【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 139。39。 ??sfsf 普遍適用于光學(xué)系統(tǒng)的成像問(wèn)題，運(yùn)用高斯該公式可定量討論光學(xué)系統(tǒng)的成像問(wèn)題。然而，這種方法卻有不少的局限性，例如不夠直觀、計(jì)算麻煩等。 在某些情況下定性研究某些光學(xué)系統(tǒng)成像的規(guī)律時(shí)，如果使用解析幾何分析法，就可以使解決問(wèn)題的過(guò)程變得更直觀、快速和簡(jiǎn)單。這種解析幾何分析的方法就是 ss?39。 曲線分析法。 圖 41： ss?39。 曲線和 xx?39。 曲線 這種曲線分析法是以高斯公式中的 39。s 作為縱軸， s 作為 橫軸時(shí)所作出的圖像。但一般情況下，根據(jù)高斯公式直接畫(huà) ss?39。 曲線有一定的難度，所以有必要先根據(jù)牛頓公式 39。39。 ffxx? ，以 39。x 為縱軸，以 x 為橫軸畫(huà)出其對(duì)應(yīng)的曲線，再通過(guò)坐標(biāo)的變換就可以很方便地畫(huà)出 ss?39。 曲線，這樣就能分析解釋光學(xué)系統(tǒng)成像的部分問(wèn)題了。以薄凸透鏡為例，我們作一個(gè)簡(jiǎn)單分析。當(dāng)薄凸透鏡兩側(cè)的介質(zhì)一樣時(shí)，有 39。ff ?? ， 039。?f , 其高斯公式為： fss 1139。1 ?? 牛頓公式為： 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 12 239。39。 fxx ?? ， 039。?f . 上述的 xx?39。 曲線是位于 II、 IV 象限內(nèi)的兩支以 x 和 39。x 為漸近線的雙曲線，如圖41 所示。上述的兩個(gè)公式坐標(biāo)變換為 39。39。39。 fxs ?? ； 39。39。 fxfxs ???? 也就是通過(guò)坐標(biāo)軸的移動(dòng)就可以得到 ss?39。 曲線，如圖 41。而 且我們知道物象的虛實(shí)關(guān)系與曲線之間的關(guān)系： 039。?s 時(shí)，凸透鏡所成的像為實(shí)像，對(duì)應(yīng) s 軸上方的區(qū)域；當(dāng) 039。?s 時(shí)，凸透鏡所成的像為實(shí)像，對(duì)應(yīng) s 軸下方的區(qū)域。再由曲線的分布情況可知，在 fs???? 的區(qū)域范圍內(nèi)實(shí)物成的像為實(shí)像；在 0??sf 區(qū)域范圍內(nèi)實(shí)物成的像為虛像?？梢?jiàn)幾何學(xué)為光學(xué)研究提供了易于理解、分析問(wèn)題的方法。 此外，幾何學(xué)中的球面、非球曲面以及自由曲面廣泛應(yīng)用于空間遙感光學(xué)系統(tǒng)中。 衛(wèi)星在離地 200 公里以上的軌道上對(duì)空間目標(biāo)或者地面的目標(biāo)進(jìn)行光學(xué)信息獲取稱(chēng)作光學(xué)系統(tǒng)空間遙感，其可以進(jìn)行遠(yuǎn)距離遙感成像。在空間遙感光學(xué)系統(tǒng)的研究中，怎樣在幾百公里的遙遠(yuǎn)距離下 通過(guò)遙感獲取分辨率相對(duì)較高的同時(shí)保證成像幅寬較寬是重要課題之一。 僅僅使用球面鏡并沒(méi)有辦法減免基于入瞳直徑增加而導(dǎo)致的像差（像差是指由于光通過(guò)鏡片的位置不太一樣，導(dǎo)致的折射率差異使得鏡面不能將一點(diǎn)所發(fā)出的所有光都聚焦于底片感光膜上的同一位置，使圖像變形或模糊不清等）。上世紀(jì) 70 年代，二次非球曲面與高次非球面逐漸被運(yùn)用到空間遙感光學(xué)系統(tǒng)中。但隨著科研對(duì)幅寬的追求，要求空間遙感光學(xué)系統(tǒng)的視場(chǎng)不斷地增加，非球面也不能滿足要求。