【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 第一步：先求出?A?+?B?（或者說(shuō)把A，B的一切元素都“包含”進(jìn)來(lái)，加在一起）；第二步：減去?A∩B?（即“排除”加了兩次的元素）總結(jié)為公式：|A∪B|=?A?+?B??A∩B? 原理二：給定三個(gè)集合A，B，C。要計(jì)算A∪B∪C中元素的個(gè)數(shù)，可以分三步進(jìn)行：第一步：先求?A?+?B?+?C?；第二步：減去?A∩B?，?B∩C?，?C∩A?；第三步：再加上?A∩B∩C?。即有以下公式：?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C??A∩B??B∩C?|C∩A|+|A∩B∩C?二、例題分析：例1 求不超過(guò)20的正整數(shù)中是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)。分析：設(shè)A={20以內(nèi)2的倍數(shù)}，B={20以內(nèi)3的倍數(shù)}，顯然，要求計(jì)算2或3的倍數(shù)個(gè)數(shù)，即求?A∪B?。解1：A={2，4，6，?20}，共有10個(gè)元素，即|A|=10 B={3，6，9，?18}，共有6個(gè)元素，即|B|=6 A∩B={既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)}={6，12，18}，共有3個(gè)元素，即|A∩B|=3 所以?A∪B?=?A?+?B??A∩B?=10+63=13，即A∪B中共有13個(gè)元素。解2：本題可直觀地用圖示法解答? 如圖,其中,圓A中放的是不超過(guò)20的正整數(shù)中2的倍數(shù)的全體。圓B中放的是不超過(guò)20的正整數(shù)中3的倍數(shù)的全體,其中陰影部分的數(shù)6,12,18是既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)的數(shù)(即A∩B中的數(shù))只要數(shù)一數(shù)集合A∪B中的數(shù)的個(gè)數(shù)即可。例2 某班統(tǒng)計(jì)考試成績(jī)，數(shù)學(xué)得90分上的有25人；語(yǔ)文得90分以上的有21人；兩科中至少有一科在90分以上的有38人。問(wèn)兩科都在90分以上的有多少人？解：設(shè)A={數(shù)學(xué)成績(jī)90分以上的學(xué)生} B={語(yǔ)文成績(jī)90分以上的學(xué)生} 那么，集合A∪B表示兩科中至少有一科在90分以上的學(xué)生，由題意知，?A?=25，?B?=21，?A∪B?=38 現(xiàn)要求兩科均在90分以上的學(xué)生人數(shù)，即求?A∩B?，由容斥原理得 ?A∩B?=?A?+?B??A∪B?=25+2138=8 點(diǎn)評(píng)：解決本題首先要根據(jù)題意，設(shè)出集合A，B，并且會(huì)表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。例3 某班同學(xué)中有39人打籃球，37人跑步，25人既打籃球又跑步，問(wèn)全班參加籃球、跑步這兩項(xiàng)體育活動(dòng)的總?cè)藬?shù)是多少？解：設(shè)A={打籃球的同學(xué)}；B={跑步的同學(xué)} 則 A∩B={既打籃球又跑步的同學(xué)} A∪B={參加打籃球或跑步的同學(xué)} 應(yīng)用容斥原理?A∪B?=?A?+?B??A∩B?=39+3725=51（人）例4 求在不超過(guò)100的自然數(shù)中，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)有多少個(gè)？分析：這個(gè)問(wèn)題與前幾個(gè)例題看似不相同，不能直接運(yùn)用容斥原理，要計(jì)算的是“既不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)?！钡牵灰瑢W(xué)們仔細(xì)分析題意，這只需先算出“100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)?！痹?gòu)?00中減去就行了。解：設(shè)A={100以內(nèi)的5的倍數(shù)} B={100以內(nèi)的7的倍數(shù)} A∩B={100以內(nèi)的35的倍數(shù)} A∪B={100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)} 則有?A?=20，?B?=14，?A∩B?=2 由容斥原理一有：?A∪B?=?A?+?B??A∩B?=20+142=32 因此，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是：10032=68（個(gè)）點(diǎn)評(píng)：從以上的解答可體會(huì)出一種重要的解題思想：有些問(wèn)題表面上看好象很不一樣，但經(jīng)過(guò)細(xì)心的推敲就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間有著緊密的聯(lián)系，應(yīng)當(dāng)善于將一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問(wèn)題。