【正文】 在實(shí)際應(yīng)用中，用以上的算子來(lái)進(jìn)行邊緣檢測(cè)，也取得了一定的效果，根據(jù)結(jié)構(gòu)元素的不同選取，可以得到不同的實(shí)際邊緣效 （ a） sobel算子 （ b） log算子 （ c） prewitt 算子 （ d） canny 算子 （ e） zerocross 算子 （ f） marrHildreth 算子 圖 41 無(wú)噪聲時(shí)傳統(tǒng)邊緣檢測(cè)算子 邊緣檢測(cè)結(jié)果 果。由此，在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)圖像處理中也提出了幾種形態(tài)梯度。它的基本思想是用一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去度 量 和提取圖像中的對(duì)應(yīng)形狀以達(dá)到對(duì)圖像分析和識(shí)別的目的。 Robert 算子是一種利用局部差分尋找邊緣的算子； Sobel算子利用像素鄰近區(qū)域的梯度值來(lái)計(jì)算 1 個(gè)像素的梯度，然后根據(jù)一定的閾值來(lái)取舍。結(jié)構(gòu)元素尺寸的選擇就轉(zhuǎn)化為如何選擇小結(jié)構(gòu)元素尺寸和腐蝕的次數(shù)問(wèn)題。當(dāng)結(jié)構(gòu)元素尺寸太大時(shí)，閉運(yùn)算時(shí)目標(biāo)之間會(huì)互相干擾造成過(guò)度粘連，開(kāi)運(yùn)算時(shí)會(huì)造成假斷裂。圓盤(pán)形結(jié)構(gòu)元素由于各向同性，因此可以得到與方向無(wú)關(guān)的運(yùn)算結(jié)果。形態(tài)學(xué)變換通常是利用對(duì) 稱結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行運(yùn)算的，當(dāng)結(jié)構(gòu)元素非對(duì)稱時(shí)運(yùn)算的結(jié)果一般會(huì)產(chǎn)生偏移。如果將客觀實(shí)體用 圖 像來(lái)表達(dá)，則集合變換主要是選擇較小的特征 圖 像集合 (即結(jié)構(gòu)元素 )， 并使之與目標(biāo) 圖 像相互作用，以達(dá)到 圖 像分析及特征提取的目的，亦即通過(guò)結(jié)構(gòu)元素及形態(tài)學(xué)運(yùn)算復(fù)合方式的選擇來(lái)達(dá)到 圖 像處理的目的 。階躍狀邊緣是指邊 緣兩側(cè)圖像的灰度值有明顯變化，屋脊?fàn)钸吘壥侵高吘壩挥趫D像灰度增加和減少的交界處。 圖像上的邊緣點(diǎn)和以下幾種情況相對(duì)應(yīng)： 1．空間曲面上的不連續(xù)點(diǎn)。 邊緣是圖像灰度不連續(xù)性的反映，它存在于目標(biāo)與背景、目標(biāo)與目標(biāo)、區(qū)域與區(qū)域、基元與基元之間，包含了圖像的大量信息，反映了物體的特征。圖 36 顯示了一幅二值圖像的骨架化效果和邊界像素測(cè)定效果 。 理工大學(xué)畢業(yè)論文 23 圖像的骨架化及邊界像素值的測(cè)定 在某些應(yīng)用中，針對(duì)一幅圖像，希望圖像中的所有對(duì)象簡(jiǎn)化為線條，但不修改圖像的基本結(jié)構(gòu)，保留圖像的基本輪廓 ，這個(gè)過(guò)程就是所謂的骨架化操作。將這兩種操作綜合起來(lái)可達(dá)到濾除亮區(qū)和暗區(qū)中各類噪聲的效果。該方法中，對(duì)結(jié)構(gòu)元素的選取進(jìn)行閉操作，則可以將目標(biāo)內(nèi)部的理工大學(xué)畢業(yè)論文 22 噪聲孔消除掉。開(kāi)運(yùn)算可以抑制信號(hào)中的峰值 (正脈沖 )噪聲，而形態(tài)閉運(yùn)算可以抑制信號(hào)中的底谷 (負(fù)脈沖 )噪聲。由于噪聲的濾除直接影響著邊緣檢測(cè)的效果，所以進(jìn)行邊緣檢測(cè)的關(guān)鍵在于判斷噪聲點(diǎn)與邊緣點(diǎn)。 （ 2） 重構(gòu)將一直重復(fù)至圖像穩(wěn)定（即圖像不再變化）；形態(tài)學(xué)重構(gòu)是基于連通性原理 ，而不是基于結(jié)構(gòu)元素。 圖 33 是 用一幅簡(jiǎn)單圖像來(lái)說(shuō)明形態(tài)圖像包含兩個(gè)主要對(duì)象，這兩個(gè)對(duì)象的像素塊分別由數(shù)值 14 和 18 組成，圖像的大部分背景像素值為 10，其他為 11。 理工大學(xué)畢業(yè)論文 20 圖 32 細(xì)化結(jié)果 和細(xì)化相對(duì)應(yīng)的是粗化，用 B 對(duì) 比 進(jìn)行粗化表示為 A ，定義 如式（ 33）所示。每次細(xì)化操作都會(huì)從二值圖像物體的厚度中刪除一個(gè)或兩個(gè) 像素。 變換過(guò)程如圖 31[7]所示： )()(* 21 BABABA c ??? ? （ 31） 31 擊中擊不中變換 ―擊中或擊不中變換 ‖這一名稱基于運(yùn)算結(jié)果被兩次腐蝕影響的方式。然而在實(shí)際中，這些相交結(jié)構(gòu)常常會(huì)包含豐富的信息。