【正文】 積。圖 53就是根據(jù)壓力公式對(duì)兩種不同車(chē)頭型的動(dòng)車(chē)進(jìn)行空氣動(dòng)力學(xué)仿真模擬分析與風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)得到的壓力分布云圖。 圖 53：模擬原來(lái)的頭型和改進(jìn)后的頭型車(chē)頭壓力的分布云圖 科研人員經(jīng)過(guò)對(duì)動(dòng)車(chē)組的研究，實(shí)現(xiàn)了對(duì)動(dòng)車(chē)組的主要產(chǎn)生空氣阻力的部位—— 車(chē)頭、空調(diào)導(dǎo)流罩、車(chē)尾 等進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而有效的減小了空氣阻力，實(shí)現(xiàn)列車(chē)的提速。主要通過(guò)對(duì)動(dòng)車(chē)組車(chē)頭的設(shè)計(jì)進(jìn)行流線化，車(chē)頭變得更長(zhǎng)更尖更低矮，車(chē)頭的車(chē)窗更加傾斜，整個(gè)車(chē)頭變成更加流暢的曲面，這樣的設(shè)計(jì)能有效的減小車(chē)頭迎風(fēng)面，從而降低其與空氣接觸，達(dá)到減小阻力的效果。同時(shí)這種流線型外形的車(chē)頭快速運(yùn)行時(shí)空氣流快速流過(guò)車(chē)的上表面也會(huì)對(duì)動(dòng)車(chē)組產(chǎn)生一定的浮力，減小動(dòng)車(chē)組施加給地面的壓力，進(jìn)而減小動(dòng)車(chē)組與地面的摩擦力，達(dá)到減阻提速。 總而言之，曲面的運(yùn)用有效地為我們的生活“減壓”和提速，真正達(dá)到了幾何改變生活的效果。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 20 6 天文 軍事中的幾何思維 21 世紀(jì)以來(lái)，我國(guó)航天事業(yè)蓬勃發(fā)展。 20xx 年， 航天員楊利偉乘坐神舟五號(hào)飛船首次進(jìn)入太空 ,圓了中華民族的千年飛天夢(mèng) ； 20xx 年，神舟七號(hào)載多人圓滿完成航天飛行任務(wù)； 20xx 年，“嫦娥三號(hào)”成功探月。國(guó)家用實(shí)際行動(dòng)展現(xiàn)了祖國(guó)的繁榮與軍事實(shí)力?？赡茉S多人認(rèn)為我國(guó)航天航空等軍事力量強(qiáng)大的背后是物理知識(shí)起著支撐作用，其實(shí)除了物理知識(shí)的支撐外，數(shù)學(xué)也在航天航空事業(yè)中起著非常重要的作用。下面我們探討天文軍事中不可或缺的幾何知識(shí)。 航天器運(yùn)行中的幾何思維 20xx 年 9 月 25 日，神舟七號(hào) 飛船發(fā)射成功，自此飛船進(jìn)行為期兩天多的載人航天飛行任務(wù)。在發(fā)射后的 10 分鐘，火箭和飛船到達(dá)離地面高度約為 km200 公里處實(shí)現(xiàn)分離，神舟七號(hào)飛船與火箭脫離后，進(jìn)入離地球表面的遠(yuǎn)地點(diǎn) km347 、近地點(diǎn) km200 的橢圓軌道運(yùn)行。下面探討其中的幾何學(xué)知識(shí)。 假設(shè)兩者的分離地點(diǎn)離地球球心的距離是 R ，此時(shí)的速度大小為 v ，地球的質(zhì)量為 m，方向與萬(wàn)有引力的方向垂直。圖 61 表示了神舟七號(hào)飛船與火箭脫離時(shí)的受力情況。 圖 61：飛船在萬(wàn)有引力的作用下的運(yùn)行軌跡 地球?qū)ι裰燮咛?hào)飛船的萬(wàn)有引力表示為 F ， F 是飛船在半徑是 R 的圓形軌道上以速度 v 運(yùn)行時(shí)所需要的向心力。根據(jù)萬(wàn)有引力定律可知，飛船受到地球施加的萬(wàn)有引力為 2RMmGF? 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 21 其中 G 為萬(wàn)有引力常量， M 為飛船質(zhì)量。神舟七號(hào)飛船做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力為 RVmF 239。? 其中 V 為飛行速度， R 為半徑。 當(dāng) FF?39。 