數(shù)學(xué)論文——勾股定理的證明方法探究(編輯修改稿)
2024-11-16 22:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2=AD ? AB。②我們發(fā)現(xiàn)，把①、②兩式相加可得BC2+AC2=AB（AD+BD），而AD+BD=AB，因此有 BC2+AC2=AB2，這就是a2+b2=c2。這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。在對勾股定理為數(shù)眾多的證明中，人們也會犯一些錯誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法：設(shè)△ABC中，∠C=90176。，由余弦定理c2=a2+b22abcosC，因?yàn)椤螩=90176。，所以cosC=0。所以a2+b2=c2。這一證法，看來正確，而且簡單，實(shí)際上卻犯了循環(huán)證論的錯誤。原因是余弦定理的證明來自勾股定理。人們對勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應(yīng)棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個多面體表面積之和。若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球表面積之和。第三篇：勾股定理的證明方法探究勾股定理的證明方法勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因?yàn)檫@個定理太貼近人們的生活實(shí)際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明．下面乃幾千年來前人所發(fā)現(xiàn)的證明方法。【證法1】（梅文鼎證明）做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，使D、E、.∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90176。，∴ ∠BED + ∠GEF = 90176。，∴ ∠BEG =180176。―90176。= 90176。又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一個邊長為c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90176。∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90176。即 ∠CBD= 90176。又∵ ∠BDE = 90176。，∠BCP = 90176。，BC = BD = a.∴ ，則,∴ BDPC的面積也為S，HPFG的面積也為S由此可推出：a^2+b^2=c^2【證法2】（項明達(dá)證明）做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（ba），使E、A、∥BC，⊥PQ，垂足為M；再過點(diǎn)F作FN⊥PQ，垂足為N.∵ ∠BCA = 90176。，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90176。，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90176。，∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90176。.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 176。，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90176。，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90176。，∠BCA = 90176。，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ ≌ ^2+b^2=c^2【證法3】（趙浩杰證明）做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（ba），AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DFDE=ba，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直線上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90176。，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD，同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90176。,∴∠ABG +∠CBJ= 90176。,∵∠ABC= 90176。,∴G,B,I,J在同一直線上，所以a^2+b^2=c^2【證法4】（歐幾里得證明）做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴ 矩形ADLM的面積 =.同理可證，矩形MLEB的面積 =.∵ 正
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