一個(gè)物體的結(jié)構(gòu)一般可以通過(guò)物體內(nèi)部各種成分之間的關(guān)系 來(lái)確定。用有界支撐的模糊結(jié)構(gòu)元素對(duì)模糊圖像的腐蝕和膨脹運(yùn)算按它們的隸屬函數(shù)定義為 : )]]()(1[m i n,1m i n [)]]()(1,1[ m i n [m i n)(yyxyyxxBAByBByBA ?? ??? ??? ???????? （ 258） ]]1)()(m a x [,0[m a x]]1)()(,0[ m a x [m a x)(??????????? yyx yyxxBAByBAByBA ?? ??? （ 259） 其中， 2, Zyx ? 代表空間坐標(biāo) , A? ， B? 分別代表圖像和結(jié)構(gòu)元素的隸屬函數(shù)。所以軟化形態(tài)學(xué)比標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)學(xué)具有更強(qiáng)的抑制噪聲的能力 [11]。令 )}({ xfk? 表示 ）xf( 重復(fù) K 次，軟灰度結(jié)構(gòu)元素 ][ k， ?? 對(duì)灰度圖像 f 的軟形態(tài)腐蝕的定義 [10]如式（ 257）所示。 軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可進(jìn)一步分為灰度軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和二值軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 。 灰度形態(tài)學(xué)開(kāi)運(yùn)算和閉運(yùn)算性質(zhì) 灰度膨脹、腐蝕、開(kāi)啟和閉合四種基本運(yùn)算的一些性質(zhì)和二值圖像形態(tài)學(xué)運(yùn)算性質(zhì)相比，有許多相同之處。實(shí)際中常用開(kāi)啟操作 來(lái) 消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的亮細(xì)節(jié)，理工大學(xué)畢業(yè)論文 17 而保持圖像整體灰度值和大的亮區(qū)域基本不受影響。圖 (b)給出 b 在開(kāi)啟中的幾個(gè)位置。這種填充表達(dá)方式可以從幾何角度直觀地描述開(kāi)運(yùn)算：在信號(hào)的下方滑動(dòng)結(jié)構(gòu)元素，并在每一點(diǎn)記錄結(jié)構(gòu)元素上的最高點(diǎn)，原點(diǎn)相對(duì)結(jié)構(gòu)元素的位置不會(huì)對(duì)運(yùn)算結(jié)果產(chǎn)生影響。與二值情況相同，這兩種運(yùn)算為對(duì)偶運(yùn)算。 fggf ??? （ 243） 5. 結(jié)合律 如式（ 244）所示。 1．對(duì)偶性 如式（ 239）所示。從 (b)可以看出圖像經(jīng)過(guò)膨脹后，比原圖像更明亮且消除了小的、暗的細(xì)節(jié)。 灰度膨脹和腐蝕除了具有前面逐點(diǎn)定義的形式外，還有的全局定義的形式 ，其分別如式（ 237）和式（ 238）所示?；叶扰蛎浥c二值膨脹之間也有類似關(guān)系。否則腐蝕在 該點(diǎn)沒(méi)有定義。膨脹灰度圖像的結(jié)果是，比背景暗的部分得到擴(kuò)張，而比背景暗的部分受到收縮。 利用結(jié)構(gòu)元素 b 對(duì)信號(hào) f 的灰度腐蝕記為 bf? ，其定義 如式（ 235）所示。膨脹灰度圖像的結(jié)果是，比背景亮的部分得到擴(kuò)張，而比背景暗的部分受到收縮。 理工大學(xué)畢業(yè)論文 13 利用結(jié)構(gòu)元素 b 對(duì)信號(hào) f 的灰度膨脹記為 bf? ，其 定義如式 233 所示。如圖 211 所示。 )()(? xfxf ??? （ 232） 圖 210 表示了一個(gè)信號(hào)的移位 、 平移及相應(yīng)的形態(tài)學(xué)平移。 )()( xzfzfx ?? （ 227） 將信號(hào)，豎直移動(dòng) y ，稱為偏移，記為 ))(( zyf ? ， 其 定義 如式（ 228）所示。灰度形態(tài)學(xué)是二值形態(tài)學(xué)的推廣，研究的主要對(duì)像是灰度圖像。 理工大學(xué)畢業(yè)論文 11 xBABxAxBABxA ???????? )()(,)( ?? （ 226） 開(kāi)、閉運(yùn)算是由腐蝕和膨脹組成的二次運(yùn)算，因此具有與腐蝕和膨脹相類似的性質(zhì)。 BABABABA CCCC ?? ???? )()( ， （ 221） 2．?dāng)U展收縮性 如式（ 222）所示。比較 (a)和 (b)可以看到，開(kāi)運(yùn)算完全刪除了不能包含結(jié)構(gòu)元素的對(duì)象區(qū)域，平滑了對(duì)象的輪廓，斷開(kāi)了狹窄的連接，去掉了細(xì)小的突出部分。圖中給出了利用圓盤(pán)對(duì)一個(gè)矩形先腐蝕后膨脹所得到的結(jié)果。這符合實(shí)際的要求，因?yàn)楫?dāng)同一目標(biāo)出現(xiàn)在圖像的不同位置時(shí)，對(duì)它們的分析不應(yīng)因位置差異而不同。