【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 O P N 中， ∵????? OM ＝ ON ，PM ＝ PN ，OP ＝ OP . ∴△ O P M ≌△ O P N ( SSS ) ． ∴∠ A O P ＝ ∠ B O P ( 全等三角形對(duì)應(yīng)角相等 ) ． ∴ OP 就是 ∠ A O B 的平分線 ． 第 19講 ┃ 歸類示例 ( 2) 當(dāng) ∠ A OB 是直角時(shí)，方案 ( Ⅰ ) 可行． ∵ 四邊形內(nèi)角和為 360 176。 ，又若 PM ⊥ OA ， PN ⊥ OB ，則∠ OM P ＝ ∠ ON P ＝ 90 176。 ， ∠ M P N ＝ 90 176。 ， ∴∠ A OB ＝ 90 176。 . ∵ 若 PM ⊥ OA ， PN ⊥ OB ， 且 PM ＝ PN ， ∴ OP 為 ∠ A OB 的平分線． 當(dāng) ∠ A OB 不為直角時(shí)，此方案不可行． 因四邊形內(nèi)角和為 360 176。 ，若 ∠ A OB 不為直角，則 PM 、PN 不可能垂直 OA 、 OB . 第 20講 ┃ 等腰三角形 第 20講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 1 等腰三角形的概念與性質(zhì) 定義 有 ________ 相等的三角形是等腰三角形，相等的兩邊叫腰，第三邊為底 軸對(duì) 稱性 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有 ____條對(duì)稱軸 定理 1 等腰三角形的兩個(gè)底角相等 ( 簡(jiǎn)稱為： _____ __ __ __ _) 性質(zhì) 定理 2 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的 ________ 和底邊上的高互相重合，簡(jiǎn)稱 “ 三線合一 ” 兩邊 1 等邊對(duì)等角 中線 第 20講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 ( 1 ) 等腰三角形兩腰上的高相等 ( 2 ) 等腰三角形兩腰上的中線相等 ( 3 ) 等腰三角形兩底角的平分線相等 ( 4 ) 等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半 ( 5 ) 等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行 ( 6 ) 等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高 拓展 ( 7 ) 等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)到兩腰距離之差等于一腰上的高 第 20講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 2 等腰三角形的判定 定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等 ( 簡(jiǎn)寫成：____________ ) ( 1 ) 一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形 ( 2 ) 一邊上的高與這邊所對(duì)的角的平分線重合的三角形是等腰三角形 拓展 ( 3 ) 一邊上的中線與這邊所對(duì)的角的平分線重合的三角形是等腰三角形 等角對(duì)等邊 第 20講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 3 等邊三角形 定義 三邊相等的三角形是等邊三角形 等邊三角形的各角都 ______ ，并且每一個(gè)角都等于 ______ 性質(zhì) 等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有 ______ 條對(duì)稱軸 ( 1 ) 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 判定 ( 2 ) 有一個(gè)角等于 60 176。 的等腰三角形是等邊三角形 相等 60176。 3 第 20講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 4 線段的垂直平分線 定義 經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)與這條線段垂直的直線叫做這條線段的垂直平分線 性質(zhì) 線段垂直 平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離 ________ 判定 與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的 ____________ 上 實(shí)質(zhì) 構(gòu)成 線段的垂直平分線可以看作到線段兩個(gè)端點(diǎn) ____________ 的所有點(diǎn)的集合 相等 垂直平分線 距離相等 第 20講 ┃ 歸類示例 歸類示例 ? 