)復(fù)根時(shí) ， ?=0，零阻尼情況，零阻尼情況 二階系統(tǒng)在無(wú)阻尼時(shí)瞬態(tài)響應(yīng)是等幅振蕩，二階系統(tǒng)在無(wú)阻尼時(shí)瞬態(tài)響應(yīng)是等幅振蕩，振蕩頻率為振蕩頻率為 ?n 。穩(wěn)定邊界（五）一對(duì)正實(shí)部虛根時(shí)（五）一對(duì)正實(shí)部虛根時(shí) ， ?0，負(fù)阻尼情況，負(fù)阻尼情況 極點(diǎn)實(shí)部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定圖 315 負(fù)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 頻率頻率 ?n和和 ?d的物理意義：的物理意義：u ?n是無(wú)阻尼（是無(wú)阻尼（ ?=0）時(shí)二階系統(tǒng)等幅振蕩的振）時(shí)二階系統(tǒng)等幅振蕩的振蕩頻率，因此稱為蕩頻率，因此稱為 無(wú)阻尼自然頻率無(wú)阻尼自然頻率 ；；u 是欠阻尼（是欠阻尼（ 0?1）時(shí)衰減振蕩）時(shí)衰減振蕩的振蕩頻率，因此稱為阻尼自然頻率；的振蕩頻率，因此稱為阻尼自然頻率；uTd=2?/?d稱為阻尼振蕩周期。稱為阻尼振蕩周期。u顯然顯然 ?n ?d，且隨著，且隨著 ?的增大，的增大， ?d的值相應(yīng)地的值相應(yīng)地減小。減小。?? 幾點(diǎn)結(jié)論： 二階系統(tǒng)的阻尼比 ?決定了其振蕩特性： ? 0 時(shí)，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定； ? = 0時(shí)，出現(xiàn)等幅振蕩； 0 ? 1時(shí)，有振蕩， ?愈小，振蕩愈嚴(yán)重，但響應(yīng)愈快； ? ≥ 1 時(shí)，無(wú)振蕩、無(wú)超調(diào)，過(guò)渡過(guò)程長(zhǎng)。 ?一定時(shí)， ?n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速，響應(yīng)的快速性越好。工程中通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在 ~，以保證系統(tǒng)的快速性同時(shí)又不至于產(chǎn)生過(guò)大的振蕩三、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) （（ 325）） 按前面分析單位階躍響應(yīng)的同樣方法，可以得到按前面分析單位階躍響應(yīng)的同樣方法，可以得到 一個(gè)隨動(dòng)系統(tǒng)，其輸入端以一個(gè)連續(xù)等速信號(hào)給定時(shí)一個(gè)隨動(dòng)系統(tǒng)，其輸入端以一個(gè)連續(xù)等速信號(hào)給定時(shí)，其響應(yīng)就屬斜坡響應(yīng)。當(dāng)輸入單位斜坡信號(hào)時(shí)，其響應(yīng)就屬斜坡響應(yīng)。當(dāng)輸入單位斜坡信號(hào)時(shí)，（一）（一） 0?1 斜坡響應(yīng)為斜坡響應(yīng)為 （（ 326）） （三）（三） ?1 斜坡響應(yīng)為斜坡響應(yīng)為 響應(yīng)曲線如圖響應(yīng)曲線如圖 316所示。所示。 （（ 328））（二）（二） ? = 1 斜坡響應(yīng)為斜坡響應(yīng)為 (327)圖 316 二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線 四、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 當(dāng)輸入單位脈沖信號(hào)時(shí)， X(s)=1, （（ 329）） （一）（一） 0?1 脈沖響應(yīng)為脈沖響應(yīng)為 （（ 330）） （二）（二） ?