時(shí)，神舟飛船所受到的萬(wàn)有引力 F 還不 足以提供飛船繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所需要的向心力 39。F ，這時(shí)飛船將會(huì)做離心運(yùn)動(dòng)遠(yuǎn)離地球如圖 61 所示。此時(shí)，地球施加給飛船的萬(wàn)有引力對(duì)飛船做負(fù)功，進(jìn)而飛船的運(yùn)動(dòng)速度將會(huì)不斷地變小，而飛行方向不斷地發(fā)生改變，當(dāng)萬(wàn)有引力與飛船的某一瞬間速度方向保持垂直時(shí)，飛船到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)且此時(shí)速度最小。這時(shí)萬(wàn)有引力剛好和飛船以遠(yuǎn)地點(diǎn)的曲率半徑 ? 為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力相等，同 時(shí)大于以該點(diǎn)到地心距離 R 為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，即 RVmVmRMmGF22222 ??? ? 由此，神舟飛船將會(huì)在引力的正功作用下又沿橢圓軌道做繞地球運(yùn)動(dòng)。 當(dāng) FF? 時(shí)，飛船受到地球的萬(wàn)有引力恰好等于飛船以地心為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所需要的向心力，此時(shí)飛船將繞地進(jìn)行圓周運(yùn)動(dòng)。 神舟七號(hào)飛船就是通過(guò)這樣的 幾何和物理原理在遠(yuǎn)地點(diǎn)借助自帶推進(jìn)器的推動(dòng)實(shí)現(xiàn)橢圓軌道到圓形軌道，或者圓形軌道到橢圓軌道之間變軌運(yùn)動(dòng)的。運(yùn)動(dòng)軌跡的變換原理不僅涉及到物理學(xué)理論，還用到重要的幾何軌線。 20xx 年 12 月 2 日，我國(guó)“長(zhǎng)征三號(hào)乙”運(yùn)載火箭將“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器成功地送入高空。 6 日，“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器成功進(jìn)入環(huán)月軌道。 14 日，“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器順利在月球表面預(yù)先選定的地區(qū)著陸。從此，我國(guó)又翻開(kāi)了新的航天篇章，繼俄美兩國(guó)之后成為人類(lèi)史上第三個(gè)實(shí)現(xiàn)對(duì)月球進(jìn)行著陸探測(cè)的國(guó)家。 在此次嫦娥探月過(guò)程中，第一階段是“長(zhǎng)征三號(hào)乙”運(yùn)載探測(cè)器發(fā)射升 空；第二階段是“繞”，即探測(cè)器進(jìn)入繞月軌道實(shí)施對(duì)月球表面環(huán)境等進(jìn)行探測(cè)；第三階段是“落”，即“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器在月球表面指定區(qū)域著陸，并進(jìn)行月球?qū)嵉乜疾臁? 第一階段發(fā)射探測(cè)器時(shí)，它是按橢圓軌道運(yùn)行還是按拋物線或雙曲線軌道運(yùn)行，就看它在地球上發(fā)射的初速度的大小，主要有以下四種情況： ?????????????skmvskmvskmvskmskmvskm/12/// 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 22 當(dāng) v 小于 s/ 時(shí)，運(yùn)行軌道為圓；當(dāng) v 大于 s/ 小于 s/ 時(shí)，運(yùn)行軌道為橢圓；當(dāng) v 等于 s/ 時(shí)，運(yùn)行 軌道為拋物線；當(dāng) v 大于 s/km12 時(shí)，運(yùn)行軌道為雙曲線 [8]。 