類型之一 等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用 命題角度： 1. 等腰三角形的性質(zhì)； 2. 等腰三角形 “ 三線合一 ” 的性質(zhì)； 3. 等腰三角形兩腰上的高 ( 中線 ) 、兩底角的平分線的性質(zhì) . 第 20講 ┃ 歸類示例 [ 20 1 1 株洲 ] 如圖 20 － 1, △ ABC 中， AB ＝ AC ， ∠ A ＝36 176。 ， AC 的垂直平分線交 AB 于 E ， D 為垂足，連接 EC . ( 1) 求 ∠ ECD 的度數(shù)； ( 2) 若 CE ＝ 5 ，求 BC 長(zhǎng)． 圖 20 － 1 第 20講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] ( 1 ) 利用 AC 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) E 和等邊對(duì)等角求解 ． ( 2 ) 證明 △ BEC 是等腰三角形 ． 解： ( 1) 解法一： ∵ DE 垂直平分 AC ， ∴ CE ＝ AE ， ∴∠ ECD ＝ ∠ A ＝ 36 176。 . 解法二： ∵ DE 垂直平分 AC ， ∴ AD ＝ CD ， ∠ A D E ＝ ∠ C D E ＝ 90 176。 ， 又 ∵ DE ＝ DE ， ∴△ A D E ≌△ C D E ， ∴∠ ECD ＝ ∠ A ＝ 36 176。 . 第 20講 ┃ 歸類示例 ( 2) 解法一： ∵ AB ＝ AC ， ∠ A ＝ 36 176。 ， ∴∠ B ＝ ∠ ACB ＝ 72 176。 . ∵∠ ECD ＝ 36 176。 ， ∴∠ BCE ＝ ∠ ACB － ∠ ECD ＝ 36 176。 ， 則 ∠ BEC ＝ 72 176。 ＝ ∠ B ，故 BC ＝ EC ＝ 5. 解法二： ∵ AB ＝ AC ， ∠ A ＝ 36 176。 ， ∴∠ B ＝ ∠ ACB ＝ 72 176。 ， ∴∠ BEC ＝ ∠ A ＋ ∠ ECD ＝ 72 176。 ， ∴∠ BEC ＝ ∠ B ， ∴ BC ＝ EC ＝ 5. 第 20講 ┃ 歸類示例 ( 1) 利用線段的垂直平分線進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)換，進(jìn)而進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換． ( 2) 在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊與等邊對(duì)等角進(jìn)行互相轉(zhuǎn)換． ? 類型之二 等腰三角形的判定 第 20講 ┃ 歸類示例 命題角度： 等腰三角形的判定 ． [ 201 1 揚(yáng)州 ] 已知：如圖 20 － 2 ，銳角 △ ABC 的兩條高BD 、 CE 相交于點(diǎn) O ，且 OB ＝ OC . ( 1) 求證： △ ABC 是等腰三角形； ( 2) 判斷點(diǎn) O 是否在 ∠ BAC 的 平分線上，并說(shuō)明理由． 圖 20 － 2 第 20講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] (1) 利用 △ BDC ≌△ CEB 證明 ∠ DCB ＝ ∠ EBC ；(2) 連結(jié) AO ，通過(guò) H L 證明 △ ADO ≌△ AEO ，從而得到∠ DAO ＝ ∠ EAO ，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，證明結(jié)論． 第 20講 ┃ 歸類示例 解： (1) 證明： ∵ OB ＝ OC ， ∴∠ OBC ＝ ∠ OCB . ∵ BD 、 CE 是兩條高， ∴∠ BDC ＝ ∠ CEB ＝ 90 176。 . 又 ∵ BC ＝ CB ， ∴△ BDC ≌△ CEB ( A AS ) ． ∴∠ DCB ＝ ∠ EB C, ∴ AB ＝ AC . ∴△ ABC 是等腰三角形． 第 20講 ┃ 歸類示例 (2) 點(diǎn) O 在 ∠ BAC 的平分線上，連結(jié) AO . ∵△ BDC ≌△ CEB ， ∴ BD ＝ CE . ∵ O B ＝ OC ， ∴ OD ＝ OE . 又 ∵∠ BDC ＝ ∠ CEB ＝ 90 176。 ， AO ＝ AO ， ∴△ ADO ≌△ AEO ( H L ) ． ∴∠ DAO ＝ ∠ EAO . ∴ 點(diǎn) O 在 ∠ BAC 的平分線上． 第 20講 ┃ 歸類示例 要證明一個(gè)三角形是等腰三角形，必須得到兩邊相等，而得到兩邊相等的方法主要有： ( 1 ) 通過(guò)等角對(duì)等邊得兩邊相等； ( 2 ) 通過(guò)三角形全等得兩邊相等； ( 3 ) 利用垂直平分線的性質(zhì)得兩邊相等 ． ? 類型之三 等腰三角形的多解問(wèn)題 第 20講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 遇到等腰三角形的問(wèn)題時(shí)，注意邊有腰與底之分，角有底角和頂角之分； 2. 