第二篇第8講函數(shù)與方程(編輯修改稿)
2025-01-13 08:11 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 13∈ (－1,1)； ② 當(dāng) g(1)＝ 7－ a＝ 0， a＝ 7 時(shí)， f′ (x)的零點(diǎn) x＝－ 73?(－ 1,1)，不合題意； ③ 當(dāng) g(1)g(－ 1)0 時(shí)，－ 1a7； ④ 當(dāng)????? Δ＝ 4 ?4＋ 3a?≥ 0，－ 1－ 231，g?1?0，g?－ 1?0時(shí)，－ 43≤ a－ 1. 綜上所述， a∈ ??? ???－ 43， 7 . 法二 g(x)＝ f′ (x)在區(qū)間 (－ 1,1)上存在零點(diǎn)，等價(jià)于 3x2＋ 4x＝ a 在區(qū)間 (－ 1,1)上有解，也等價(jià)于直線 y＝ a 與曲線 y＝ 3x2＋ 4x 在 (－ 1,1)有公共點(diǎn)．作圖可得a∈ ??? ???－ 43， 7 . 或者又等價(jià)于當(dāng) x∈ (－ 1,1)時(shí)，求值域． a＝ 3x2＋ 4x＝ 3??? ???x＋ 23 2－ 43∈ ??? ???－ 43， 7 . B 級(jí) 能力突破 (時(shí)間： 30 分鐘 滿分： 45 分 ) 一、選擇題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 1． (2021陜西 )函數(shù) f(x)＝ x－ cos x 在 [0，＋ ∞ )內(nèi) ( )． A．沒(méi)有零點(diǎn) B．有且僅有一個(gè)零點(diǎn) C．有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) D．有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn) 解析 令 f(x)＝ 0，得 x＝ cos x，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個(gè)函數(shù) y＝ x與 y＝cos x的 圖像 如圖所示，由 圖像 知，兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，從而方程 x＝ cos x只有一個(gè)解． ∴ 函數(shù) f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)． 答案 B 2． (2021遼寧 )設(shè)函數(shù) f(x)(x∈ R)滿足 f(－ x)＝ f(x)， f(x)＝ f(2－ x)，且當(dāng) x∈ [0,1]時(shí)， f(x)＝ g(x)＝|xcos(πx)|，則函數(shù) h(x)＝ g(x)－ f(x)在 ??? ???－ 12， 32 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( )． A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 解析 由題意知函數(shù) y＝ f(x)是周期為 2的偶函數(shù)且 0≤ x≤ 1時(shí)， f(x)＝ x3，則當(dāng)－ 1≤ x≤ 0時(shí)， f(x)＝－ x3，且 g(x)＝ |xcos(πx)|，所以當(dāng) x＝ 0時(shí)， f(x)＝ g(x)．當(dāng)x≠ 0 時(shí)，若 0x≤ 12， 則 x3＝ xcos(πx)，即 x2＝ |cos πx|.同理可以得到在區(qū)間??????－ 12， 0 ， ??????12， 1 ， ??????1， 32 上的關(guān)系式都是上式，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出所得關(guān)系式等號(hào)兩邊函數(shù)的 圖像 ，如圖所示，有 5個(gè)根．所以總共有 6個(gè)．
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