要使探測(cè)器最后進(jìn)入到預(yù)定目的地，需要經(jīng)過(guò)幾次火箭助推加速：運(yùn)載火箭發(fā)射，進(jìn)入轉(zhuǎn)移橢圓軌道；星載發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火實(shí)現(xiàn)助力變軌，進(jìn)入繞月橢圓軌道；星載發(fā)動(dòng)機(jī)再點(diǎn)火使飛船實(shí)現(xiàn)變軌，進(jìn)入停泊的圓形軌道；最后星載發(fā)動(dòng)機(jī)再次發(fā)揮作用，進(jìn)入到極月小橢圓軌道等過(guò)程。 2 日 2 時(shí)，“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器太陽(yáng)翼展開(kāi)，通過(guò)太陽(yáng) 供給電能，探測(cè)器以每秒約 11 公里的速度進(jìn)入遠(yuǎn)地點(diǎn) ? 的橢圓形軌道，近地點(diǎn) km210 的地月轉(zhuǎn)移橢圓軌道。在到達(dá)繞月軌道后探測(cè)器剎車(chē)制動(dòng)，一次性變成km15km200 ? 的橢圓軌道，之后再由周期為 小時(shí)的軌道調(diào)整進(jìn)入周 期為 127分鐘、距離月球表面 km200 的的圓形軌道上圍繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，緊接著再進(jìn)行變軌，使探測(cè)器進(jìn)入 km100km15 ? 的極月小橢圓軌道。 限于國(guó)家對(duì)高科技技術(shù)的保密，無(wú)法取得更多運(yùn)載火箭發(fā)射數(shù)據(jù)，進(jìn)而無(wú)法對(duì)整個(gè)嫦娥探月過(guò)程進(jìn)行更深入分析。但綜上可看出，幾何學(xué)知識(shí)在嫦娥探月過(guò)程中起著舉足輕 重的作用，特別是在探測(cè)器進(jìn)行軌道變軌的幾個(gè)過(guò)程，經(jīng)過(guò)了幾次由橢圓軌道到圓形軌道、圓形軌道到橢圓軌道的變軌，才有之后的軟著陸成功，實(shí)現(xiàn)對(duì)月球表面的實(shí)地考察。 導(dǎo)彈發(fā)射、防御中的幾何思維 導(dǎo)彈 對(duì)于國(guó)防軍事至關(guān)重要，其研發(fā)、發(fā)射和防御意義重大。下面探討它所用到的幾何學(xué)知識(shí)。 導(dǎo)彈作為一種進(jìn)攻性的武器破壞力巨大，在發(fā)射或防御過(guò)程中差之毫厘，都可能造成毀滅性的打擊。導(dǎo)彈發(fā)射的精準(zhǔn)度涉及到導(dǎo)彈的外形以及發(fā)射的方向，這些都涉及到幾何學(xué)理論。 以美國(guó)潛地彈道導(dǎo)彈為例，從北極星 A1 型號(hào)導(dǎo)彈到三叉戟 D5 型號(hào)導(dǎo)彈，經(jīng) 過(guò)了六個(gè)型號(hào)三代導(dǎo)彈的發(fā)展，不僅射程變遠(yuǎn)、彈頭變多，外形也發(fā)生了變化，錐形彈頭外形有效地減小了發(fā)射過(guò)程中所遇到的空氣阻力等，在存儲(chǔ)燃料空間容積有限的情況下有效地提高了導(dǎo)彈的射程。 絕大多數(shù)情況下，使用導(dǎo)彈是為了實(shí)現(xiàn)精確的打擊。對(duì)鉆地導(dǎo)彈而言，是希望與地面成接近垂直的方向打擊地下的目標(biāo)，以達(dá)到最大鉆入深度；對(duì)反導(dǎo)彈系統(tǒng)導(dǎo)彈而言，則希望以頭部直接攻擊來(lái)攔截?cái)撤降墓魧?dǎo)彈；對(duì)反艦導(dǎo)彈而言，是希望能夠以恰當(dāng)?shù)慕嵌葋?lái)攻擊艦船主要倉(cāng)儲(chǔ)部位；對(duì)反坦克導(dǎo)彈而言，則希望以垂直角度擊中坦克的防護(hù)裝甲。這些都涉及到發(fā)射的方向以及 導(dǎo)彈的幾何軌跡。 按發(fā)射姿態(tài)，導(dǎo)彈發(fā)射方式可以分為垂直發(fā)射、水平發(fā)射和傾斜發(fā)射等。導(dǎo)天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 23 彈以垂直的姿態(tài)發(fā)射就叫作垂直發(fā)射，是導(dǎo)彈的縱橫線和發(fā)射地點(diǎn)的大地水平面呈互相垂直的發(fā)射方式。 圖 62：某國(guó)采取垂直發(fā)射方式發(fā)射的導(dǎo)彈 垂直發(fā)射的裝置結(jié)構(gòu)緊湊、簡(jiǎn)單的同時(shí)占用的空間也小，而且導(dǎo)彈垂直發(fā)射即使在推重相對(duì)小的情況下也能正常起飛減小發(fā)射的盲區(qū)，能有效降低研發(fā)的成本。