伴隨著光學(xué)加工技術(shù)前進(jìn)的步伐、光學(xué)面形的檢測(cè)技術(shù)進(jìn)步，自由曲面光學(xué)元件就逐步地得到了運(yùn)用 。國(guó)外一些知名的光學(xué)研究機(jī)構(gòu)一直都致力于自由曲面應(yīng)用于空間光學(xué)的研究。 著名的 HUBBLE 望遠(yuǎn)鏡在它修復(fù)空間遙感光學(xué)系統(tǒng)中使用了一面自由曲面發(fā)射鏡，有效地解決了使用前觀測(cè)距離相對(duì)較近的問(wèn)題； JWST 在它的紅外線光譜儀中也使用了一面自由曲面以達(dá)到平衡軸外像差的效果；歐空局研發(fā)的 Leica—— TMA 空間相機(jī)，也是借助自由曲面來(lái)達(dá)到平衡像差的效果。由于自由曲面本身并非完全對(duì)稱(chēng)，它的像差規(guī)律非常復(fù)雜，目前相關(guān)學(xué)者尚未完成對(duì)這類(lèi)光學(xué)系統(tǒng)的像差函數(shù)化的歸納和推導(dǎo)。但由于其重要應(yīng)用性，引起了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注。 相機(jī) 曲面與鏡頭焦距密切相關(guān)，如何設(shè)計(jì)曲面使得成像質(zhì)量?jī)?yōu)秀是關(guān)鍵問(wèn)題。 相機(jī)鏡頭的光學(xué)性能是通過(guò)開(kāi)發(fā)、使用各類(lèi)特殊的鏡片來(lái)實(shí)現(xiàn)的，相而片畫(huà)天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 13 質(zhì)的提高就是得益于這些特殊的鏡片。如果不借助先進(jìn)的技術(shù)開(kāi)發(fā)出這些特殊的鏡片，高性能相機(jī)鏡頭只能是天方夜譚。而非球面鏡片就是這些特殊鏡片中的一員。外表面是球面，同時(shí)也是曲面的鏡片就稱(chēng)作非球面鏡片，與球面鏡片相比它的像差更小。 圖 42：球面鏡片產(chǎn)生的像差和非球面鏡片的聚焦 單獨(dú)使用球面鏡片因其自身特性無(wú)法減免像差，往往是通過(guò)凹透鏡和凸透鏡的組合使用來(lái)消除像差 ，而非球面鏡片消除像差的效果相當(dāng)于多片凹凸透鏡組合使用的效果。因此，非球面鏡片的應(yīng)用為鏡頭的小型化提供了前提。 此外，非球面鏡片還能為超廣角鏡頭非正常歪曲像差進(jìn)行補(bǔ)償。相機(jī)界巨頭佳能最引以為榮的就是它的精細(xì)非球面鏡片。這些精密的非球面鏡片已經(jīng)被佳能運(yùn)用到超廣角鏡頭和超遠(yuǎn)攝像頭的各種 EF 鏡頭中，這也是佳能可以在影像設(shè)備領(lǐng)域占據(jù)一席之地的重要原因。 減震器設(shè)計(jì) 圓柱螺旋彈簧在機(jī)車(chē)工具領(lǐng)域中應(yīng)用相當(dāng)廣泛。而圓柱螺旋壓縮彈簧與解析幾何中的圓柱螺旋線密切相關(guān)。 圓柱螺旋線是空間解析幾何中的一種典型曲線。首先 ，我們回顧一下圓柱螺旋線方程的確定。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)一方面繞一條軸線作等角度 ? 的圓周運(yùn)動(dòng)，另一方面作平行于軸線的等速 v 直線運(yùn)動(dòng)，其速度與角速度成正比，建立空間坐標(biāo)系? ?kjiO , ，假設(shè)該質(zhì)點(diǎn)從 A? ?0,0,a 為起點(diǎn)運(yùn) 動(dòng)，該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的坐標(biāo)參數(shù)方程為： ? ?????????????? ??????????????vbtbzttaytax,s inc o s 設(shè) t??? 