20xx考研數(shù)學：微積分如何復習？(編輯修改稿)
2024-10-25 04:44 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ⑴ limx2sin1 ⑵ limxcosxx174。0x174。+165。1+x2x三 連續(xù)和間斷 四 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（這里有一些證明題值得注意）。第二講 微分學一 導數(shù)概念導數(shù)：f162。(x)=limf(x0+Dx)f(x0)=limf(x)f(x0)Dx174。0x174。x0Dxxx0左導數(shù)：f162。(x)=limf(x0+Dx)f(x0)=limf(x)f(x0)Dx174。0x174。x0Dxxx0右導數(shù)：f+162。(x)=limf(x0+Dx)f(x0)=limf(x)f(x0)Dx174。0+x174。x0+Dxxx0 實質(zhì)：差商的極限。例1 計算極限：⑴ limh174。0f(x0h)f(x0)f(x0)f(x0Dx)⑵ limDx174。0hDx二 各種求導法⑴導數(shù)公式表（P94）和四則運算法則（P85）例2設f(x)=4x+3xx4+5logax+sin2，求f162。(x)；例3設f(x)=1sinx+arctanxcscx，求f162。(x)，f162。()；4x ⑵復合函數(shù)的求導（P90）例4 求下列函數(shù)的導數(shù)①f(x)=arctane2x ②f(x)=etanx ⑶隱函數(shù)求導（方法：把y當作x的函數(shù)，兩邊對x求導）例5 求下列隱函數(shù)的導數(shù)①xye+y=0 ②2y=3x+5lny ⑷對數(shù)求導法（多用于冪指函數(shù)和由多因子相乘構(gòu)成的函數(shù)的求導）例6 求下列函數(shù)的導數(shù)① y=xsinxxp ②y=2x1(x+1)(32x)⑸由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導236。x=j(t)重點：由參數(shù)方程237。確定的函數(shù)y=f(x)的導數(shù)為dy=y162。(t)；dxj162。(t)238。y=y(t)236。x=ln(1+t)例7 設237。，求dy；dx238。y=tarctant三 高階導數(shù)例8 設y=2arctanx，求y162。162。； 例9 設y=ex+xn，求y(n)； 四 微分重點：函數(shù)y=f(x)的微分是dy=f162。(x)dx例10 設y=3x2+e2x，求dy； 例11設y=2x+ey，求dy； 五 單調(diào)性和極值重點：⑴由f162。(x)的符號可以判斷出f(x)的單調(diào)性；⑵求f(x)的極值方法：①求出f162。(x)，令其為零，得到駐點及不可導點，姑且統(tǒng)稱為可疑點；②判斷在可疑點兩側(cè)附近f162。(x)的符號，若左正右負，則取得極大值；若左負右正，則取得極小值；若同號，則不取得極值。例12 求函數(shù)y=xln(x+1)的單調(diào)區(qū)間和極值點。例13 證明：當0x六 最值問題求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最值之步驟：①求出f162。(x)，令其為零，得到可疑點（駐點和不可導點），并求出函數(shù)在這些點處的取值；②求出函數(shù)在區(qū)間端點取值f(a)，f(b)；③比較函數(shù)在可疑點和區(qū)間端點上的取值，最大者即為最大值，最小者即為最小值。例14 求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最值。⑴f(x)=x42x2+5，[2,3] ⑵y=x1，[0,4]x+1七 凹凸性和拐點重點：⑴凹凸性概念：設f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，若對x1,x2206。(a,b)（x1185。x2），有p2時，恒有xsinx。f(x1+x2f(x1)+f(x2)x+x2f(x1)+f(x2)))（f(1）2222則稱f(x)在(a,b)內(nèi)是凹函數(shù)（凸函數(shù)）。（用此定義可以證明一些不等式，見下例）。⑵由f162。162。(x)的符號可以判斷出f(x)的凹凸性。f162。162。(x)為正號則f(x)是凹函數(shù)，f162。162。(x)為負號則f(x)是凸函數(shù)。⑵判斷f(x)的拐點之方法：①求出f162。162。(x)，令其為零，得到f162。162。(x)等于0的點和f162。162。(x)不存在的點；②判斷在這些點兩側(cè)附近f162。162。(x)的符號，若為異號，則該點是拐點；若同號，則該點不是拐點。例15 求下列函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點。⑴y=x2x+1 ⑵y=3x例16 證明：當x1185。x2時，必有ax1+x2243ax1+ax2（a0）。2第三講 積分學一 不定積分與原函數(shù)的概念與性質(zhì)⑴原函數(shù)：若F162。(x)=f(x)，則稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù)。⑵不定積分：f(x)的全體原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，即242。f(x)dx=F(x)+c，這里F162。(x)=f(x)⑶不定積分的性質(zhì)（P174,共2個）特別強調(diào)：242。F162。(x)dx=F(x)+c；242。dF(x)=F(x)+c（切記常數(shù)c不可丟）二 定積分的概念與性質(zhì)⑴定積分概念：n242。baf(x)dx=lim229。f(xi)Dxil174。0i=1 ⑵定積分和不定積分的區(qū)別：定積分是和式的極限，計算結(jié)果是個常數(shù)；不定
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