【文章內(nèi)容簡介】 139。39。 ??sfsf 普遍適用于光學(xué)系統(tǒng)的成像問題，運用高斯該公式可定量討論光學(xué)系統(tǒng)的成像問題。然而，這種方法卻有不少的局限性，例如不夠直觀、計算麻煩等。 在某些情況下定性研究某些光學(xué)系統(tǒng)成像的規(guī)律時，如果使用解析幾何分析法，就可以使解決問題的過程變得更直觀、快速和簡單。這種解析幾何分析的方法就是 ss?39。 曲線分析法。 圖 41： ss?39。 曲線和 xx?39。 曲線 這種曲線分析法是以高斯公式中的 39。s 作為縱軸， s 作為 橫軸時所作出的圖像。但一般情況下，根據(jù)高斯公式直接畫 ss?39。 曲線有一定的難度，所以有必要先根據(jù)牛頓公式 39。39。 ffxx? ，以 39。x 為縱軸，以 x 為橫軸畫出其對應(yīng)的曲線，再通過坐標的變換就可以很方便地畫出 ss?39。 曲線，這樣就能分析解釋光學(xué)系統(tǒng)成像的部分問題了。以薄凸透鏡為例，我們作一個簡單分析。當薄凸透鏡兩側(cè)的介質(zhì)一樣時，有 39。ff ?? ， 039。?f , 其高斯公式為： fss 1139。1 ?? 牛頓公式為： 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 12 239。39。 fxx ?? ， 039。?f . 上述的 xx?39。 曲線是位于 II、 IV 象限內(nèi)的兩支以 x 和 39。x 為漸近線的雙曲線，如圖41 所示。上述的兩個公式坐標變換為 39。39。39。 fxs ?? ； 39。39。 fxfxs ???? 也就是通過坐標軸的移動就可以得到 ss?39。 曲線，如圖 41。而 且我們知道物象的虛實關(guān)系與曲線之間的關(guān)系： 039。?s 時，凸透鏡所成的像為實像，對應(yīng) s 軸上方的區(qū)域；當 039。?s 時，凸透鏡所成的像為實像，對應(yīng) s 軸下方的區(qū)域。再由曲線的分布情況可知，在 fs???? 的區(qū)域范圍內(nèi)實物成的像為實像；在 0??sf 區(qū)域范圍內(nèi)實物成的像為虛像。可見幾何學(xué)為光學(xué)研究提供了易于理解、分析問題的方法。 此外，幾何學(xué)中的球面、非球曲面以及自由曲面廣泛應(yīng)用于空間遙感光學(xué)系統(tǒng)中。 衛(wèi)星在離地 200 公里以上的軌道上對空間目標或者地面的目標進行光學(xué)信息獲取稱作光學(xué)系統(tǒng)空間遙感，其可以進行遠距離遙感成像。在空間遙感光學(xué)系統(tǒng)的研究中，怎樣在幾百公里的遙遠距離下 通過遙感獲取分辨率相對較高的同時保證成像幅寬較寬是重要課題之一。 僅僅使用球面鏡并沒有辦法減免基于入瞳直徑增加而導(dǎo)致的像差（像差是指由于光通過鏡片的位置不太一樣，導(dǎo)致的折射率差異使得鏡面不能將一點所發(fā)出的所有光都聚焦于底片感光膜上的同一位置，使圖像變形或模糊不清等）。上世紀 70 年代，二次非球曲面與高次非球面逐漸被運用到空間遙感光學(xué)系統(tǒng)中。但隨著科研對幅寬的追求，要求空間遙感光學(xué)系統(tǒng)的視場不斷地增加，非球面也不能滿足要求。伴隨著光學(xué)加工技術(shù)前進的步伐、光學(xué)面形的檢測技術(shù)進步，自由曲面光學(xué)元件就逐步地得到了運用 。國外一些知名的光學(xué)研究機構(gòu)一直都致力于自由曲面應(yīng)用于空間光學(xué)的研究。 著名的 HUBBLE 望遠鏡在它修復(fù)空間遙感光學(xué)系統(tǒng)中使用了一面自由曲面發(fā)射鏡，有效地解決了使用前觀測距離相對較近的問題； JWST 在它的紅外線光譜儀中也使用了一面自由曲面以達到平衡軸外像差的效果；歐空局研發(fā)的 Leica—— TMA 空間相機，也是借助自由曲面來達到平衡像差的效果。