高中數(shù)學(xué)人教b版必修五第1章解三角形word學(xué)案(編輯修改稿)
2025-01-10 01:51 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。OCsin θ 表示；而求△ PCD的面積關(guān)鍵在于求出邊長(zhǎng) PC，在 △ POC中利用余弦定理即可求出；至于面積最值的獲得，則可通過(guò)三角函數(shù)知識(shí)解決 ． 解 (1)在 △ POC中，由余弦定理， 得 PC2＝ OP2＋ OC2－ 2OPOCc os θ＝ 5－ 4cos θ， 所以 y＝ S△ OPC＋ S△ PCD ＝ 12 1 2sin θ＋ 34 (5－ 4cos θ) ＝ 2sin?? ??θ－ π3 ＋ 5 34 . (2)當(dāng) θ－ π3＝ π2，即 θ＝ 5π6 時(shí)， ymax＝ 2＋ 5 34 . 答 四邊形 OPDC 面積的最大值為 2＋ 5 34 . 例 4 甲船在 A 處 、 乙船在甲船正南方向距甲船 20 海里的 B 處 ， 乙船以每小時(shí) 10 海里的速度向正北方向行駛 ， 而甲船同時(shí)以每小時(shí) 8海里的速度由 A處向北偏西 60176。方向行駛 ，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少小時(shí)后 ， 甲 、 乙兩船相距最近 ？ 分析 利用余弦定理構(gòu)建甲、乙兩船的距離關(guān)于時(shí)間 t 的目標(biāo)函數(shù)，注意到 t＝ 2 時(shí)，乙到達(dá) A處，此時(shí)，甲地、乙地、 A地三處構(gòu)不成三角形，要注意分類(lèi)討論 ． 如圖所示： 解 設(shè)甲、乙兩船經(jīng) t 小時(shí)后相距最近，且分別到達(dá) P、 Q兩處，因乙船到達(dá) A處需 2小時(shí) ． ① 當(dāng) 0≤ t≤ 2時(shí)， 在 △ APQ中， AP＝ 8t， AQ＝ 20－ 10t， 所以 PQ＝ AQ2＋ AP2－ 2APAQcos 120176。 ＝ ?20－ 10t?2＋ ?8t?2－ 2?20－ 10t? 8t ?? ??－ 12 ＝ 84t2－ 240t＋ 400＝ 2 21t2－ 60t＋ 100. ② 當(dāng) t2時(shí)， 在 △ APQ中， AP＝ 8t， AQ＝ 10t－ 20， ∴ PQ＝ AQ2＋ AP2－ 2AQAPcos 60176。 ＝ 2 21t2－ 60t＋ 100. 綜合 ①② 知， PQ＝ 2 21t2－ 60t＋ 100 (t≥ 0)． 當(dāng)且僅當(dāng) t＝ 3021＝ 107 時(shí)， PQ最小 ． 答 甲 、 乙兩船行駛 107 小時(shí)后 ， 相距最近 ． 三、利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想解三角問(wèn)題 例 5 在 △ ABC 中 ， 已知 sin2A＋ sin2B－ sin2Csin2A－ sin2B＋ sin2C＝1＋ cos 2C1＋ cos 2B， 求證 ： △ ABC 是等腰三角形或直角三角形 ． 分析 從題中的等式結(jié)構(gòu)來(lái)看，情況較為復(fù)雜，且求證的是判定 △ ABC 為等腰三角形或直角三角形兩種情況 ． 因此，應(yīng)綜合應(yīng)用正、余弦定理，先進(jìn)行化簡(jiǎn)，再討論 ． 證明 應(yīng)用正弦定理及二倍角公式，將已知等式變形為： a2＋ b2－ c2a2－ b2＋ c2＝2cos2C2cos2B， 再由余弦定理將其變形為： 2abcos C2accos B＝ cos2Ccos2B， 整理得 cos Ccos B?? ??bc－ cos Ccos B ＝ 0. ∴ cos Ccos B＝ 0或 bc－ cos Ccos B＝ 0， 若 cos Ccos B＝ 0，則 C＝ 90176。； 若 bc－ cos Ccos B＝ 0，依據(jù)正弦定理得 sin Bsin C＝ cos Ccos B， 即 sin Bcos B＝ sin Ccos C． 所以 sin 2B＝ sin 2C. 所以 2B＝ 2C或 2B＋ 2C＝ 180176。， 即 B＝ C或 B＋ C＝ 90176。. 綜上所述， △ ABC是等腰三角形
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