【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )（3）L：x=j(y)則242。f(x,y(x0163。x163。X)，)ds=242。[f,x(y)]x1Lx0Y+(y)162。2xdx2+j(162。)(y0163。y163。Y)，則242。f(x,y)ds=242。f[j(),y]y1Ly0（4）G:x=j(t),y=y(t),z=w(t).(a163。t163。b)，則 242。Gf(x,y,z)ds=242。f[j(t),y(t),w(t)]j162。2(t)+y162。2(t)+w162。2(t)dtab(ab)(二)、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義242。 LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=liml174。0229。[P(x,h)Dxiii=1ni+Q(xi,hi)Dyi]242。GP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=liml174。0229。[P(x,h,ziii=1ni)Dxi+Q(xi,hi,zi)Dyi+R(xi,hi,zi)Dzi]計(jì)算（下限對(duì)應(yīng)起點(diǎn)，上限對(duì)應(yīng)終點(diǎn)）（1）L:x=j(t),y=y(t),(t:a174。b)，則242。（LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=242。{P[j(t),y(t)]j162。(t)+Q[j(t),y(t)]y162。(t)}dtab2）baL：y=y(x)(t:x0174。X)(t:y0174。Y)，則242。LPdx+Qdy=242。{Pxy[x+Q,xyxy(162。xdx)（3）dcL：x=j(y)，則242。LPdx+Qdy=242。{Pjy[yj162。y(+Qjy)ydy，（4）G:x=j(t),y=y(t),z=w(t).(t:a174。b)，則242。GP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=242。{P[j(t),y(t),w(t)]j162。(t)+Q[j(t),y(t),w(t)]y162。(t)+R[j(t),y(t),w(t)]w162。(t)}dtab兩類曲線積分之間的聯(lián)系242。LPdx+Qdy=242。(Pcosa+Qcosb)dsLa(x,y),b(x,y)為有向曲線弧L上點(diǎn)(x,y)處的切線向量的方向角。其中，242。GPdx+Qdy+Rdz=242。(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds，G其中a(x,y,z),b(x,y,z),g(x,y,z)為有向曲線弧G上點(diǎn)(x,y,z)處切向量的方向角。(三)、格林公式及其應(yīng)用格林公式 個(gè)邊界曲線平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件（D為單連通區(qū)域）242。242。(D182。Q182。P)dxdy=242。Pdx+Qdy 其中L是D的取正向的整L182。x182。y定理 設(shè)D是單連通閉區(qū)域，若P(x,y),Q(x,y)在D內(nèi)連續(xù)，且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件等價(jià)：(i)沿D內(nèi)任一按段光滑封閉曲線L，有242。LPdx+Qdy=0；(ii)對(duì)D內(nèi)任一光滑曲線L，曲線積分242。LPdx+Qdy與路徑無(wú)關(guān)，只與L的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)；(iii)Pdx+Qdy是D內(nèi)某一函數(shù)u(x,y)的全微分，即在D內(nèi)有du=Pdx+Qd；y(iv)在D內(nèi)處處成立注 若(x,y)(x0,y0)182。P182。Q= 182。y182。x182。P182。Q=x206。D182。y182。x 則Pdx+Qdy的全微分u(x,y)=242。P(x,y)dx+Q(x,y)dy：xyx0y0u(x,y)=242。P(x,y0)dx+242。Q(x,y)dyu(x,y)=242。Q(x0,y)dy+242。P(x,y)dxy0x0yx或(四)、對(duì)面積的曲面積分定義229。f(x,h,z)DS 242。242。f(x,y,z)dS=limlS174。0iiiii=1n物理意義： 242。242。f(x,y,z)dS表示面密度為f(x,y,z)的光滑曲面S的質(zhì)量。S幾何意義曲面S的面積S=242。242。dSS若S：f(x,y,z)=k（常數(shù)），則242。242。f(x,y,z)dS=242。242。kdS=k242。242。dS=kSSSS計(jì)算（一投、二代、三換元）（S1）DS:z=z(x,y)，(x,y)206。Dxy，則242。242。f(x,y,z)dS=242。242。f(x,y,z(x,y))（2）Dxz221+zx+zydxdyS:y=y(x,z)22，(x,z)206。Dxz，則242。242。Sf(x,y,z)dS=242。242。162。f[x,y(x,z),z]1+y162。x+yzdxdzS：x=x(y,z)（S3）Dyz，(y,z)206。Dyz，則242。242。f(x,y,z)dS=242。242。f[x(y,z),y,z]2162。21+x162。y+xzdydz。(五)、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定義229。R(x,h,z)(DS)242。242。R(x,y,z)dxdy=limlS174。0iiii=1nixy229。P(x,h,z)(DS)242。242。P(x,y,z)dydz=limlS174。0iiiii=1nyz229。Q(x,h,z)(DS)242。242。Q(x,y,z)dzdx=limlS174。0iiiizxi=1n物理意義流量F=242。242。