【文章內(nèi)容簡介】 . ●難點磁場 (★★★★ ★ )已知函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx+d 的圖象如圖，求 b 的范圍 . ●案例探究 ［例 1］對函數(shù) y=f(x)定義域中任一個 x 的值均有 f(x+a)=f(a－ x),(1)求證 y=f(x)的圖象關于直線 x=a 對稱； (2)若函數(shù) f(x)對一切實數(shù) x 都有 f(x+2)=f(2－ x),且方程 f(x)=0 恰好有四個不同實根，求這些實根之和 . 命題意圖：本題考查函數(shù)概念、圖象對稱問題以及求根問題 .屬★★★★★級題目 . 知識依托：把證明圖象對稱問題轉(zhuǎn)化到點的對稱問題 . 錯解分 析：找不到問題的突破口，對條件不能進行等價轉(zhuǎn)化 . 技巧與方法：數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化 . (1)證明：設 (x0,y0)是函數(shù) y=f(x)圖象上任一點，則 y0=f(x0),又 f(a+x)=f(a－ x),∴ f(2a－ x0)= f［ a+(a－ x0)］ =f［ a－ (a－ x0)］ =f(x0)=y0,∴ (2a－ x0,y0)也在函數(shù)的圖象上，而2 )2( 00 xxa ??=a,∴點 (x0,y0)與 (2a－ x0,y0)關于直線 x=a 對稱，故 y=f(x)的圖象關于直線 x=a 對稱 . (2)解：由 f(2+x)=f(2－ x)得 y=f(x)的圖象關于直線 x=2 對稱，若 x0 是 f(x)=0的根，則 4－ x0 也是 f(x)=0 的根，由對稱性， f(x)=0 的四根之和為 8. ［例 2］如圖，點 A、 B、 C 都在函數(shù) y= x 的圖象上，它們的橫坐標分別是a、 a+ a+ A、 B、 C 在 x 軸上的射影分別是 A′、 B′、 C′ ,記△ AB′ C 的面積為 f(a),△ A′ BC′的面積為 g(a). (1)求函數(shù) f(a)和 g(a)的表達式； (2)比較 f(a)與 g(a)的大小 ，并證明你的結(jié)論 . 命題意圖：本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識圖能力、圖形的組合等 .屬★★★★★級題目 . 知識依托：充分借助圖象信息，利用面積問題的拆拼以及等價變形找到問題的突破口 . 錯解分析：圖形面積不會拆拼 . 技巧與方法：數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化 . 解： (1)連結(jié) AA′、 BB′、 CC′ ,則 f(a)=S△ AB′ C=S 梯形 AA′ C′ C－ S△ AA′ B′ － S△ CC′ B =21(A′ A+C′ C)=21( 2?? aa ), g(a)=S△ A′ BC′ =21A′ C′178。 B′ B=B′ B= 1?a . 0)1112 1(21)]1()12[(21)122(21)()()2(?????????????????????aaaaaaaaaaaagaf ∴ f(a)g(a). ●錦囊妙計 ，掌握函數(shù)作圖的基本方法： (1)描點法：列表、描點、連線； (2)圖象變換法：平移變換、對稱變換、伸縮變換等 . .題型多以選擇與填空為主，屬于必考內(nèi)容之一，但近年來，在大題中也 有出現(xiàn)，須引起重視 . ●殲滅難點訓練 一、選擇題 1.(★★★★ )當 a≠ 0 時， y=ax+b 和 y=bax的圖象只可能是 ( ) 2.(★★★★ )某學生離家去學校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下圖中 y 軸表示離學校的距離， x 軸表示出發(fā)后的時間，則適合題意的圖形是 ( ) 二、填空題 3.(★★★★★ )已知函數(shù) f(x)=log2(x+1)，將 y=f(x)的圖象向左平移 1 個單位，再將圖 象上所有點的縱坐標伸長到原來的 2 倍 (橫坐標不變 )，得到函數(shù) y=g(x)的圖象，則函數(shù) F(x)=f(x)－ g(x)的最大值為 _________. 三、解答題 4.(★★★★ )如圖，在函數(shù) y=lgx 的圖象上有 A、 B、C 三點，它們的橫坐標分別為 m,m+2,m+4(m1). (1)若△ ABC 面積為 S，求 S=f(m)。 (2)判斷 S=f(m)的增減性 . 5.