代入上述參數(shù)方程得： ? ?????? ? ?????? ? ? ?? ?bzay ax s in c o s， 再把參數(shù) ? 消去得到該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的曲線方程： 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 14 ???????bzay bzaxsincos 圖 43：基于一般方程的圓柱螺旋曲線。 這就是圓柱螺旋曲線的一般方程。 圓柱螺旋壓縮彈簧就是基于此方程設(shè)計(jì)出來(lái)的， 其 性能（ 剛度、穩(wěn)定性等）與重要參數(shù)的數(shù)值 范圍有著直接的聯(lián)系。外力等這些載荷使彈簧變形，使彈簧產(chǎn)生單位變形所需的載荷 kp稱(chēng)為彈簧剛度，即 圓柱螺旋壓縮彈簧的穩(wěn)定性主要與彈簧 長(zhǎng)細(xì)比以及旋繞比有關(guān)。對(duì)于 圓柱螺旋 壓縮彈簧，如其長(zhǎng)細(xì)比20DHb? 較大時(shí)，則受力后容易失去穩(wěn)定性 ，這 在工作中是不允許的。當(dāng)壓縮彈簧兩端固定時(shí)，通常取 b 以保證彈簧的穩(wěn)定性。 旋繞比dDC? （其中 D 為彈簧的平均直徑， d 為材料直徑），從彈簧的剛度條件公式可以看出 C 的大小對(duì)彈簧剛度的影響很大。 C 越大彈簧的剛度越小，彈簧 工作時(shí)越容易顫動(dòng) ； C 越小彈簧的剛度越大， 彈簧越硬進(jìn)而彈力越大，彈簧的卷制就越困難 ，所以合理地選擇 旋繞比 就能控制彈簧的彈力。通常旋繞比 C 值的取值范圍為4～ 16。 因此，運(yùn)用解析幾何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模是螺旋壓縮彈簧優(yōu)化設(shè)計(jì)的關(guān)鍵所在。 陶藝品 陶藝品不僅僅是一種商品，也是我國(guó)的文化遺產(chǎn)。 以陶藝花瓶的制作和外型分析，制作流程分為拉坯、印坯、利坯、曬坯刻花、彩繪等，而拉坯就是一個(gè)幾何學(xué)知識(shí)應(yīng)用 的過(guò)程。將泥團(tuán)放在轱轆車(chē)的轉(zhuǎn)盤(pán)中心，然后陶藝師用手和拉坯工具來(lái)改變瓶體的形狀，該過(guò)程可以用旋轉(zhuǎn)曲線表示。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 15 圖 44：通過(guò)旋轉(zhuǎn)成型的花瓶與旋轉(zhuǎn)曲面 轉(zhuǎn)盤(pán)的中心相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)軸，然后手和拉坯工具改變形態(tài)相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)體的母線，母線繞著軸旋轉(zhuǎn)形成旋轉(zhuǎn)曲面。 幾何紋飾是常用的瓶體圖紋，常見(jiàn)的有回紋、條紋、花卉紋等，也是運(yùn)用了一些幾何元素。 圖 45：回紋寶相花團(tuán)和條紋 我國(guó)大多數(shù)的瓶型陶藝品都是腰圓肚大的外形，給人聳立、飽滿、美的感覺(jué)。而中國(guó)人潛意識(shí)里的視覺(jué)美仍是對(duì)稱(chēng)一詞，這就導(dǎo)致了瓶器表面的 畫(huà)面區(qū)域塊大多呈現(xiàn)出對(duì)稱(chēng)的結(jié)果。事實(shí)上，旋轉(zhuǎn)手法的運(yùn)用也是源于對(duì)稱(chēng)之美。 此外，救生圈、汽車(chē)輪胎、橄欖球等的設(shè)計(jì)都運(yùn)用了幾何學(xué)知識(shí)。 