P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy。S=242。242。(P(x,y,z)cosa+Q(x,y,z)cosb+R(x,y,z)cosg)dSS=242。242。vdSS計(jì)算（一投、二代、三定號(hào)）S:z=z(x,y)，（1）則242。242。R(x,y,z)dxdy=177。242。242。R[x,y,z(x,y)]dxdy（上(x,y)206。Dxy，SDxy側(cè)取正，下側(cè)取負(fù)）（2）則242。242。P(x,y,z)dydz=177。242。242。P[x(y,z),y,z]dydz（前(x,z)206。Dxz，S:x=x(y,z)，SDyz側(cè)取正，后側(cè)取負(fù)）（3）S:y=y(z,x)(y,z)206。Dyz，則242。242。Q(x,y,z)dzdx=177。242。242。Q[x,y(z,x),z]dzdx（右SDzx側(cè)取正，左側(cè)取負(fù)）兩類曲面積分之間的聯(lián)系242。242。Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=242。242。(Pcosa+Qcosb+Rcosg)dS，SSdS=dydzdzdxdxdy== cosacosbcosg其中cosa,cosb,cosg為有向曲面Σ上點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的方向余弦(六)、高斯公式高斯公式182。P182。Q182。R++)dv=242。242。Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=242。242。(Pcosa+Qcosb+Rcosg)dS 182。x182。y182。z229。229。242。242。242。(Wa,b,g是229。上點(diǎn)(x,y,z)處的法向量其中229。為W的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，的方向角。rrrr通量 向量場(chǎng)A=Pi+Qj+Rk，沿場(chǎng)中有向曲面Σrrrr0F=242。242。AdS=242。242。AndS=242。242。Pdydz+Qdzdx+Rdxdy r稱為向量場(chǎng)A(x,y,z)向正側(cè)穿過(guò)曲面Σ的通量 SSSrr182。P182。Q182。Rrrr+散度 設(shè)A=Pi+Qj+Rk，則divA=+182。x182。y182。z(七)、斯托克斯公式Stokes公式dydzdzdxdxdy182。182。182。=182。x182。y182。zPQRcosa182。182。xPcosb182。182。yQ242。242。S242。242。(S182。R182。Q182。P182。R182。Q182。P)dydz+()dzdx+()dxdy 182。y182。z182。z182。x182。x182。y=242。242。Scosg233。182。R182。Q249。182。Q182。P182。P182。R182。)cosa+()cosb+()cosgdSds=242。242。234。(182。y182。z182。z182。x182。x182。y182。zS235。R=242。Pdx+Qdy+RdzG其中有向曲線G是有向曲面S的整個(gè)邊界，且滿足右手系法則環(huán)流量 向量場(chǎng)A=Pi+Qj+Rk沿場(chǎng)A中某一封閉的有向曲線C上的曲線積分G=rrrr242。CAds=242。CPdx+Qdy+Rdz稱為向量場(chǎng)A沿曲線C按所取ij182。182。yQk182。dS 182。zR方向的環(huán)流量。環(huán)流量G=i182。旋度向量182。xPj182。182。yQ242。CAds=242。242。S182。182。xPkrrrr182。為向量場(chǎng)A=Pi+Qj+Rk的旋度(rotA)。182。zRi182。旋度rotA=182。xPj182。182。yQk182。182。R182。Qr182。P182。Rr182。Q182。Pr=()i+()j+()k.182。z182。y182。z182。z182。x182。x182。yR第二篇：高數(shù)積分總結(jié)高數(shù)積分總結(jié)一、不定積分不定積分的概念也性質(zhì)定義1：如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，即對(duì)任一x206。I,都有F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)。定義2：在區(qū)間I上，函數(shù)f（x）的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f（x）（或者f(x)dx）在區(qū)間I上的不定積分，記作242。f(x)dx。性質(zhì)1：設(shè)函數(shù)f(x)及g(x)的原函數(shù)存在，則242。[f(x)+g(x)]dx=242。f(x)dx+242。g(x)dx。性質(zhì)2：設(shè)函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則242。kf(x)dx=k242。f(x)dx。換元積分法(1)第一類換元法：定理1：設(shè)f(u)具有原函數(shù)，m=j(x)可導(dǎo)，則有換元公式242。f[j(x)]j39。(x)dx=[242。f(m)dm]mj=(x)。例：求242。2cos2xdx解 242。2cos2xdx=242。cos2x2dx=242。cos2x(2x)39。dx=242。cosmdm 將m=2x代入，既得242。2cos2xdx=sin2x+C(2)第二類換元法：定理2：設(shè)x=y(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且y39。(t)185。[y(t)]y39。(t)具有原函數(shù)，則有換元公式242。f(x)dx=[242。f[y(t)]y39。(t)dt]1其中y(x)是x=y(t)的反函數(shù)。t=y1(x)，例：求