全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)第五十講生活中的數(shù)學(xué)(三)——鏡子中的世界教案1北師大版5篇(編輯修改稿)
2024-11-04 00:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 都是大于3的質(zhì)數(shù)，求證：24｜pq．6．設(shè)x和y是正整數(shù)，x≠y，p是奇質(zhì)數(shù)，并且求x+y的值．第三篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第四十六講《同余式》教案1 北師大版！第四十六講 同余式數(shù)論有它自己的代數(shù)，稱為同余理論．最先引進(jìn)同余的概念與記號的是數(shù)學(xué)王子高斯．先看一個(gè)游戲：有n＋1個(gè)空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，甲乙兩人交替移動棋子，每步可前移1，2或3格，以先到最后一格者為勝．問是先走者勝還是后走者勝？應(yīng)該怎樣走才能取勝？取勝之道是：你只要設(shè)法使余下的空格數(shù)是4的倍數(shù)，以后你的對手若走i格(i=1，2，3)，你走4i格，即每一次交替，共走了4格．最后只剩4個(gè)空格時(shí)，你的對手就必輸無疑了．因此，若n除以4的余數(shù)是1，2或3時(shí)，那么先走者甲勝；若n除以4的余數(shù)是0的話，那么后走者乙勝．在這個(gè)游戲里，我們可以看出，有時(shí)我們不必去關(guān)心一個(gè)數(shù)是多少，而要關(guān)心這個(gè)數(shù)用m除后的余數(shù)是什么．又例如，1999年元旦是星期五，1999年有365天，365=752＋1，所以2000年的元旦是星期六．這里我們關(guān)心的也是余數(shù)．這一講中，我們將介紹同余的概念、性質(zhì)及一些簡單的應(yīng)用．同余，顧名思義，就是余數(shù)相同．定義1 給定一個(gè)正整數(shù)m，如果用m去除a，b所得的余數(shù)相同，則稱a與b對模m同余，記作a≡b(modm)，并讀作a同余b，模m．若a與b對模m同余，由定義1，有a=mq1＋r，b=mq2+r．所以 ab=m(q1q2)，即 m｜ab．反之，若m｜ab，設(shè)a=mq1＋r1，b=mq2＋r2，0≤r1，r2≤m1，則有m｜r1r2．因｜r1r2｜≤m1，故r1r2=0，即r1＝r2．于是，我們得到同余的另一個(gè)等價(jià)定義：！定義2 若a與b是兩個(gè)整數(shù)，并且它們的差ab能被一正整數(shù)m整除，那么，就稱a與b對模m同余．同余式的寫法，使我們聯(lián)想起等式．其實(shí)同余式和代數(shù)等式有一些相同的性質(zhì)，最簡單的就是下面的定理1．定理1(1)a≡a(modm)．(2)若a≡b(modm)，則b≡a(modm)．(3)若a≡b(modm)，b≡c(modm)，則a≡c(modm)．在代數(shù)中，等式可以相加、相減和相乘，同樣的規(guī)則對同余式也成立．定理2 若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則a177。c≡b177。d(modm)，ac≡bd(modm)．證 由假設(shè)得m｜ab，m｜c(diǎn)d，所以m｜(a177。c)(b177。d)，m｜c(diǎn)(ab)＋b(cd)，即a177。c≡b177。d(modm)，ac≡bd(modm)．由此我們還可以得到：若a≡b(modm)，k是整數(shù)，n是自然數(shù)，則a177。k≡b177。k(modm)，ak≡bk(modm)，a≡b(modm)．對于同余式ac≡bc(modm)，我們是否能約去公約數(shù)c，得到一個(gè)正確的同余式a≡b(modm)？在這個(gè)問題上，同余式與等式是不同的．例如25≡5(mod 10)，約去5得5≡1(mod 10)．這顯然是不正確的．但下面這種情形，相約是可以的．定理3 若ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，則nn 2！a≡b(modm)．證 由題設(shè)知acbc=(ab)c=mk．由于(m，c)=1，故m｜ab，即a≡b(modm)．定理4 若n≥2，a≡b(modm1)，a≡b(modm2)，………… a≡b(modmn)，且M=[m1，m2，…，mn]表示m1，m2，…，mn的最小公倍數(shù)，則a≡b(modM)．前面介紹了同余式的一些基本內(nèi)容，下面運(yùn)用同余這一工具去解決一些具體問題．應(yīng)用同余式的性質(zhì)可以簡捷地處理一些整除問題．若要證明m整除a，只需證a≡0(modm)即可．例1 求證：(1)8｜(552n1999＋17)；(2)8(3＋7)；(3)17｜(1910001)．1999證(1)因55≡1(mod 8)，所以5519998)，于是8｜(55＋17)．2n≡1(mod 8)，551999＋17≡1＋17=16≡0(mod(2)3=9≡1(mod 8)，3≡1(mod 8)，所以3＋7≡1＋7≡0(mod 8)，即8｜(3＋7)．(3)19≡2(mod 17)，19≡2=16≡1(mod 17)，所以19≡1(mod 17)，于是17｜(19100010002n2n=(19)250≡(1)2501)．！例2 求使21為7的倍數(shù)的所有正整數(shù)n．解 因?yàn)?≡8≡1(mod 7)，所以對n按模3進(jìn)行分類討論．(1)若n=3k，則21＝(2)1＝81≡11＝0(mod 7)；(2)若n=3k＋1，則21=2(2)1=281≡211＝1(mod 7)；(3)若n=3k＋2，則21=2(2)1=481≡411＝3(mod 7)．所以，當(dāng)且僅當(dāng)3｜n時(shí)，21為7的倍數(shù)．例3 對任意的自然數(shù)n，證明A=2903803464＋261能被1897整除．證 1897=7271，7與271互質(zhì)．因?yàn)?903≡5(mod 7)，803≡5(mod 7)，464≡2(mod 7)，261≡2(mod 7)，所以A=2903803464+261≡5n5n2n+2n=0(mod 7)，故7｜A．又因?yàn)?903≡193(mod 271)，nnnnnnnnnkn3kkkn3kkn3kkk3n 4！803≡261(mod 271)，464≡193(mod 271)，所以故271｜A．因(7，271)=1，所以1897整除A．例4 把1，2，3…，127，128這128個(gè)數(shù)任意排列為a1，a2，…，a128，計(jì)算出｜a1a2｜，｜a3a4｜，…，｜a127a128｜，再將這64個(gè)數(shù)任意排列為b1，b2，…，b64，計(jì)算｜b1b2｜，｜b3b4｜，…，｜b63b64｜．如此繼續(xù)下去，最
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