救生圈其實(shí)就是一個(gè)環(huán)面，將圓 ? ? ? ???? ? ????? 0 0: 222 x abazby? 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面，即在方程 ? ? ? ?0222 ????? abazby 保持 z 不變，而圓繞著 z 軸旋轉(zhuǎn)而成的如圖 46。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 16 圖 46：救生圈理論上的旋轉(zhuǎn)曲面 橄欖球是將橢圓 ? ???????????02222xczby cb? 繞長(zhǎng)軸（ y 軸）旋轉(zhuǎn)，在 ? ?cbczby ?? 2222保留坐標(biāo) y 不變，用 22 zx ?? 代 z，從而得到曲面方程 1222222 ??? axczby 得到如圖 47 的長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球面。 圖 47：橄欖球的幾何分析 不難看出，工業(yè)設(shè)計(jì)及工業(yè)加工是藝術(shù)與科學(xué)的有機(jī)結(jié)合。光學(xué)系統(tǒng)、相機(jī)、陶藝品等離 不開(kāi)幾何學(xué)知識(shí)的支撐，這些幾何思維使工業(yè)品變得形象化、具體化，同時(shí)使我們的生活更加豐富多彩。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 17 5 流體力學(xué)中的幾何思維 飛機(jī)飛行中的流體力學(xué) 飛機(jī)是速度最快的交通工具，它的出現(xiàn)深深影響和改變著我們的生活。下面探討飛機(jī)飛行過(guò)程中所應(yīng)用的幾何學(xué)知識(shí)。 眾所周知，飛機(jī)的整體密度是大于空氣密度的，飛機(jī)之所以可以在空中飛行，機(jī)翼和尾翼部分起著非常重要的作用。當(dāng)飛機(jī)在空中飛行時(shí)，空氣會(huì)對(duì)飛機(jī)施加力，有升力也有阻力，機(jī)翼與空氣的相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了升力，飛機(jī)就是依靠空氣提供的升力實(shí)現(xiàn)升空飛行的 [16]。機(jī)翼的設(shè)計(jì)和升力的由來(lái)理論知識(shí)來(lái)自于幾何中“面”的知識(shí)和伯努利著作《流體動(dòng)力學(xué)》里的“邊界層表面效應(yīng)” —— 當(dāng)流體加快速度流過(guò)時(shí)，物體和流體的接觸面上的壓力會(huì)變小，相反，流速慢時(shí)壓力會(huì)變大，這就是著名的伯努利定律。 圖 51：機(jī)翼和空氣流之間作用產(chǎn)生升力圖解 飛機(jī)的主要的升力是由機(jī)翼產(chǎn)生的，當(dāng)然諸如尾翼等也會(huì)產(chǎn)生部分升力，但微不足道。從圖 51 中飛機(jī)機(jī)翼的剖面圖可以發(fā)現(xiàn)機(jī)翼的下表面是一個(gè)平面，而上表面是一個(gè)凸曲面，這樣的設(shè)計(jì)使得一股空氣流到了機(jī)翼處時(shí)就分成了上下兩股，到了機(jī)翼后緣又匯聚在了一 起，即在相等的時(shí)間內(nèi)，機(jī)翼下表面的空氣流過(guò)的路程比上表面短，這樣機(jī)翼下表面的氣流速度要小于上表面的。由伯努利定律可知機(jī)翼上表面受到的壓力小于下表面的壓力，上下表面的壓力差就為飛機(jī)提供了一個(gè)垂直于相對(duì)氣流方向向上的升力，這個(gè)升力的大小與機(jī)翼面積和剖面形狀、空氣密度、飛機(jī)的迎風(fēng)角、速度這些因素有關(guān)。當(dāng)飛機(jī)速度較小時(shí)，為了獲得足夠的升力，工程師們對(duì)機(jī)翼設(shè)計(jì)做了一些調(diào)整，添加了前后緣襟翼。