【文章內(nèi)容簡介】 果一個 凸多面體 的頂點數(shù)是 v、棱數(shù)是 e、面數(shù)是 f，那么它們總有這樣的關(guān)系： f+ve=2。 根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五 種正多面體。它們是正四面體 、正六面體、 正八面體 、正十二面體、正二十面體。 著名的 “四色問題 ”也是與拓撲學發(fā)展有關(guān)的問題。四色問題又稱 四色猜想 ，是世界近代三大 數(shù)學難題 之一。中國 曾邦哲 于 20 世紀 8090 年代（ 結(jié)構(gòu)論 ）將其命題轉(zhuǎn)換為 “四色定理 ”等價于 “互鄰面最大的多面體是 四面體 ”的問題。 拓撲學 四色猜想的提出來自于英國。 1852 年，畢業(yè)于倫敦大學的弗南西斯 .格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象： “看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。 ” 1872 年，英國當時最著名的數(shù)學家 凱利 正式向倫敦數(shù)學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。 1878～ 1880 年兩年間，著名律師兼數(shù)學家 肯普 和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但后來數(shù)學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是 一個可與 費馬猜想 相媲美的難題。 進入 20 世紀以來， 科學家 們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進程。 1976 年，美國數(shù)學家 阿佩爾 與 哈肯 在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了 1200 個小時，作了 100 億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過不少數(shù)學家并不滿足于計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。 上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關(guān)的問題，但這 些問題又與傳統(tǒng)的幾何學不同，而是一些新的幾何概念。這些就是 “拓撲學 ”的先聲。拓撲學是數(shù)學中一個重要的、基礎性的分支。它最初是幾何學的一個分支，主要研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)，現(xiàn)在已成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的重要的數(shù)學分支。 拓撲學起初叫形勢分析學，是萊布尼茨 1679 年提出的名詞。十九世紀中期，黎曼在復函數(shù) 的研究中強調(diào)研究函數(shù)和 積分 就必須研究形勢分析學。從此開始了現(xiàn)代拓撲學的 系統(tǒng)研究 。 連續(xù)性和離散性是自然界與社會現(xiàn)象中普遍存在的。拓撲學對連續(xù)性數(shù)學是帶有根本意 義的，對于離散性數(shù)學也起著巨大的推動作用。拓撲學的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn) 代數(shù)學 的常識。拓撲學的概念和方法在物理學、 生物學 、化學等學科中都有直接、廣泛的應用。 拓撲學是幾何學的一個分支，它是從 圖論 演變過來的。拓撲學將實體抽象成與其大小、形狀無關(guān)的點，將連接實 體的線路抽象成線，進而研究點、線、面之間的關(guān)系。網(wǎng)絡拓撲通過結(jié)點與 通信線路 之間的幾何關(guān)系來表示網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，反映出網(wǎng)絡中各個實體之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。拓撲設計是建設 計算機網(wǎng)絡 的第一步，也是實現(xiàn)各種網(wǎng)絡協(xié)議的基礎，它對網(wǎng)絡性能、可靠性與通信代價有很大影響。 網(wǎng)絡拓撲主要是指通信子網(wǎng)的拓撲構(gòu)型。 編輯本段 拓撲性質(zhì) 拓撲性質(zhì)有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質(zhì)。 在拓撲學里不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。換句話講，就是從拓撲學的角度看，它們是完全一樣的。 在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連接起來，這樣球面就被這些線 分成許多塊。在拓撲變換下，點、線、塊的數(shù)目仍和原來的數(shù)目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對于任意形狀的閉 曲面 ，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變換，就存在拓撲等價。 應該指出，環(huán)面不具有這個性質(zhì)。把環(huán)面切開，它不至于分成許多塊，只是變成一個彎曲的圓桶形，對于這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環(huán)面。所以球面和環(huán)面在拓撲學中是不同的曲面。 直線上的點和線的結(jié) 合關(guān)系、順序關(guān)系，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質(zhì)。