這在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)提高算法效率和硬件實(shí)現(xiàn)意義極大。 4. 交換律 如式（ 212）所示。 圖 26 二值腐蝕運(yùn)算的結(jié)果 二值形態(tài)膨脹和腐蝕 運(yùn)算的性質(zhì) 1. 對(duì)偶性 如式（ 28）所示。一般地，如果原點(diǎn)在結(jié)構(gòu)元素的內(nèi)部，則腐蝕后的圖像為輸入圖像的一個(gè)子集，這就是稱作 ―腐蝕 ‖的原因；如果原點(diǎn)在結(jié)構(gòu)元素的外部，那么腐蝕后的圖像可能不在輸入圖像的內(nèi)部。 圖 23 二值圖像膨脹示意圖 圖 24 二值膨脹運(yùn)算結(jié)果 對(duì)集合 A 和 B ，使用 B 對(duì) A 進(jìn)行腐蝕，用 BA? 表示， 其 定義 如式（ 27）所示。 })(|{ 空集????? AzBzBA ? （ 26） 膨脹的直觀解釋是：將結(jié)構(gòu)元素 B 做映像后，在圖像上 A 移動(dòng)，當(dāng) A 與 B 的映像有交集的時(shí)候， B 的映像的原點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合就 是 B 膨脹 A 的結(jié)果；腐蝕的直觀解釋是：當(dāng)集合 B 完全包含在集合 A 中時(shí)， B 的原點(diǎn)位置的集合就是用 B 腐蝕 A 的結(jié)果 。 對(duì)集合 A 和 B ，使用 B 對(duì) A 進(jìn)行膨脹，用 BA? 表示， 其定義如式（ 25）所示。 },|{)( AazaccA z ???? （ 23） 定 義 2： 集合對(duì)于原點(diǎn)的反射，稱為 B 的反射，表示為 B? ， 其 定義 如式（ 24）所示。例如，若 A 和 B 是二值圖像，則BAC ?? 仍是一幅二值圖像，若 A 和 B 中相應(yīng)的像素是前景像素，則 C 中的這個(gè)像素也是前原始圖像 移位、交、并等集合運(yùn)算 結(jié)構(gòu)元 處理算法 輸出圖像 理工大學(xué)畢業(yè)論文 6 景像素。其中 a 表示元素， A ， B 表示集合。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的實(shí)質(zhì)是通過(guò)圖像集合與結(jié)構(gòu)元素間的相互作用來(lái)提取有意義的圖像信息，不同的結(jié)構(gòu)元素可以提取不同層面的圖像信息。 改善數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的通用性，增強(qiáng)其適應(yīng)性，結(jié)合其他領(lǐng)域的最新應(yīng)用進(jìn)展門(mén)發(fā)展數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論和方法，拓展其應(yīng)用領(lǐng)域，是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)重要研究?jī)?nèi)容。彩色圖像包含更豐富的信息，也有特殊的性質(zhì)，研究彩色圖像的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)處理與分析方法是形態(tài)學(xué)研究?jī)?nèi)容之一?？焖偎惴ǖ难芯恐荚诮Y(jié)合實(shí)際背景，優(yōu)化計(jì)算方法，提高運(yùn)算速度。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)實(shí)質(zhì)上是一類非線性濾波器，最基本的是開(kāi)、閉濾波器。在此基礎(chǔ)上，眾多學(xué)者進(jìn)行了大量、深入的研究，提出了一系列新的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論。它首先處理二值圖像 ， 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)將二值圖像看成是集合 ， 并用結(jié)構(gòu)元素來(lái)探察。比如在圖像 恢復(fù)處理方面，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的形狀濾波器可借助于先驗(yàn)的幾何特征信息，利用形態(tài)學(xué)算子就能有效地濾除噪聲，還可以保留圖像中原有的信息； 另外， 基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邊緣信息提取處理優(yōu)于基本微分運(yùn)算的邊緣提取算法，它對(duì)噪聲不像微分算法那樣敏感，且提取的邊緣也較平滑。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)起源于巖相學(xué)對(duì)巖石結(jié)構(gòu)的定量描述工作，近年來(lái)在數(shù)字圖像處理和機(jī)器視覺(jué)領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，形成了一種獨(dú)特的數(shù)字圖像法系方法和理論。 