【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 果一個(gè) 凸多面體 的頂點(diǎn)數(shù)是 v、棱數(shù)是 e、面數(shù)是 f，那么它們總有這樣的關(guān)系： f+ve=2。 根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五 種正多面體。它們是正四面體 、正六面體、 正八面體 、正十二面體、正二十面體。 著名的 “四色問(wèn)題 ”也是與拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展有關(guān)的問(wèn)題。四色問(wèn)題又稱 四色猜想 ，是世界近代三大 數(shù)學(xué)難題 之一。中國(guó) 曾邦哲 于 20 世紀(jì) 8090 年代（ 結(jié)構(gòu)論 ）將其命題轉(zhuǎn)換為 “四色定理 ”等價(jià)于 “互鄰面最大的多面體是 四面體 ”的問(wèn)題。 拓?fù)鋵W(xué) 四色猜想的提出來(lái)自于英國(guó)。 1852 年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯 .格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象： “看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家都被著上不同的顏色。 ” 1872 年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家 凱利 正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。 1878～ 1880 年兩年間，著名律師兼數(shù)學(xué)家 肯普 和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但后來(lái)數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開始認(rèn)識(shí)到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是 一個(gè)可與 費(fèi)馬猜想 相媲美的難題。 進(jìn)入 20 世紀(jì)以來(lái)， 科學(xué)家 們對(duì)四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對(duì)話的出現(xiàn)，大大加快了對(duì)四色猜想證明的進(jìn)程。 1976 年，美國(guó)數(shù)學(xué)家 阿佩爾 與 哈肯 在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了 1200 個(gè)小時(shí)，作了 100 億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過(guò)不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡(jiǎn)捷明快的書面證明方法。 上面的幾個(gè)例子所講的都是一些和幾何圖形有關(guān)的問(wèn)題，但這 些問(wèn)題又與傳統(tǒng)的幾何學(xué)不同，而是一些新的幾何概念。這些就是 “拓?fù)鋵W(xué) ”的先聲。拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的、基礎(chǔ)性的分支。它最初是幾何學(xué)的一個(gè)分支，主要研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)，現(xiàn)在已成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)分支。 拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢(shì)分析學(xué)，是萊布尼茨 1679 年提出的名詞。十九世紀(jì)中期，黎曼在復(fù)函數(shù) 的研究中強(qiáng)調(diào)研究函數(shù)和 積分 就必須研究形勢(shì)分析學(xué)。從此開始了現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的 系統(tǒng)研究 。 連續(xù)性和離散性是自然界與社會(huì)現(xiàn)象中普遍存在的。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)連續(xù)性數(shù)學(xué)是帶有根本意 義的，對(duì)于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推動(dòng)作用。拓?fù)鋵W(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn) 代數(shù)學(xué) 的常識(shí)。拓?fù)鋵W(xué)的概念和方法在物理學(xué)、 生物學(xué) 、化學(xué)等學(xué)科中都有直接、廣泛的應(yīng)用。 拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，它是從 圖論 演變過(guò)來(lái)的。