由于自由曲面本身并非完全對稱，它的像差規(guī)律非常復(fù)雜，目前相關(guān)學(xué)者尚未完成對這類光學(xué)系統(tǒng)的像差函數(shù)化的歸納和推導(dǎo)。但由于其重要應(yīng)用性，引起了越來越多學(xué)者的關(guān)注。 相機 曲面與鏡頭焦距密切相關(guān)，如何設(shè)計曲面使得成像質(zhì)量優(yōu)秀是關(guān)鍵問題。 相機鏡頭的光學(xué)性能是通過開發(fā)、使用各類特殊的鏡片來實現(xiàn)的，相而片畫天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 13 質(zhì)的提高就是得益于這些特殊的鏡片。如果不借助先進的技術(shù)開發(fā)出這些特殊的鏡片，高性能相機鏡頭只能是天方夜譚。而非球面鏡片就是這些特殊鏡片中的一員。外表面是球面，同時也是曲面的鏡片就稱作非球面鏡片，與球面鏡片相比它的像差更小。 圖 42：球面鏡片產(chǎn)生的像差和非球面鏡片的聚焦 單獨使用球面鏡片因其自身特性無法減免像差，往往是通過凹透鏡和凸透鏡的組合使用來消除像差 ，而非球面鏡片消除像差的效果相當于多片凹凸透鏡組合使用的效果。因此，非球面鏡片的應(yīng)用為鏡頭的小型化提供了前提。 此外，非球面鏡片還能為超廣角鏡頭非正常歪曲像差進行補償。相機界巨頭佳能最引以為榮的就是它的精細非球面鏡片。這些精密的非球面鏡片已經(jīng)被佳能運用到超廣角鏡頭和超遠攝像頭的各種 EF 鏡頭中，這也是佳能可以在影像設(shè)備領(lǐng)域占據(jù)一席之地的重要原因。 減震器設(shè)計 圓柱螺旋彈簧在機車工具領(lǐng)域中應(yīng)用相當廣泛。而圓柱螺旋壓縮彈簧與解析幾何中的圓柱螺旋線密切相關(guān)。 圓柱螺旋線是空間解析幾何中的一種典型曲線。首先 ，我們回顧一下圓柱螺旋線方程的確定。一個質(zhì)點一方面繞一條軸線作等角度 ? 的圓周運動，另一方面作平行于軸線的等速 v 直線運動，其速度與角速度成正比，建立空間坐標系? ?kjiO , ，假設(shè)該質(zhì)點從 A? ?0,0,a 為起點運 動，該質(zhì)點的運動軌跡的坐標參數(shù)方程為： ? ?????????????? ??????????????vbtbzttaytax,s inc o s 設(shè) t??? 代入上述參數(shù)方程得： ? ?????? ? ?????? ? ? ?? ?bzay ax s in c o s， 再把參數(shù) ? 消去得到該質(zhì)點運動的曲線方程： 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 14 ???????bzay bzaxsincos 圖 43：基于一般方程的圓柱螺旋曲線。 這就是圓柱螺旋曲線的一般方程。 圓柱螺旋壓縮彈簧就是基于此方程設(shè)計出來的， 其 性能（ 剛度、穩(wěn)定性等）與重要參數(shù)的數(shù)值 范圍有著直接的聯(lián)系。外力等這些載荷使彈簧變形，使彈簧產(chǎn)生單位變形所需的載荷 kp稱為彈簧剛度，即 圓柱螺旋壓縮彈簧的穩(wěn)定性主要與彈簧 長細比以及旋繞比有關(guān)。對于 圓柱螺旋 壓縮彈簧，如其長細比20DHb? 較大時，則受力后容易失去穩(wěn)定性 ，這 在工作中是不允許的。當壓縮彈簧兩端固定時，通常取 b 以保證彈簧的穩(wěn)定性。 旋繞比dDC? （其中 D 為彈簧的平均直徑， d 為材料直徑），從彈簧的剛度條件公式可以看出 C 的大小對彈簧剛度的影響很大。 C 越大彈簧的剛度越小，彈簧 工作時越容易顫動 ； C 越小彈簧的剛度越大， 彈簧越硬進而彈力越大，彈簧的卷制就越困難 ，所以合理地選擇 旋繞比 就能控制彈簧的彈力。