速度較天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 18 小時(shí)襟翼偏轉(zhuǎn)機(jī)翼的彎曲度得到改變，這樣飛機(jī)就能獲得足夠支撐飛行的升力。飛機(jī)在起飛和降落時(shí)前后襟翼向下稍稍偏轉(zhuǎn)，這樣機(jī)翼上表 面的氣流速度加快，下表面減慢，使得飛機(jī)速度較小時(shí)達(dá)到增加升力的效果，從而提高飛機(jī)起飛或降落時(shí)的安全性 [16]。 高層建筑受到的風(fēng)壓 伴隨著我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的飛快發(fā)展，高層建筑迅猛發(fā)展。下面探討高層建筑風(fēng)壓調(diào)節(jié)所應(yīng)用的幾何學(xué)知識(shí)。 風(fēng)壓的考慮是高層建筑設(shè)計(jì)中必不可少的一個(gè)重要部分。“身居高位”的樓層迎風(fēng)面積越大，樓層的外表面的風(fēng)壓越大，在風(fēng)的作用下，這些樓層承受著巨大的壓力。高空中由于氣壓的不同形成風(fēng)，不同風(fēng)向的風(fēng)會(huì)給高層建筑表面施加大小不一的壓力。根據(jù)伯努利的理論及科學(xué)推算，高層建筑立面受到的風(fēng)壓為 200 21 vW ?? ， 其中 0v 為風(fēng)速， ? 為流體密度。當(dāng)風(fēng)速過(guò)大時(shí)會(huì)導(dǎo)致立面不堪重壓發(fā)生外墻結(jié)構(gòu)或者裝飾材料損毀事故。 高層建筑受到的風(fēng)壓和建筑本身的幾何外形有關(guān)，不同的幾何外形可以調(diào)節(jié)高層建筑立面受到的風(fēng)壓。經(jīng)過(guò)科學(xué)研究證明三角形、倒三角和 Y 形建筑比矩形和方形建筑受到的風(fēng)壓更小，這就是 為什么世界上大多數(shù)超高層建筑都是不規(guī)則的立面或者結(jié)構(gòu)，例如科威特中央銀行新總部大廈，見(jiàn)下圖。 圖 52：科威特中央銀行新總部大廈 此外，許多高層建筑的立面玻璃幕墻或玻璃窗都是設(shè)計(jì)成有一定弧度的玻璃面，根據(jù)伯努利的理論，這些凸面會(huì)使得風(fēng)的流速加快，從而減小建筑立面所受到的風(fēng)壓。 動(dòng)車(chē)組運(yùn)行中受到的阻力 伴隨社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，我國(guó)的鐵路運(yùn)輸也在快速地發(fā)展、不斷地提速，京津城際動(dòng)車(chē)組的運(yùn)營(yíng)便是在這個(gè)高速的時(shí)代下衍生出的產(chǎn)物。下面探討動(dòng)車(chē)組天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 19 運(yùn)行中阻力與所用的幾何學(xué)知識(shí)。 時(shí)速高達(dá) 300km 左右的動(dòng)車(chē) 組在運(yùn)行過(guò)程中會(huì)與空氣流發(fā)生劇烈的摩擦，從而影響動(dòng)車(chē)組的安全性和節(jié)能等。起初，據(jù)研究表明，當(dāng)列車(chē)以 300km 每小時(shí)的速度運(yùn)行時(shí)其受到的空氣阻力將占列車(chē)總的阻力的 75%以上，這與國(guó)家號(hào)召的節(jié)能高效相差甚遠(yuǎn)，而且巨大的阻力會(huì)嚴(yán)重限制實(shí)現(xiàn)提速的初衷。阻力與接觸面的大小成正比，阻力為 CqSf ? ， 其中 vq 221?? 為動(dòng)壓（ v 為動(dòng)車(chē)速度）， C 為阻力系數(shù)， S 為動(dòng)車(chē)最大橫截面