遇到高線 的問(wèn)題要考慮高在形內(nèi)和形外兩種情況． [ 2021 廣安 ] 已知等腰 △ ABC 中， AD ⊥ BC 于點(diǎn) D ，且 AD ＝12BC ，則 △ ABC 底角的度數(shù)為 ( ) A ． 45 176。 B ． 75 176。 C ． 45 176。 或 75 176。 D ． 60 176。 C 第 20講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 首先根據(jù)題意畫出圖形，注意分別從 ∠ BAC 是頂角與 ∠ BAC 是底角去分析 ． 如圖 ( 1 ) ： AB ＝ AC ， ∵ AD ⊥ BC ， ∴ BD ＝ CD ＝12BC ， ∠ A DB ＝ 90 176。 . ∵ AD ＝12BC ， ∴ AD ＝ BD ， ∴∠ B ＝ 45 176。 ， 即此時(shí) △ ABC 底角的度數(shù)為 45 176。 ； 第 20講 ┃ 歸類示例 如圖 ( 2) ， AC ＝ BC ， ∵ AD ⊥ BC ， ∴∠ A D C ＝ 90 176。 . ∵ AD ＝12BC ， ∴ AD ＝12AC ， ∴∠ C ＝ 30 176。 . ∴∠ CAB ＝ ∠ B ＝180 176。 － ∠ A2＝ 75 176。 ， 即此時(shí) △ ABC 底角的度數(shù)為 75 176。 . 綜上， △ ABC 底角的度數(shù)為 45 176。 或 75 176。 . 故選 C. 第 20講 ┃ 歸類示例 因?yàn)榈妊切蔚倪呌醒c底之分，角有底角和頂角之分，等腰三角形的高線要考慮高在形內(nèi)和形外兩種情況 ． 故當(dāng)題中條件給出不明確時(shí)，要分類討論進(jìn)行解題，才能避免漏解情況 ． ? 類型之四 等邊三角形的判定與性質(zhì) 第 20講 ┃ 歸類示例 [ 201 1 紹興 ] 數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目． 圖 20 － 3 在等邊三角形 ABC 中，點(diǎn) E 在 AB 上，點(diǎn) D 在 CB 的延長(zhǎng)線上，且 ED ＝ EC ，如圖 20 － 3. 試確定線段 AE 與 DB 的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由． 小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答： 第 20講 ┃ 歸類示例 (1) 特殊情況，探索結(jié)論 當(dāng)點(diǎn) E 為 AB 的中點(diǎn)時(shí)，如圖 20 － 4 ① ，確定線段 AE 與DB 的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論： AE _______ _ DB ( 填 “”“” 或 “ ＝ ” ) ． ① ② 圖 20 － 4 第 20講 ┃ 歸類示例 ( 2 ) 特例啟發(fā)，解答題目 解：題目中， AE 與 DB 的大小關(guān)系是：AE ________ DB ( 填 “ ”“ ” 或 “ ＝ ” ) ． 理由如下：如圖 21 －4 ② ，過(guò)點(diǎn) E 作 EF ∥ BC ，交 AC 于點(diǎn) F . ( 請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程 ) ( 3 ) 拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題 在等邊三角形 ABC 中，點(diǎn) E 在直線 AB 上，點(diǎn) D 在直線BC 上，且 ED ＝ EC . 若 △ ABC 的邊長(zhǎng)為 1 ， AE ＝ 2 ，求 CD 的長(zhǎng) ( 請(qǐng)你直接寫出結(jié)果 ) ． 第 20講 ┃ 歸類示例 解： ( 1) ＝ ( 2 ) ＝ 方法一：如圖，等邊三角形 ABC 中， ∠ ABC ＝ ∠ ACB ＝ ∠ BAC ＝ 60 176。 ， AB ＝ BC ＝ AC . ∵ EF ∥ BC ， ∴∠ AEF ＝ ∠ AFE ＝ 60 176。 ＝ ∠ BAC ， ∴△ AEF 是等邊三角形， ∴ AE ＝ AF ＝ EF ， ∴ AB － AE ＝ AC － AF ，即 BE ＝ CF . 又 ∵∠ ABC ＝ ∠ E DB ＋ ∠ BED ＝ 60 176。 ， ∠ ACB ＝ ∠ ECB ＋ ∠ FCE ＝ 60 176。 ， 且 ED ＝ EC ， ∴∠ E DB ＝ ∠ ECB ， ∴∠ BED ＝ ∠ FCE ， 又 ∵∠ DB E ＝ ∠ EFC ＝ 120 176。 ， ∴△ DB E ≌△ EFC ， ∴ DB ＝ EF ， ∴ AE ＝ BD . 第 20講 ┃ 歸類示例 方法二：在等邊三角形 ABC 中， ∠ ABC ＝ ∠ ACB ＝ 60 176。 ， ∠ ABD ＝ 120 176。 . ∵∠ ABC ＝ ∠ E DB ＋ ∠ BED ， ∠ ACB ＝ ∠ ECB ＋ ∠ ACE ， ED ＝ EC ， ∴∠ E DB ＝ ∠ ECB ， ∴∠ BED ＝ ∠ ACE . ∵ FE ∥ BC ， ∴∠ AEF ＝ ∠ AFE ＝ 60 176。 ＝ ∠ BAC ， ∴△ AEF 是正三角形， ∠ EFC ＝ 180 176。 － ∠ ACB ＝ 120 176。 ＝∠ ABD .