通常旋繞比 C 值的取值范圍為4～ 16。 因此，運用解析幾何進行數(shù)學(xué)建模是螺旋壓縮彈簧優(yōu)化設(shè)計的關(guān)鍵所在。 陶藝品 陶藝品不僅僅是一種商品，也是我國的文化遺產(chǎn)。 以陶藝花瓶的制作和外型分析，制作流程分為拉坯、印坯、利坯、曬坯刻花、彩繪等，而拉坯就是一個幾何學(xué)知識應(yīng)用 的過程。將泥團放在轱轆車的轉(zhuǎn)盤中心，然后陶藝師用手和拉坯工具來改變瓶體的形狀，該過程可以用旋轉(zhuǎn)曲線表示。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 15 圖 44：通過旋轉(zhuǎn)成型的花瓶與旋轉(zhuǎn)曲面 轉(zhuǎn)盤的中心相當于旋轉(zhuǎn)軸，然后手和拉坯工具改變形態(tài)相當于旋轉(zhuǎn)體的母線，母線繞著軸旋轉(zhuǎn)形成旋轉(zhuǎn)曲面。 幾何紋飾是常用的瓶體圖紋，常見的有回紋、條紋、花卉紋等，也是運用了一些幾何元素。 圖 45：回紋寶相花團和條紋 我國大多數(shù)的瓶型陶藝品都是腰圓肚大的外形，給人聳立、飽滿、美的感覺。而中國人潛意識里的視覺美仍是對稱一詞，這就導(dǎo)致了瓶器表面的 畫面區(qū)域塊大多呈現(xiàn)出對稱的結(jié)果。事實上，旋轉(zhuǎn)手法的運用也是源于對稱之美。 此外，救生圈、汽車輪胎、橄欖球等的設(shè)計都運用了幾何學(xué)知識。 救生圈其實就是一個環(huán)面，將圓 ? ? ? ???? ? ????? 0 0: 222 x abazby? 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面，即在方程 ? ? ? ?0222 ????? abazby 保持 z 不變，而圓繞著 z 軸旋轉(zhuǎn)而成的如圖 46。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 16 圖 46：救生圈理論上的旋轉(zhuǎn)曲面 橄欖球是將橢圓 ? ???????????02222xczby cb? 繞長軸（ y 軸）旋轉(zhuǎn)，在 ? ?cbczby ?? 2222保留坐標 y 不變，用 22 zx ?? 代 z，從而得到曲面方程 1222222 ??? axczby 得到如圖 47 的長形旋轉(zhuǎn)橢球面。 圖 47：橄欖球的幾何分析 不難看出，工業(yè)設(shè)計及工業(yè)加工是藝術(shù)與科學(xué)的有機結(jié)合。光學(xué)系統(tǒng)、相機、陶藝品等離 不開幾何學(xué)知識的支撐，這些幾何思維使工業(yè)品變得形象化、具體化，同時使我們的生活更加豐富多彩。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 17 5 流體力學(xué)中的幾何思維 飛機飛行中的流體力學(xué) 飛機是速度最快的交通工具，它的出現(xiàn)深深影響和改變著我們的生活。下面探討飛機飛行過程中所應(yīng)用的幾何學(xué)知識。 眾所周知，飛機的整體密度是大于空氣密度的，飛機之所以可以在空中飛行，機翼和尾翼部分起著非常重要的作用。當飛機在空中飛行時，空氣會對飛機施加力，有升力也有阻力，機翼與空氣的相對運動產(chǎn)生了升力，飛機就是依靠空氣提供的升力實現(xiàn)升空飛行的 [16]。機翼的設(shè)計和升力的由來理論知識來自于幾何中“面”的知識和伯努利著作《流體動力學(xué)》里的“邊界層表面效應(yīng)” —— 當流體加快速度流過時，物體和流體的接觸面上的壓力會變小，相反，流速慢時壓力會變大，這就是著名的伯努利定律。 圖 51：機翼和空氣流之間作用產(chǎn)生升力圖解 飛機的主要的升力是由機翼產(chǎn)生的，當然諸如尾翼等也會產(chǎn)生部分升力，但微不足道。