例5 某年級(jí)的課外學(xué)科小組分為數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、外語(yǔ)三個(gè)小組，參加數(shù)學(xué)小組的有23人，參加語(yǔ)文小組的有27人，參加外語(yǔ)小組的有18人；同時(shí)參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文兩個(gè)小組的有4人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)、外語(yǔ)小組的有7人，同時(shí)參加語(yǔ)文、外語(yǔ)小組的有5人；三個(gè)小組都參加的有2人。問(wèn)：這個(gè)年級(jí)參加課外學(xué)科小組共有多少人？解1：設(shè)A={數(shù)學(xué)小組的同學(xué)}，B={語(yǔ)文小組的同學(xué)}，C={外語(yǔ)小組的同學(xué)}，A∩B={數(shù)學(xué)、語(yǔ)文小組的同學(xué)}，A∩C={參加數(shù)學(xué)、外語(yǔ)小組的同學(xué)}，B∩C={參加語(yǔ)文、外語(yǔ)小組的同學(xué)}，A∩B∩C={三個(gè)小組都參加的同學(xué)} 由題意知：?A?=23，?B?=27，?C?=18 ?A∩B?=4，?A∩C?=7，?B∩C?=5，?A∩B∩C?=2 根據(jù)容斥原理二得：?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C??A∩B??A∩C|?B∩C|+|A∩B∩C? =23+27+18（4+5+7）+2 =54（人）解2： 利用圖示法逐個(gè)填寫各區(qū)域所表示的集合的元素的個(gè)數(shù)，然后求出最后結(jié)果。? ? ? 設(shè)A、B、C分別表示參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、外語(yǔ)小組的同學(xué)的集合，其圖分割成七個(gè)互不相交的區(qū)域，區(qū)域Ⅶ（即A∩B∩C）表示三個(gè)小組都參加的同學(xué)的集合，由題意，應(yīng)填2。區(qū)域Ⅳ表示僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為42=2（人）。區(qū)域Ⅵ表示僅參加數(shù)學(xué)與外語(yǔ)小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為72=5（人）。區(qū)域Ⅴ表示僅參加語(yǔ)文、外語(yǔ)小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為52=3（人）。區(qū)域Ⅰ表示只參加數(shù)學(xué)小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為23225=14（人）。同理可把區(qū)域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人數(shù)逐個(gè)算出，分別填入相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，則參加課外小組的人數(shù)為：14+20+8+2+5+3+2=54（人）點(diǎn)評(píng)：解法2簡(jiǎn)單直觀，不易出錯(cuò)。由于各個(gè)區(qū)域所表示的集合的元素個(gè)數(shù)都計(jì)算出來(lái)了，因此提供了較多的信息，易于回答各種方式的提問(wèn)。例6 學(xué)校教導(dǎo)處對(duì)100名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲?。ǖ幌矚g看電影）的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇（但不喜歡看球賽）的有4人，三種都喜歡的有12人。問(wèn)有多少同學(xué)只喜歡看電影？有多少同學(xué)既喜歡看球賽又喜歡看電影（但不喜歡看戲劇）？（假定每人至少喜歡一項(xiàng)）解法1：畫三個(gè)圓圈使它們兩兩相交，彼此分成7部分（如圖）這三個(gè)圓圈分別表示三種不同愛(ài)好的同學(xué)的集合，由于三種都喜歡的有12人，把12填在三個(gè)圓圈的公共部分內(nèi)（圖中陰影部分），其它6部分填上題目中所給出的不同愛(ài)好的同學(xué)的人數(shù)（注意，有的部分的人數(shù)要經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算）其中設(shè)既喜歡看電影又喜歡看球賽的人數(shù)為χ，這樣，全班同學(xué)人數(shù)就是這7部分人數(shù)的和，即16+4+6+（40χ）+（36χ）+12=100 解得 χ=14 只喜歡看電影的人數(shù)為 3614=22 ? 解法2：設(shè)A={喜歡看球賽的人}，B={喜歡看戲劇的人}，C={喜歡看電影的人}，依題目的條件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18（這里加12是因?yàn)槿N都喜歡的人當(dāng)然喜歡其中的兩種），|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再設(shè)|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C||A∩B||A∩C||B∩C|+|A∩B∩C| 得：100=58+38+52（18+16+х+12）+12 解得：х=14 ∴3614=22 所以既喜歡看電影又喜歡看球賽的人數(shù)為14，只喜歡看電影的人數(shù)為22。點(diǎn)評(píng)：解法1沒(méi)有用容斥原理公式，而是先分別計(jì)算出（未知部分設(shè)為х）各個(gè)部分（本題是7部分）的數(shù)目，然后把它們加起來(lái)等于總數(shù)，這種計(jì)算