在拓撲學中 曲線 和曲面的閉合性質(zhì)也是拓撲性質(zhì)。 我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但 德國 數(shù)學家 莫比烏斯 (1790～ 1868)在 1858 年發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來涂滿，因為只有一個面。 拓撲變換的不變性、不變量還有很多，這里不再介紹。 編輯本段 拓撲發(fā)展 拓撲學建立后，由于其它數(shù)學學科的發(fā)展需要，它也得到了迅速的發(fā)展。特別是黎曼創(chuàng)立 黎曼幾何 以后，他把拓撲學概念作為分析函數(shù)論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。 二十世紀以來， 集合論 被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關(guān)于任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。 因為大量自然現(xiàn)象具有連續(xù)性，所以拓撲學具有廣泛聯(lián)系各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結(jié)構(gòu)，從而掌握空間之間的 函數(shù)關(guān)系 。上世紀三十年代以后，數(shù)學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結(jié)構(gòu)概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數(shù)學分支叫做 微分幾何 ，是用微分工具來研究曲線、曲面 等在一點附近的彎曲情況，而拓撲學是研究曲面的全局聯(lián)系的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質(zhì)的聯(lián)系。 1945 年，美籍中國數(shù)學家 陳省身 建立了代數(shù)拓撲和微分幾何的聯(lián)系，并推進了整體幾何學的發(fā)展。 拓撲學發(fā)展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重于用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重于用代數(shù)方法來研究的，叫做 代數(shù)拓撲學 ?，F(xiàn)在，這兩個分支又有統(tǒng)一的趨勢。 拓撲學在 泛函分析 、 實分析 、 群論 、微分幾何、 微分方程 其他許多數(shù)學分支中都有廣泛的應用。 編輯本段 發(fā)展簡史 形勢分析學 拓撲學起初叫形勢分析學，這是 1679 年提出的名詞 (中文譯成形勢，形指一個圖形本身的性質(zhì)，勢指一個圖形與其子圖形相對的性質(zhì)，經(jīng)過 20 世紀 30 年代中期起 布爾巴基學派 的補充（一致性空間、仿緊性等）和整理， 紐結(jié) 和嵌入問題就是勢的問題 )。隨后波蘭學派和 蘇聯(lián) 學派對拓撲空間的基本性質(zhì)（分離性、 緊性 、 連通性 等）做了系統(tǒng)的研究。 1736 年解決了七橋問題， 1750 年發(fā)表了多面體公式； 1833 年在電動力學中用 線積分 定義了空間中兩條封閉曲線的環(huán)繞數(shù)。拓撲學這個詞（中文是音譯）是 提出的 (1847)，源自 希臘 文 (位置、形勢 )與 (學問 )。這是萌芽階段。 1851 年起， ，并且強調(diào)，為了研究函數(shù)、研究積分，就必須研究形勢分析學。從此開始了拓撲學的 系統(tǒng)研究 ，在點集論的思想影響下，黎曼本人解決了可定向閉曲面的 同胚 分類問題 。如 聚點 （極限點）、 開集 、 閉集 、稠密性、連通性等。在幾何學的研究中 黎曼 明確提出 n 維流形的概念 (1854)。得出許多拓撲概念， 組合拓撲學的奠基人是 。他是在分析學和 力學 的工作中，特別是關(guān)于復函數(shù)的單值化和關(guān)于微 分方程決定的曲線的研究中，引向拓撲學問題的，但他的方法有時不夠嚴密，他的主要興趣在 n 維流形。在 1895～ 1904 年間，他創(chuàng)立了用剖分研究流形的基本方法。他引進了許多不變量：基本群、同調(diào)、 貝蒂 數(shù)、撓系數(shù)，并提出了具體計算的方法。他引進了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù)，他探討了三維流形的拓撲分類問題，提出了著名的 龐加萊猜想 。他留下的豐富思想影響深遠，但他的方法有時不夠嚴密，過多地依賴幾何直觀。特別是關(guān)于復函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中， 拓撲學的另一淵源是分析學的嚴密化。他是在分析學和力學的工作中， 實數(shù) 的嚴格定義推動 G. 康托爾從 1873 年起系統(tǒng)地展開了 歐氏空間 中的點集的研究，得出許多拓撲概念，如聚點（ 極限 點）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在點集論的思想影響下，分析學中出現(xiàn)了泛函數(shù)（即函數(shù)的函數(shù)）的 觀念 ， 把函數(shù)集看成一種幾何對象并討論其中的極限。這終于導致抽象空間的觀念。這樣， ，到 120 世紀之交，已經(jīng)形成了組合拓撲學與點集拓撲學這兩個研究方向。這是萌芽階段。 一般拓撲學 最早研究抽象空間的是 ，在 19 拓撲學 06 年引進了 度量空間 的概念。 在《集論 大綱》（ 1914）中用開 鄰域 定義了比較一般的拓撲空間，標志著用 公理化方法 研究連續(xù)性的一般拓撲學的產(chǎn)生。 1736 年解決了 七橋問題 ，隨后 波蘭學派 和蘇聯(lián)學派對拓撲空間的基本性質(zhì)（分離性、緊性、連通性等）做了系統(tǒng)的研究。經(jīng)過