數(shù)學(xué)：11正弦定理教案(蘇教版必修5)(編輯修改稿)
2024-11-15 04:54 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。二、教學(xué)重點(diǎn)正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。三、教學(xué)難點(diǎn)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。四、教學(xué)過(guò)程Ⅰ.課題導(dǎo)入如圖1．11，固定DABC的邊CB及208。B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。思考：208。C的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角208。C的大小的增大而增大。能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？Ⅱ.講授新課[探索研究](圖1．11)在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．12，在RtDABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，abc=sinA，=sinB，又sinC=1=,A cccabc則===csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，CaB ==sinsinsin有(圖1．12)思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖1．13，當(dāng)DABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB=bsinA,則同理可得從而asinA=bsinB，csinC==bsinB=，asinAbsinBcsinCAcB(圖1．13)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。（證法二）：過(guò)點(diǎn)A作j^AC，C由向量的加法可得AB=AC+CB則jAB=j(AC+CB)∴jAB=jAC+jCBjjABcos(900A)=0+jCBcos(900C)∴csinA=asinC，即同理，過(guò)點(diǎn)C作j^BC，可得從而ac =bc =asinA=bsinB=csinC類(lèi)似可推出，當(dāng)DABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）從上面的研探過(guò)程，可得以下定理正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinC[理解定理]（1）正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC；（2）asinA=bsinB=csinC等價(jià)于asinA=bsinB，csinC=bsinB，asinA=csinC從而知正弦定理的基本作用為：①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a=bsinA； sinB②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sinA=sinB。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。[例題分析]例1．在DABC中，已知A=，B=，a=，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，abC=1800(A+B)=1800(+)=；根據(jù)正弦定理，b==187。(cm)； ，c==187。(cm).：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。例2．在DABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=400，解三角形（角度精確到10，邊長(zhǎng)精確到1cm）。解：根據(jù)正弦定理，bsinA28sin400sinB==187。＜B＜1800，所以B187。640，或B187。1160.⑴ 當(dāng)B187。640時(shí)，C=1800(A+B)187。1800(400+640)=760，asinC20sin760c==187。30(cm).sin40⑵ 當(dāng)B187。1160時(shí)，C=1800(A+B)187。1800(400+1160)=240，asinC20sin240c==187。13(cm).sin40評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。Ⅲ.課堂練習(xí)第5頁(yè)練習(xí)第1（1）、2（1）題。[補(bǔ)充練習(xí)]已知DABC中，sinA:sinB:sinC=1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）Ⅳ.課時(shí)小結(jié)（由學(xué)生歸納總結(jié)）（1）定理的表示形式：asinAsinBsinC或a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC
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