【文章內容簡介】 A 中時， B 的原點位置的集合就是用 B 腐蝕 A 的結果 。 圖 23[7]給出了二值圖像膨脹示意圖， (a)和 (b)分別給出結構元素在原點和不在原點的情況。圖 24[9]理工大學畢業(yè)論文 7 給出了膨脹運算的例子，其中 (a)是二值圖像 A ； (b)是結構元素 B ； (c)是結構元素 B 的映像；(d)是 B 膨脹 A 后的結果，深色的部分就是相對原圖擴大的部分。可以看出此時膨脹的結果是包含原圖 A 的，即 BAA ?? 。 圖 23 二值圖像膨脹示意圖 圖 24 二值膨脹運算結果 對集合 A 和 B ，使用 B 對 A 進行腐蝕，用 BA? 表示， 其 定義 如式（ 27）所示。 }|{})(|{ AzBzABzBA z ?????? （ 27） A 被 B 腐蝕是所有位移 z 的集合。 B 平移 z 后得到的圖像仍包含于 A 。 圖 25[7]給出了二值圖像腐蝕示意圖， (a)和 (b)分別給出原點在結構元素內部和不在結構元素內部的情況。一般地，如果原點在結構元素的內部，則腐蝕后的圖像為輸入圖像的一個子集，這就是稱作 ―腐蝕 ‖的原因；如果原點在結構元素的外部，那么腐蝕后的圖像可能不在輸入圖像的內部。 圖 25 二值圖像腐蝕示意圖 理工大學畢業(yè)論文 8 圖 26 給出了 腐蝕 運算的例子，其中 (a)是二值 圖像 A ； (b)是結構元素 B ； (c)是 B 腐蝕 A后的結果，深色的部分就是相對原圖剩下的部分?？梢姼g運算使得圖像區(qū)域收縮變小了。并且用這樣的結構元素腐蝕后的結果也是包含于原圖 A 的，即 ABA ?? 。 圖 26 二值腐蝕運算的結果 二值形態(tài)膨脹和腐蝕 運算的性質 1. 對偶性 如式（ 28）所示。 )()()()( BABABABA CCCC ???????? （ 28） 2. 單調性 如式（ 29）和式（ 210）所示。 BABABABAAA ??????????? , （ 29） BABABABABB ??????????? , （ 210） 3. 遞減（增）性 如式（ 211）所示。 BAAABABO ?????? , （ 211） 如果結構元素包含原點， A 腐蝕的結果是使圖像 A 收縮，是 A 的一個子集；而 A 是膨脹結果的子集。 4. 交換律 如式（ 212）所示。 ABBA ??? （ 212） 需要說明的是腐蝕運算不滿足交換律，即 ABBA ??? 通常不成立。 5. 結合律 如式（ 213）和式（ 214）所示。 CBACBA ????? )()( （ 213） CBACBA ????? )()( （ 214） 式（ 213）和式（ 214） 十分重要， 它們 表明采用一個較大結構元素 )( CB? 的形態(tài)學運算可以由兩個采用較小結構元素 B 和 C 的形態(tài)學運算的級聯(lián)來實現(xiàn)。這在實際應用中對提高算法效率和硬件實現(xiàn)意義極大。 6. 尺度伸縮性 如式（ 215）所示。 ,)(,)( tBtABAttBtABAt ?????? （ 215） 理工大學畢業(yè)論文 9 7. 平移不變性 如式（ 216）和式（ 217）所示。 xBAxBAxBAxBA ?????????? )()(,)()( （ 216） xBABxAxBABxA ?????????? )()(,)()( （ 217） 平移不變性意味著圖像或結構元素的位置變化僅引起變換結果的位置變化，而結果的形態(tài)無任何改變。這符合實際的要求，因為當同一目標出現(xiàn)在圖像的不同位置時，對它們的分析不應因位置差異而不同。 二值圖像開運算和閉運算 使用結構元素 B 對集合 A 進行開運算，表示為 BA? ， 其 定義 如式（ 218）所示。 BBABA ??? )(? （ 218） 用結構元素 B 對集合 A 進行開操作就是用 B 對 A 腐蝕，然后用 B 對結果進行膨脹。為了更好地理解開運算在圖像處理中的作用， 可以參考式（ 219）所示的 等價方程： })(|){( ABBBA zz ?? ?? （ 219） 圖 27[7]表示了先腐蝕后膨脹所描述的開運算。圖中給出了利用圓盤對一個矩形先腐蝕后膨脹所得到的結果。 圖 27 二值圖像開運算示意圖 使用 結構元素 B 對集合 A 進行閉操作，表示為 BA? ， 其 定義 如式（ 220）所示。 