(★★★★ )如圖，函數(shù) y=23|x|在 x∈［－ 1,1］的圖象上有兩點 A、 B， AB∥ Ox 軸，點 M(1， m)(m∈ R 且 m23)是△ ABC 的 BC 邊的中點 . (1)寫出用 B 點橫坐標 t 表示△ ABC 面積 S 的函數(shù)解析式S=f(t)。 (2)求函數(shù) S=f(t)的最大值，并求出相應的 C 點坐標 . 6.(★★★★★ )已知函數(shù) f(x)是 y=1102?x－ 1(x∈ R)的反函數(shù)，函數(shù) g(x)的圖象與函數(shù) y=－21?x的圖象關于 y 軸對稱，設 F(x)=f(x)+g(x). (1)求函數(shù) F(x)的解析式及定義域； (2)試問在函數(shù) F(x)的圖象上是否存在兩個不同的點 A、 B，使直線 AB恰好與 y 軸垂直？若存在，求出 A、 B 的坐標；若不存在，說明理由 . 7.(★★★★★ )已知函數(shù) f1(x)= 21 x? ,f2(x)=x+2, (1)設 y=f(x)=??? ?? ?? ]1,0[ ),(3 )0,1[ ),( 21 xxf xxf，試畫出 y=f(x)的圖象并求 y=f(x)的曲線繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積； (2)若方程 f1(x+a)=f2(x)有兩個不等的實根，求實數(shù) a 的范圍 . (3)若 f1(x)f2(x－ b)的解集為［－ 1，21］，求 b 的值 . 8.(★★★★★ )設函數(shù) f(x)=x+x1的圖象為 C1， C1 關于點 A(2， 1)對稱的圖象為 C2， C2 對應的函數(shù)為 g(x). (1)求 g(x)的解析表達式； (2)若直線 y=b 與 C2 只有一個交點，求 b 的值，并求出交點坐標； (3)解不等式 logag(x)loga29 (0a1). 參考答案 難點磁場 解法一：觀察 f(x)的圖象，可知函數(shù) f(x)的圖象過原點，即 f(0)=0,得 d=0,又f(x)的圖象過 (1， 0)，∴ f(x)=a+b+c① ,又有 f(－ 1)＜ 0,即－ a+b－ c＜ 0② ,① +②得 b＜ 0,故 b 的范圍是 (－∞ ,0) 解法二：如圖 f(0)=0 有三根，∴ f(x)=ax 3+bx2+cx+d=ax(x－ 1)(x－ 2)=ax3－3ax2+2ax,∴ b= － 3a,∵ a0,∴ b＜ 0. 殲滅難點訓練 一、 ：∵ y=bax=(ba)x,∴這是以 ba 為底的指數(shù)函數(shù) .仔細觀察題目中的直線方程可知：在選擇支 B 中 a0,b1,∴ ba1,C 中 a＜ 0,b1,∴ 0＜ ba＜ 1,D 中 a＜0,0＜ b＜ 1,∴ ba B、 C、 D 均與指數(shù)函數(shù) y=(ba)x 的圖象不符合 . 答案： A ：由題意可知，當 x=0 時， y 最大，所以排除 A、 ，所以直線隨著 x 的增大而急劇下降 . 答案： D 二、 ： g(x)=2log2(x+2)(x－ 2) F(x)=f(x)－ g(x)=log2(x+1)－ 2log2(x+2) =log21 441lo g441lo g)2(122222? ????? ????x xxxxxxx )1(21111lo g 2 ??????? xxx ∵ x+10,∴ F(x)≤41lo g211)1(21lo g22 ????? xx=－ 2 當且僅當 x+1= 11?x,即 x=0 時取等號 . ∴ F(x)max=F(0)=－ 2. 答案：－ 2 三、 ： (1)S△ ABC=S 梯形 AA′ B′ B+S 梯形 BB′ C′ C－ S 梯形 AA′ C′ C. (2)S=f(m)為減函數(shù) . ： (1)依題意，設 B(t,23 t),A(－ t, 23t)(t0),C(x0,y0). ∵ M 是 BC 的中點 .∴20xt?=1,223 0yt? =m. ∴ x0=2－ t,y0=2m－23△ ABC 中， |AB|=2t,AB 邊上的高 hAB=y0－23t=2m－ 3t. ∴ S=21|AB|178。 hAB= 21178。 2t178。 (2m－ 3t),即 f(t)=－ 3t2+2mt,t∈ (0,1). (2)∵ S=－ 3t2+2mt=－ 3(t－3m)2+32m,t∈ (0,1 ] ,若??????????23130mm，即23＜ m≤ 3,當t=3m時， Smax=32m,相應的 C 點坐標是 (2－3m, 23m),若3m1,即 m=f(t)間 (0， 1］上是增函數(shù)，∴ Smax=f(1)=2m－ 3,相應的 C 點坐標是 (1， 2m－ 3). ： (1)y=1102?x－ 1 的反函數(shù)為 f(x)=lgxx??11(－ 1＜ x＜ 1) . 