=1 脈沖響應(yīng)為脈沖響應(yīng)為 (331)（三）（三） ?1 脈沖響應(yīng)為脈沖響應(yīng)為 (332)圖 317 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線 表表 31輸入信號(hào)幅值不為單位值時(shí)，響應(yīng)表達(dá)式輸入信號(hào)幅值不為單位值時(shí)，響應(yīng)表達(dá)式 信號(hào)形式信號(hào)形式 輸入信號(hào)形式幅值為輸入信號(hào)形式幅值為 R 階階躍躍信信號(hào)號(hào) 表表 31輸入信號(hào)幅值不為單位值時(shí)，響應(yīng)表達(dá)式輸入信號(hào)幅值不為單位值時(shí)，響應(yīng)表達(dá)式 信號(hào)形式信號(hào)形式 輸入信號(hào)形式幅值為輸入信號(hào)形式幅值為 R 脈脈沖沖信信號(hào)號(hào) 表表 31輸入信號(hào)幅值不為單位值時(shí)，響應(yīng)表達(dá)式輸入信號(hào)幅值不為單位值時(shí)，響應(yīng)表達(dá)式 信號(hào)形式信號(hào)形式 輸入信號(hào)形式幅值為輸入信號(hào)形式幅值為 R 斜斜坡坡信信號(hào)號(hào) 表表 32　阻尼比與極點(diǎn)的關(guān)系　阻尼比與極點(diǎn)的關(guān)系 阻尼比阻尼比 ? 極點(diǎn)極點(diǎn) 極點(diǎn)特征極點(diǎn)特征 兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)極點(diǎn) 兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)極點(diǎn) 兩個(gè)共軛的復(fù)數(shù)兩個(gè)共軛的復(fù)數(shù)極點(diǎn)極點(diǎn) 位于虛軸上的共位于虛軸上的共軛極點(diǎn)軛極點(diǎn) 兩個(gè)共軛的復(fù)數(shù)兩個(gè)共軛的復(fù)數(shù)極點(diǎn)極點(diǎn) 五、二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)與極點(diǎn)的關(guān)系五、二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)與極點(diǎn)的關(guān)系表 33　極點(diǎn)與階躍響應(yīng)的關(guān)系 阻尼比阻尼比 ? 極極 點(diǎn)點(diǎn) 極點(diǎn)在極點(diǎn)在 s平面的位置平面的位置 階躍響應(yīng)形式階躍響應(yīng)形式 ?1?=10?1?=0?0n 若系統(tǒng)的所有特征根 si（ i=1， 2， … ， n）均具有負(fù)實(shí)部 ，即 Re[si]0，則其系統(tǒng)會(huì)趨于穩(wěn)定，這種系統(tǒng)稱為 穩(wěn)定 系統(tǒng)。 n Re[si]絕對(duì)值越大，則它所對(duì)應(yīng)的自由響應(yīng)項(xiàng)衰減得越快，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越短。n 虛部 Im[si]的分布情況決定了系統(tǒng)的響應(yīng)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的情況，這影響著系統(tǒng)響應(yīng)的準(zhǔn)確性。n 若系統(tǒng)存在具有 正實(shí)部 的特征根 si， 即 Re[si]0，則其系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生振蕩，這種系統(tǒng)稱為 不穩(wěn)定 系統(tǒng)。n 若系統(tǒng)有一個(gè)特征根的 實(shí)部為 0，而其余特征根的實(shí)部均為 負(fù)數(shù) ，系統(tǒng)最終會(huì)變成 一等幅振蕩 ，這種系統(tǒng)稱為 臨界穩(wěn)定系統(tǒng) 。往往也將 臨界穩(wěn)定系統(tǒng)看成不穩(wěn)定系統(tǒng) 。216。 二階系統(tǒng)的特征參量阻尼比 ?和無(wú)阻尼自然頻率 ?n對(duì)其瞬態(tài)響應(yīng)具有重要的影響。下面進(jìn)一步分析 ?和 ?n與瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)的關(guān)系，以便指出設(shè)計(jì)和調(diào)整二階系統(tǒng)的方向，除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的控制系統(tǒng)外，通常允許控制系統(tǒng)具有適度的振動(dòng)特性，以求能有較短的調(diào)整時(shí)間。因此，系統(tǒng)經(jīng)常工作在欠阻尼狀態(tài)。216。 二階系統(tǒng)， 當(dāng) 0?1時(shí) ，推導(dǎo)瞬態(tài)響應(yīng)各項(xiàng)特征指標(biāo)的計(jì)算公式。