BBABA ???? )( （ 220） 圖 28 為閉運算的示意圖，閉運算是先膨脹后腐蝕，也可以利用對偶性，即沿圖像的外 圖 28 二值圖像閉運算示意圖 邊緣填充或滾動結構元素，閉運算磨光了凸向圖像內部的尖角，即對圖像外部濾波。 二值圖像開運算和閉運算的仿真結果如圖 29 所示， (a)是一幅原始的二值圖像， (b)是采 理工大學畢業(yè)論文 10 (a)原圖像 (b)開運算 (c)閉運算 圖 29 二值圖像開閉運算仿真結果 用半徑為 3 的圓形結構元素對原始圖像作開運算后得到的結果。比較 (a)和 (b)可以看到，開運算完全刪除了不能包含結構元素的對象區(qū)域，平滑了對象的輪廓，斷開了狹窄的連接，去掉了細小的突出部分。對原始二值圖像作閉運算的結果如圖 29(c)所示，采用和開運算一樣的半徑為 3 的圓形結構元素，從圖 (c)看到，細長彎口、指向內部的齒狀邊緣和小洞都已被刪除。閉運算具 有填充物體內細小空洞，連接鄰近物體和平滑邊界的作用。 二值圖像開閉運算性質 1．對偶性 如式（ 221）所示。 BABABABA CCCC ?? ???? )()( ， （ 221） 2．擴展收縮性 如式（ 222）所示。 BAABA ???? （ 222） 3．單調性 如式（ 223）和式（ 224）所示。 BABABABAAA ????????? ,?? （ 223） CABACABACBCCB ??????? , ??? （ 224） 4．冪等性 如式（ 225）所示。 BABBABABBA ????? )(,)( ??? （ 225） 5．平移不等性 如式（ 226）所示。 理工大學畢業(yè)論文 11 xBABxAxBABxA ???????? )()(,)( ?? （ 226） 開、閉運算是由腐蝕和膨脹組成的二次運算，因此具有與腐蝕和膨脹相類似的性質。值得說明的是，與腐蝕和膨脹運算不同，開、閉運算具有冪等性，這意味著一次運算與重復運算將得到相同的結果，這是一個獨特的性質。 灰度圖像形態(tài)學 隨著數(shù)字成像技術的發(fā)展和數(shù)字圖像處理技術應用范圍的擴展，對二值圖像的處理已經(jīng)不能滿足數(shù)字圖像處理日新月異的變化需要，而對高分 辨率圖像的處理已成為圖像工程中的迫切需要解決的問題。但是對高分辨率的多值圖像進行處理的形態(tài)學方法不同于二值形態(tài)學，它是將排序統(tǒng)計學與二值形態(tài)學有機結合起來的多值形態(tài)變換，一般稱為灰度形態(tài)學?；叶刃螒B(tài)學是二值形態(tài)學的推廣，研究的主要對像是灰度圖像。 灰度形態(tài)學理論基礎 灰度形態(tài)變換是建立在二值形態(tài)變換的基礎上的，在二值形態(tài)學中，集合的平移和交、并等變換仍然起著關鍵性的作用，但是對于圖像和結構元素模型已經(jīng)不能僅用二值的集合表示，而用的是函數(shù)表示。所以在介紹灰度形態(tài)變換之前，先介紹一些與之相應的概念。 將信號，向右水平移動 x ，稱移位， 其 定義 如式（ 227）所示。 )()( xzfzfx ?? （ 227） 將信號，豎直移動 y ，稱為偏移，記為 ))(( zyf ? ， 其 定義 如式（ 228）所示。 yzfzyf x ??? )())(( （ 228） 當移位和偏移同時存在時，稱為形態(tài)學平移，記為 yfx? ， 其定義如式（ 229）所 示。 yxzfzyf x ???? )())(( （ 229） 假設 g 和 f 分別定義在域 ][gD 和 ][fD 上的兩個信號，如果（ 1） ][][ fDgD ? ；（ 2）對][gDx?? ，有 )()( xfxg ? ，則稱 g 在 f 下方，記為 fg?? 。 f 和 g 的極小為：如果 x 在定義域的交集 ][][ gDfD ? 中，那么 )}(),(m in {)^( xgxfgf ? （ 230） f 和 g 的極大為：如果 x 在定義域的并集 ][][ gDfD ? ，那么 )}(),(m a x {))(( xgxfxxf ?? （ 231） 信號 f 對原點的反射記為 )(xf ， 其 定義 如式（ 232）所示。 )()(? xfxf ??? （ 232） 圖 210 表示了一個信號的移位 、 平移及相應的形態(tài)學平移。