由已知得 g(x)=21?x,∴ F(x)=lgxx??11+21?x,定義域為 (－ 1， 1). (2)用定義可證明函數(shù) u=xx??11=－ 1+12?x是 (－ 1， 1）上的減函數(shù)，且 y=lgu是增函數(shù) .∴ f(x)是 (－ 1， 1）上的減函數(shù)，故不存在符合條件的點 A、 B. ： (1） y=f(x)=???????? ??? ]1,0[,1 )0,1[,12xx xx.圖略 . y=f(x)的曲線繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為 (2+ 2 )π . (2)當 f1(x+a)=f2(x)有兩個不等實根時， a 的取值范圍為 2－ 2 ＜ a≤ 1. (3)若 f1(x)f2(x－ b)的解集為［－ 1，21］，則可解得 b=235?. 8.(1)g(x)=x－ 2+41?x.(2)b=4 時，交點為 (5， 4)； b=0 時，交點為 (3， 0). (3)不等式的解集為 {x|4＜ x＜29或 x6} . 難點 11 函數(shù)中的綜合問題 函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點和重點內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣 .本節(jié)課主要幫助考生在掌握有關函數(shù)知識的基礎上進一步深化綜合運用知識的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)考生的思維和創(chuàng)新能力 . ●難點磁場 (★★★★★ )設函數(shù) f(x)的定義域為 R，對任意實數(shù) x、 y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),當 x0 時 f(x)0 且 f(3)=－ 4. (1)求證： f(x)為奇函數(shù)； (2)在區(qū)間［－ 9， 9］上，求 f(x)的最值 . ●案例探究 ［例 1］設 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，其圖象關于直線 x=1 對稱，對任意x x2∈［ 0,21］ ,都有 f(x1+x2)=f(x1)178。 f(x2),且 f(1)=a0. (1)求 f(21)、 f(41)。 (2)證明 f(x)是周期函數(shù)； (3)記 an=f(n+n21),求 ).(lnlimnn a?? 命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識，還考查運算能力和邏輯思維能力 . 知識依托：認真分析處理好各知識的相互聯(lián)系，抓住條件 f(x1+x2)=f(x1)178。 f(x2)找到問題的突破口 . 錯解分析：不會利用 f(x1+x2)=f(x1)178。 f(x2)進行合理變形 . 技巧與方法：由 f(x1+x2)=f(x1)178。 f(x2)變形為 )2()2()2()22()( xfxfxfxxfxf ?????是解決問題的關鍵 . (1) 解：因為對 x1,x2∈［ 0,21］ ,都有 f(x1+x2)=f(x1)178。 f(x2),所以 f(x)= )2()22( xfxxf ??≥ 0, x∈［ 0,1］ 又因為 f(1)=f(21+21)=f(21)178。 f(21)=［ f(21)］ 2 f(21)=f(41+41)=f(41)178。 f(41)=［ f（41） ］ 2 又 f(1)=a0 ∴ f(21)=a21 ,f(41)=a41 (2)證明：依題意設 y=f(x)關于直線 x=1 對稱，故 f(x)=f(1+1－ x),即 f(x)=f(2－x),x∈ R. 又由 f(x)是偶函數(shù)知 f(－ x)=f(x),x∈ R ∴ f(－ x)=f(2－ x),x∈ R. 將上式中－ x 以 x 代換得 f(x)=f(x+2)，這表明 f(x)是 R 上的周期函數(shù)，且 2是它的一個 周期 . (3)解：由 (1)知 f(x)≥ 0,x∈［ 0,1］ ∵ f(21)=f(n178。n21)=f(n21+(n－ 1) n21)=f(n21)178。 f((n－ 1)178。n21) =?? =f(n21)178。 f(n21)