拓?fù)鋵W(xué)將實(shí)體抽象成與其大小、形狀無(wú)關(guān)的點(diǎn)，將連接實(shí) 體的線路抽象成線，進(jìn)而研究點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渫ㄟ^(guò)結(jié)點(diǎn)與 通信線路 之間的幾何關(guān)系來(lái)表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，反映出網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)實(shí)體之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。拓?fù)湓O(shè)計(jì)是建設(shè) 計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò) 的第一步，也是實(shí)現(xiàn)各種網(wǎng)絡(luò)協(xié)議的基礎(chǔ)，它對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能、可靠性與通信代價(jià)有很大影響。 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲饕侵竿ㄐ抛泳W(wǎng)的拓?fù)錁?gòu)型。 編輯本段 拓?fù)湫再|(zhì) 拓?fù)湫再|(zhì)有那些呢？首先我們介紹拓?fù)涞葍r(jià)，這是比較容易理解的一個(gè)拓?fù)湫再|(zhì)。 在拓?fù)鋵W(xué)里不討論兩個(gè)圖形全等的概念，但是討論拓?fù)涞葍r(jià)的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓?fù)渥儞Q下，它們都是等價(jià)圖形。換句話講，就是從拓?fù)鋵W(xué)的角度看，它們是完全一樣的。 在一個(gè)球面上任選一些點(diǎn)用不相交的線把它們連接起來(lái)，這樣球面就被這些線 分成許多塊。在拓?fù)渥儞Q下，點(diǎn)、線、塊的數(shù)目仍和原來(lái)的數(shù)目一樣，這就是拓?fù)涞葍r(jià)。一般地說(shuō)，對(duì)于任意形狀的閉 曲面 ，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓?fù)渥儞Q，就存在拓?fù)涞葍r(jià)。 應(yīng)該指出，環(huán)面不具有這個(gè)性質(zhì)。把環(huán)面切開，它不至于分成許多塊，只是變成一個(gè)彎曲的圓桶形，對(duì)于這種情況，我們就說(shuō)球面不能拓?fù)涞淖兂森h(huán)面。所以球面和環(huán)面在拓?fù)鋵W(xué)中是不同的曲面。 直線上的點(diǎn)和線的結(jié) 合關(guān)系、順序關(guān)系，在拓?fù)渥儞Q下不變，這是拓?fù)湫再|(zhì)。在拓?fù)鋵W(xué)中 曲線 和曲面的閉合性質(zhì)也是拓?fù)湫再|(zhì)。 我們通常講的平面、曲面通常有兩個(gè)面，就像一張紙有兩個(gè)面一樣。但 德國(guó) 數(shù)學(xué)家 莫比烏斯 (1790～ 1868)在 1858 年發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來(lái)涂滿，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)面。 拓?fù)渥儞Q的不變性、不變量還有很多，這里不再介紹。 編輯本段 拓?fù)浒l(fā)展 拓?fù)鋵W(xué)建立后，由于其它數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展需要，它也得到了迅速的發(fā)展。特別是黎曼創(chuàng)立 黎曼幾何 以后，他把拓?fù)鋵W(xué)概念作為分析函數(shù)論的基礎(chǔ)，更加促進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)展。 二十世紀(jì)以來(lái)， 集合論 被引進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)，為拓?fù)鋵W(xué)開拓了新的面貌。拓?fù)鋵W(xué)的研究就變成了關(guān)于任意點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)的概念。拓?fù)鋵W(xué)中一些需要精確化描述的問(wèn)題都可以應(yīng)用集合來(lái)論述。 因?yàn)榇罅孔匀滑F(xiàn)象具有連續(xù)性，所以拓?fù)鋵W(xué)具有廣泛聯(lián)系各種實(shí)際事物的可能性。通過(guò)拓?fù)鋵W(xué)的研究，可以闡明空間的集合結(jié)構(gòu)，從而掌握空間之間的 函數(shù)關(guān)系 。上世紀(jì)三十年代以后，數(shù)學(xué)家對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結(jié)構(gòu)概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數(shù)學(xué)分支叫做 微分幾何 ，是用微分工具來(lái)研究曲線、曲面 等在一點(diǎn)附近的彎曲情況，而拓?fù)鋵W(xué)是研究曲面的全局聯(lián)系的情況，因此，這兩門學(xué)科應(yīng)該存在某種本質(zhì)的聯(lián)系。 1945 年，美籍中國(guó)數(shù)學(xué)家 陳省身 建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，并推進(jìn)了整體幾何學(xué)的發(fā)展。 拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個(gè)分支。一個(gè)分支是偏重于用分析的方法來(lái)研究的，叫做點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)，或者叫做分析拓?fù)鋵W(xué)。另一個(gè)分支是偏重于用代數(shù)方法來(lái)研究的，叫做 代數(shù)拓?fù)鋵W(xué) ?，F(xiàn)在，這兩個(gè)分支又有統(tǒng)一的趨勢(shì)。 拓?fù)鋵W(xué)在 泛函分析 、 實(shí)分析 、 群論 、微分幾何、 微分方程 其他許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。 編輯本段 發(fā)展簡(jiǎn)史 形勢(shì)分析學(xué) 拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢(shì)分析學(xué)，這是 1679 年提出的名詞 (中文譯成形勢(shì)，形指一個(gè)圖形本身的性質(zhì)，勢(shì)指一個(gè)圖形與其子圖形相對(duì)的性質(zhì)，經(jīng)過(guò) 20 世紀(jì) 30 年代中期起 布爾巴基學(xué)派 的補(bǔ)充（一致性空間、仿緊性等）和整理， 紐結(jié) 和嵌入問(wèn)題就是勢(shì)的問(wèn)題 )。隨后波蘭學(xué)派和 蘇聯(lián) 學(xué)派對(duì)拓?fù)淇臻g的基本性質(zhì)（分離性、 緊性 、 連通性 等）做了系統(tǒng)的研究。 1736 年解決了七橋問(wèn)題， 1750 年發(fā)表了多面體公式； 1833 年在電動(dòng)力學(xué)中用 線積分 定義了空間中兩條封閉曲線的環(huán)繞數(shù)。拓?fù)鋵W(xué)這個(gè)詞（中文是音譯）是 提出的 (1847)，源自 希臘 文 (位置、形勢(shì) )與 (學(xué)問(wèn) )。這是萌芽階段。 1851 年起， ，并且強(qiáng)調(diào)，為了研究函數(shù)、研究積分，就必須研究形勢(shì)分析學(xué)。從此開始了拓?fù)鋵W(xué)的 系統(tǒng)研究 ，在點(diǎn)集論的思想影響下，黎曼本人解決了可定向閉曲面的 同胚 分類問(wèn)題 。如 聚點(diǎn) （極限點(diǎn)）、 開集 、 閉集 、稠密性、連通性等。在幾何學(xué)的研究中 黎曼 明確提出 n 維流形的概念 (1854)。得出許多拓?fù)涓拍睿? 組合拓?fù)鋵W(xué)的奠基人是 。他是在分析學(xué)和 力學(xué) 的工作中，特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微 分方程決定的曲線的研究中，引向拓?fù)鋵W(xué)問(wèn)題的，但他的方法有時(shí)不夠嚴(yán)密，他的主要興趣在 n 維流形。在 1895～ 1904 年間，他創(chuàng)立了用剖分研究流形的基本方法。他引進(jìn)了許多不變量：基本群、同調(diào)、 貝蒂 數(shù)、撓系數(shù)，并提出了具體計(jì)算的方法。他引進(jìn)了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù)，他探討了三維流形的拓?fù)浞诸悊?wèn)題，提出了著名的 龐加萊猜想 。他留下的豐富思想影響深遠(yuǎn)，但他的方法有時(shí)不夠嚴(yán)密，過(guò)多地依賴幾何直觀。特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中， 拓?fù)鋵W(xué)的另一淵源是分析學(xué)的嚴(yán)密化。他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中， 實(shí)數(shù) 的嚴(yán)格定義推動(dòng) G. 康托爾從 1873 年起系統(tǒng)地展開了 歐氏空間 中的點(diǎn)集的研究，得出許多拓?fù)涓拍?，如聚點(diǎn)（ 極限 點(diǎn)）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在點(diǎn)集論的思想影響下，分析學(xué)中出現(xiàn)了泛函數(shù)（即函數(shù)的函數(shù)）的 觀念 ， 把函數(shù)集看成一種幾何對(duì)象并討論其中的極限。這終于導(dǎo)致抽象空間的觀念。這樣， ，到 120 世紀(jì)之交，已經(jīng)形成了組合拓?fù)鋵W(xué)與點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)這兩個(gè)研究方向。這是萌芽階段。 一般拓?fù)鋵W(xué) 最早研究抽象空間的是 ，在 19 拓?fù)鋵W(xué) 06 年引進(jìn)了 度量空間 的概念。 在《集論 大綱》（ 1914）中用開 鄰域 定義了比較一般的拓?fù)淇臻g，標(biāo)志著用 公理化方法 研究連續(xù)性的一般拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生。 1736 年解決了 七橋問(wèn)題 ，隨后 波蘭學(xué)派 和蘇聯(lián)學(xué)派對(duì)拓?fù)淇臻g的基本性質(zhì)（分離性、緊性、連通性等）做了系統(tǒng)的研究。經(jīng)過(guò)