當(dāng)今世界上各個(gè)國(guó)家現(xiàn)役的大部分彈道導(dǎo)彈都是采用垂直發(fā)射方式。 機(jī)載空對(duì)地彈道導(dǎo)彈使用的是水平發(fā)射的方式發(fā)射。飛機(jī)飛到指定的空域后釋放導(dǎo)彈，導(dǎo)彈下沉 到某一高度后，導(dǎo)彈上的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)進(jìn)行加速，具有一定速度的導(dǎo)彈在重力的作用下做拋物線運(yùn)動(dòng)，在飛機(jī)的控制系統(tǒng)的控制下沿著這一拋物線軌道直奔預(yù)定的目標(biāo)。該發(fā)射方式及拋物線軌道的飛行易于控制、改變導(dǎo)彈變向，利于提高命中率。 導(dǎo)彈是以傾斜的狀態(tài)發(fā)射，即導(dǎo)彈的縱橫線和發(fā)射地點(diǎn)的大地水平面構(gòu)成一個(gè)傾角的發(fā)射，這種發(fā)射方式就叫作傾斜發(fā)射。該發(fā)射方式可讓飛行在空中的導(dǎo)彈充分借助空氣動(dòng)力的作用，有效降低導(dǎo)彈發(fā)射后轉(zhuǎn)彎的操作難度，提高導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性。此外，該發(fā)射方式使彈道的曲率變小，飛行時(shí)間以與飛行路徑也一定程度地減小，有 利于攻擊目標(biāo)。美國(guó)部署的“陸軍戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈系統(tǒng)”使用的就是此種傾斜發(fā)射方式。 綜上所述，航天器與導(dǎo)彈的研發(fā)、設(shè)計(jì)、發(fā)射運(yùn)行所用到的運(yùn)動(dòng)軌跡、運(yùn)動(dòng)方向的預(yù)設(shè)和后期控制都離不開(kāi)幾何知識(shí)的幫助。幾何學(xué)在航天國(guó)防軍事上的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，還有諸如導(dǎo)彈制導(dǎo)方面基于時(shí)間最優(yōu)的導(dǎo)引律，它用到微分幾何和歐氏幾何?？梢哉f(shuō)，正是有了幾何學(xué)等自然科學(xué)的巧妙應(yīng)用，才有航天事業(yè)的蓬勃繁榮與國(guó)防軍事的不斷壯大。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 24 7 繪畫(huà)與服裝服飾中的幾何思維 繪畫(huà)藝術(shù)中的幾何 數(shù)學(xué)中的幾何知識(shí)與繪畫(huà)藝術(shù)有著不可分割的聯(lián)系，不倫是中國(guó)還 是西方，繪畫(huà)作品中處處顯現(xiàn)著幾何圖形的形式美。 意大利著名繪畫(huà)大師達(dá)芬奇曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“任何人對(duì)畫(huà)的研究，沒(méi)有經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)的證明，就不能認(rèn)為是真正的科學(xué)?！薄袄L畫(huà)藝術(shù)當(dāng)時(shí)曾創(chuàng)造出天才的杰作，甚至從這門(mén)藝術(shù)的發(fā)展，我們就會(huì)看到，在很大程度上也是建立在數(shù)學(xué)的應(yīng)用這一基礎(chǔ)上的”，蘇聯(lián)藝術(shù)家索科洛夫在點(diǎn)評(píng)文藝復(fù)興期間的繪畫(huà)時(shí)如是說(shuō)到?！艾F(xiàn)代藝術(shù)之父”塞尚也曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“畫(huà)作應(yīng)當(dāng)遵照?qǐng)A柱體、圓球體、圓錐體來(lái)處理自然”，把抽象的意境經(jīng)由幾何圖形的處理躍然于紙。西方藝術(shù)界馬列維奇、勃拉克、畢加索等藝術(shù)大師，在他們的作品中也都或多或 少地體現(xiàn)幾何思維。 西方繪畫(huà)藝術(shù)畫(huà)風(fēng)多種多樣，但畫(huà)作里都呈現(xiàn)出同樣的元素 —— 幾何元素。達(dá)芬奇的作品便是其中的代表作，其大部分畫(huà)作都是藝術(shù)和幾何的完美結(jié)合。