從圖 51 中飛機機翼的剖面圖可以發(fā)現(xiàn)機翼的下表面是一個平面，而上表面是一個凸曲面，這樣的設(shè)計使得一股空氣流到了機翼處時就分成了上下兩股，到了機翼后緣又匯聚在了一 起，即在相等的時間內(nèi)，機翼下表面的空氣流過的路程比上表面短，這樣機翼下表面的氣流速度要小于上表面的。由伯努利定律可知機翼上表面受到的壓力小于下表面的壓力，上下表面的壓力差就為飛機提供了一個垂直于相對氣流方向向上的升力，這個升力的大小與機翼面積和剖面形狀、空氣密度、飛機的迎風(fēng)角、速度這些因素有關(guān)。當飛機速度較小時，為了獲得足夠的升力，工程師們對機翼設(shè)計做了一些調(diào)整，添加了前后緣襟翼。速度較天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 18 小時襟翼偏轉(zhuǎn)機翼的彎曲度得到改變，這樣飛機就能獲得足夠支撐飛行的升力。飛機在起飛和降落時前后襟翼向下稍稍偏轉(zhuǎn)，這樣機翼上表 面的氣流速度加快，下表面減慢，使得飛機速度較小時達到增加升力的效果，從而提高飛機起飛或降落時的安全性 [16]。 高層建筑受到的風(fēng)壓 伴隨著我國國民經(jīng)濟的飛快發(fā)展，高層建筑迅猛發(fā)展。下面探討高層建筑風(fēng)壓調(diào)節(jié)所應(yīng)用的幾何學(xué)知識。 風(fēng)壓的考慮是高層建筑設(shè)計中必不可少的一個重要部分?！吧砭痈呶弧钡臉菍佑L(fēng)面積越大，樓層的外表面的風(fēng)壓越大，在風(fēng)的作用下，這些樓層承受著巨大的壓力。高空中由于氣壓的不同形成風(fēng)，不同風(fēng)向的風(fēng)會給高層建筑表面施加大小不一的壓力。根據(jù)伯努利的理論及科學(xué)推算，高層建筑立面受到的風(fēng)壓為 200 21 vW ?? ， 其中 0v 為風(fēng)速， ? 為流體密度。當風(fēng)速過大時會導(dǎo)致立面不堪重壓發(fā)生外墻結(jié)構(gòu)或者裝飾材料損毀事故。 高層建筑受到的風(fēng)壓和建筑本身的幾何外形有關(guān)，不同的幾何外形可以調(diào)節(jié)高層建筑立面受到的風(fēng)壓。經(jīng)過科學(xué)研究證明三角形、倒三角和 Y 形建筑比矩形和方形建筑受到的風(fēng)壓更小，這就是 為什么世界上大多數(shù)超高層建筑都是不規(guī)則的立面或者結(jié)構(gòu)，例如科威特中央銀行新總部大廈，見下圖。 圖 52：科威特中央銀行新總部大廈 此外，許多高層建筑的立面玻璃幕墻或玻璃窗都是設(shè)計成有一定弧度的玻璃面，根據(jù)伯努利的理論，這些凸面會使得風(fēng)的流速加快，從而減小建筑立面所受到的風(fēng)壓。 動車組運行中受到的阻力 伴隨社會經(jīng)濟的快速發(fā)展，我國的鐵路運輸也在快速地發(fā)展、不斷地提速，京津城際動車組的運營便是在這個高速的時代下衍生出的產(chǎn)物。下面探討動車組天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 19 運行中阻力與所用的幾何學(xué)知識。 時速高達 300km 左右的動車 組在運行過程中會與空氣流發(fā)生劇烈的摩擦，從而影響動車組的安全性和節(jié)能等。起初，據(jù)研究表明，當列車以 300km 每小時的速度運行時其受到的空氣阻力將占列車總的阻力的 75%以上，這與國家號召的節(jié)能高效相差甚遠，而且巨大的阻力會嚴重限制實現(xiàn)提速的初衷。阻力與接觸面的大小成正比，阻力為 CqSf ? ， 其中 vq 221?? 為動壓（ v 為動車速度）， C 為阻力系數(shù)， S 為動車最大橫截面