如果 x 在 f 的定義域內，但在 g 的定義域 外，那么定義 )())(( xfxgf ?? 。如果 x 在 g 的定義域內，但在 f 的定義域外， 理工大學畢業(yè)論文 12 圖 210 信號的移位、平移及相應的形態(tài)學平移 那么，定義 )())(( xgxgf ?? 。如果 x 不在 f 和 g 的定義域內，即 x 不在 ][][ gDfD ? 之內，則gf? 無定義。如圖 211 所示。 圖 211 信號的極大極小表示 反射的定義是參照集合在平面內相對原點的旋轉而提出來的。如圖 212 所示，信號的反射是通過先對縱軸反射，然后對橫軸反射得到的。 圖 212 信號的反射 灰度形態(tài)學腐蝕和膨脹運算 灰度形態(tài)學是二值形態(tài)學對灰度圖像的自然擴展，其中二值形態(tài)學所用到 的交、并運算分別用極大、極小極值代替就是灰度形態(tài)學的相應運算。 理工大學畢業(yè)論文 13 利用結構元素 b 對信號 f 的灰度膨脹記為 bf? ，其 定義如式 233 所示。 )}),()(),(|),(),(m a x {),)(( DbyxDytxsyxbytxsftsbf f ????????? 和 （ 233） 式中， fD 和 bD 分別是 f 和 b 的定義域。這里限制 )( xs? 和 )( yt? 在 f 的定義域之內，類似于二值膨脹定義中要求兩個運算集合至少有一個 (非零 )元素相交。式 （ 233） 與 2D 卷積的形式很類似，區(qū)別是這里用 max(極大 )替換了卷積中的求和 (或積分 )，用加法替換了卷積中的相乘。膨脹灰度圖像的結果是，比背景亮的部分得到擴張，而比背景暗的部分受到收縮。 在 1D 中膨脹的定義表達式將簡化為 如式（ 234）所示的形式。 })(|)()(m a x { [))(( bf DxDxsxbxsfsbf ??????? 和 （ 234） 在此利用了結構元素的反射，求將信號限制在結構元素的定義域內時，上推結構元素使其原點超過信號時最小值，即為該點的膨脹結果。 與二值情況一樣，灰度腐蝕也可用灰度膨脹的對偶運算來定義。 利用結構元素 b 對信號 f 的灰度腐蝕記為 bf? ，其定義 如式（ 235）所示。 )}),()(),(|),(),(m i n {),)(( bf DyxDytxsyxbytxsftsbf ????????? 和 （ 235） 式中， fD 和 bD 分別是 f 和 b 的定義域。這里限制 )( xs? 和 )( yt? 在 f 的定義域之內，類似于二值膨脹定義中要求兩個運算集合至少有一個 (非零 )元素相交。式 （ 232） 與 2D 卷積的形式很類似，區(qū)別是這里用 min(極小 )替換 了卷積中的求和 (或積分 )，用加法替換了卷積中的相乘。膨脹灰度圖像的結果是，比背景暗的部分得到擴張，而比背景暗的部分受到收縮。 在 1D 中腐蝕的定義表達式將簡化 為如式（ 236）所示的形式。 })(|)()(m i n { [))(( bf DxDxsxbxsfsbf ??????? 和 （ 236） 從幾何角度講，為了求出信號被結構元素在點 x 腐蝕的結果，可以在空間滑動這個結構元素，使其原點與 x 點重合，然后上推結構元素，使其處于信號下方所能達到的最大值，即為該點的腐蝕結果。結構元素必須在信號下方，故空間平移結構元素的定義域必為信號定義域的子集。否則腐蝕在 該點沒有定義。 圖 213 灰度圖像的膨脹和腐蝕變換 圖 213 描述了這兩種變換。其中 (1)是結構元素； (2)是原始信號； (3)是灰度腐蝕后的結理工大學畢業(yè)論文 14 果； (4)是灰度膨脹后的結果。從圖 213 可以看出，灰度腐蝕與二值腐蝕之間的一個基本關系：被灰度腐蝕信號的定義域等于利用結構元素的定義域作為結構元素，再對信號的定義域作二值腐蝕所得的結果?；叶扰蛎浥c二值膨脹之間也有類似關系?？磮D 213，其效果相當于半圓形結構元素在信號的下面 ―滑動 ‖時，其圓心 畫 出的軌跡。但是這里存在一個限制條件，即結構元素必須在信號曲線的下面平 移。從圖中不難看出，半圓形結構元素從信號的下面對信號產(chǎn)生濾波作用，這與圓盤從內部對二值圖像濾波的情況是相似的。 灰度膨脹和腐蝕除了具有前面逐點定義的形式外，還有的全局定義的形式 ，其分別如式（ 2