傳世佳作 —— 《最后的晚餐》這幅大型壁畫(huà)，達(dá)芬奇在創(chuàng)作它時(shí)融入了不少的幾何思維。 圖 71：達(dá)芬奇的作品《最后的晚餐》 寬 460cm，長(zhǎng) 880cm的《最后的晚餐》，這么長(zhǎng)的畫(huà)，達(dá)芬奇只有預(yù)先進(jìn)行有效的幾何構(gòu)圖才會(huì)有這著名的巨作。耶穌坐在畫(huà)中最顯眼的位置 —— 中軸線上，十二個(gè)門(mén)徒對(duì)稱(chēng)分散著沒(méi)側(cè)坐六個(gè)；水平線、垂直線交叉構(gòu)成比例協(xié)調(diào)的網(wǎng)格窗戶。 為了凸 顯事物特征，塞尚在其作品中往往運(yùn)用深褐色或黑色的線來(lái)描繪物體局部或整體的輪廓線。下圖為其知名畫(huà)作《垂發(fā)的塞尚夫人》和《七個(gè)蘋(píng)果》。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 25 圖 72：塞尚的作品《垂發(fā)的塞尚夫人》和《七個(gè)蘋(píng)果》 《垂發(fā)的塞尚夫人》中，塞尚通過(guò)用漸變的黑色線來(lái)描繪畫(huà)作中的婦女的頭部輪廓，以達(dá)到突出頭部輪廓的幾何形特征，而人物的頸部則表現(xiàn)出圓柱體的立體感，再勾勒出清晰的橢圓形耳朵的外形。惟妙惟肖的肖像畫(huà)因?yàn)閹缀卧囟o人一種沉穩(wěn)的感覺(jué)。而《七個(gè)蘋(píng)果》看似簡(jiǎn)單，但畫(huà)里卻無(wú)處不透露著塞尚細(xì)膩的心思：用褐色的線來(lái)勾勒七個(gè)蘋(píng) 果的輪廓，再每個(gè)都那么渾圓結(jié)實(shí)的蘋(píng)果畫(huà)上濃重的投影。一副簡(jiǎn)單的物體畫(huà)，因?yàn)閹缀卧氐倪\(yùn)用給人帶來(lái)了充分的視覺(jué)沖擊。 畢加索善于把客觀存在的物體通過(guò)幾何形體分解成各個(gè)部分，再將其有效地組合成畫(huà)面，無(wú)愧“立體主義家”的稱(chēng)號(hào)。他的畫(huà)作就是對(duì)藝術(shù)家哈德羅奧斯本的至理名言“立體主義最著名的方法就是把物體拆解成象征幾何形立體的平面”作出的解釋。畢加索打破了人們對(duì)人的客觀形象的慣性思維的束縛，對(duì)人物整體進(jìn)行拆分描繪，運(yùn)用三角形、橢圓形等幾何形來(lái)構(gòu)造人物，創(chuàng)作了《亞威農(nóng)少女》。而喬治勃拉克受到該構(gòu)圖影響，也創(chuàng)作了不少極 富立體感的佳作 ——《埃斯塔克的房屋》一系列作品。 圖 73：《亞威農(nóng)少女》和《埃斯塔克的房屋》 在畫(huà)作《埃斯塔克的房屋》中，房屋和后面的山石都是用長(zhǎng)方體或其他多面體來(lái)表現(xiàn)，立體特征顯著或明或暗，極具層次感。 現(xiàn)代西方的街頭壁畫(huà)也蘊(yùn)含著立體幾何知識(shí)。粉彩的墻壁上既可以看到明顯天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 26 的幾何圖案，亦可欣賞到有門(mén)卻無(wú)法打開(kāi)進(jìn)去的“商店”或“酒吧”，立體感強(qiáng)到可以以假亂真。 幾何思維對(duì)中國(guó)繪畫(huà)也有著深遠(yuǎn)的影響。 如果說(shuō)西方繪畫(huà)藝術(shù)多是面或體這兩種幾何語(yǔ)言，那么我國(guó)畫(huà)作的基本語(yǔ)言就主要是線。線作為面的切割，有邊界和 輪廓之感，它可以為畫(huà)作提供基礎(chǔ)的骨架，也可以當(dāng)作橋梁連接不同的圖形內(nèi)容，使之成為一個(gè)協(xié)調(diào)的統(tǒng)一體達(dá)到穩(wěn)定畫(huà)面的效果。 線在繪畫(huà)里的使用效果千變?nèi)f化，有疏密長(zhǎng)短，或剛或柔，或舒緩或活潑，有輕盈也有粗獷，作用繁復(fù)。線的神韻在筆下的一提一頓、或粗或細(xì)中體現(xiàn)。縱觀史冊(cè)，敦煌壁畫(huà)、周錦畫(huà)、“吳帶當(dāng)風(fēng)”等都是線為主導(dǎo)。 “吳帶當(dāng)風(fēng)”中吳道子利用飛揚(yáng)線條來(lái)展現(xiàn)所作壁畫(huà)充滿風(fēng)的動(dòng)感。唐代書(shū)畫(huà)大家張彥遠(yuǎn)以“無(wú)線者，非畫(huà)也”來(lái)強(qiáng)調(diào)線在中國(guó)畫(huà)