本文結(jié)合目前的研究進(jìn)展，對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的理論研究及其應(yīng)用進(jìn)展進(jìn)行了綜合性闡述。 近幾十年發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)從理論和方法上彌補(bǔ)了這一缺憾。所以，對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的理論研究是非常有意義的。事實(shí)上，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)已經(jīng)構(gòu)成一種新型的圖像處理方法和理論，形態(tài)學(xué)圖像處理已成為計(jì)算機(jī)數(shù)字圖像處理的一個(gè)主要研究領(lǐng)域。顯然，這并不是一句簡(jiǎn)單的褒獎(jiǎng)。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可以用來(lái)解決抑制噪聲、特征提取、邊緣檢測(cè)、圖像分割、形狀識(shí)別、 紋理分析，圖像恢復(fù)與重構(gòu)、圖像壓縮等圖像處理問(wèn)題。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基于探測(cè)的思想，與人的視覺(jué)特點(diǎn)有類似之處。形態(tài)學(xué)的應(yīng)用覆蓋了圖像處理的幾乎所有領(lǐng)域，包括文字識(shí)別、醫(yī)學(xué)圖像處理、圖像編碼壓縮、視覺(jué)檢測(cè)、材料科學(xué)以及機(jī)器人視覺(jué)等，不勝枚舉。舒昌獻(xiàn)、莫玉龍等對(duì)基于軟化形態(tài)學(xué)的邊緣檢測(cè)算子的性能也進(jìn)行了分析和比較。 此外， Koskinen[3]等還提出了另一種數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法 ——軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。 Sinha 和 Dougherty 于 90 年代初將模糊數(shù)學(xué)引入數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)領(lǐng)域，形成模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。 1964 年法國(guó)的 Matheron 和 Serra 在積分幾何的研究成果上，將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)引入圖像處理領(lǐng)域，并研制了基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像處理系統(tǒng) [1]。本論文圍繞數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 圖像處理方法 ， 介紹了形態(tài)學(xué)在 擊中或擊不中變換、圖像的細(xì)化和粗化、圖像重構(gòu)和圖像平滑方面 的基本 應(yīng)用 ，重點(diǎn) 對(duì) 各種 形態(tài)學(xué)圖像邊緣檢測(cè)算法 做了仿真實(shí)現(xiàn)，并和傳統(tǒng)邊緣檢測(cè)算法做比較，最后對(duì)結(jié)果進(jìn)行了分析。 關(guān)鍵詞 ：形態(tài)學(xué)；圖像處理；邊緣檢測(cè) 理工大學(xué)畢業(yè)論文 2 Abstract Mathematical morphology founded on set theory is a new method applied in the field of image processing and pattern recognition. Its prime principle is using a certain structuring element to measure and extract the corresponding form in an image so that we can analyze and recognize the image. This paper focusing on the mathematical morphology image processing method introduces the morphological applications in hit or miss transform, image of refinement and coarsening, image reconstruction, image smoothing, focuses on a variety of morphological image edge detection algorithm to do the simulation experiments, and pares to the traditional edge detection algorithm. Finally the results will be analyzed. Keywords： morp