【文章內容簡介】 曲軸系統(tǒng) 6 自由度無阻尼自由振動運動微分方程簡寫形式為 }0{}]{[}]{[ ???? ?? KJ 令其解 )sin( ?? ?? ptAii i=1,2,3? 6 將 ii ?? ?及 帶入式（ 31），消去公因子 )sin( ??pt ，得 }0{}]{[}]{[ 2 ?? AMpAK 或寫成 }]{[}]{[ 2 AMpAK ? （ 32） 其中 ? ????????????????????????654321AAAAAAA為振幅向量 這種是用剛度矩陣建立的，其固有頻率和主振型可由式（ 32）求出，另一種是用柔度矩陣建立的，其固有 頻率和主振型可由下式求出 }0{}]{][[}{1 2 ?? AMRAp 或寫成 }]{][[}{12 AMRAp ? （ 33） 14 用 1][ ?M 前乘（ 32）式，得 }{}]{[][ 21 ApAKM ?? （ 34） 方程（ 33）、（ 34）可寫成如 下統(tǒng)一的形式 }{}]{[ AAD ?? （ 35） 式（ 35）稱為特征值問題的標準形式，即矩陣迭代法的基本迭代公式。式中 ][D稱為動力矩陣， ? 則是矩陣 ][D 的特征值，當 ][D 是按剛度矩陣形成時，即][][][ 1 KMD ?? ，則 ? 表示固有頻率的平方，即 2p?? ；而當 ][D 是按柔度矩陣形成時，即 ]][[][ KRD ? ，則 ? 表示固有頻率的平方的倒數(shù)，即 2/1 p?? 。顯然，任一階固有頻率和主振型都是（ 35）式的精確解。 迭代過程 下面介紹從（ 35）式出發(fā)進行迭代的基本 過程： 1) 任意假設一個經過基準化了的初始迭代向量 1}{A （所謂基準化就是選取迭代向量的某個分量為基準值 1，現(xiàn)使其第一個元素 A1,1為基準值 1），并作1}]{[ AD 運算，運算得到一個新的列陣 1}{B ，再將 1}{B 基準化，即將新的列陣 1}{B中的各元素均除以 B1,1，可得 21,111 }{}{}]{[ ABBAD ?? 2) 比較 1}{A 與 2}{A ，如果 1}{A ? ??2A ，則重復上述步驟，以 ][D 乘 2}{A ，得 32,122 }{}{}]{[ ABBAD ?? 3) 比較 2}{A 與 3}{A ，如 果 3}{A ? 2}{A ，則繼續(xù)重復上述步驟，以 ][D 乘3}{A ， ?，直到第 k次迭代 }{}{}]{[ ??? kkkk ABBAD 在一定精度范圍內，當式中 1}{}{ ?? kk AA 時停止迭代，這時特征值 1? ＝ B1， k，而相應的特征向量就等于 1}{ ?kA 。 可以證明，當?shù)螖?shù)足夠大時，按柔度矩陣建立的（ 33）式，其迭代計算必然收斂于第一階固有頻率和第一階主振型。而按剛度矩陣建立的（ 32）式，迭代計算卻收斂于最高階固有頻率和最高階主振型。論證如下： 設 n 個自由度系統(tǒng)對應于（ 35）式的特征值互不相同，其 n 個特征值及 n個特征向量分別表示為λ λ 2? λ n 及 }{ )1(A 、 }{ )2(A 、 ? }{ )(nA 。且λ 1λ 2?n? 。現(xiàn)給定任一初始迭代向量 1}{A ，將 1}{A 表示為各階主振型的線性組合，即 15 }{}{}{}{ )()2(2)1(11 nn AcAcAcA ??????? （ 36） 上式中 c c ? 皆為常數(shù)，它分別表示各階主振型在 ??1A 中所占比例。 用 ][D 前乘 ??1A 并令其乘積為 ??1B ，則 }){}{}{]([}]{[}{ )()2(2)1(111 nn AcAcAcDADB ???????? = }){}{}{( )(1)2(121)1(11 nnn AcAcAc ????? ?????? }){}{}{(}{1}{ )(1)2(121)1(11,1 111,12 nnn AcAcAcBBBA ????? ???????? (37) 這里12?? 、13?? 、 ? 、1??n 均小于 1，可見，經第一次迭代后， 2}{A 與 1}{A 相比，除第一階主振型 }{ )1(A 外，其它各階主振型所占分量均已相對地減小了。因而 2}{A 比 1}{A 更接近于第一階主振型。同樣當進行第二次迭代后，則有 }){}{}{(}]{[}{ )(1)2(121)1(11,12122 nnn AcAcAcBADB ????? ???????? }){}{}{(}{1}{ )(1)2(121)1(12,11,12122,13 nnn AcAcAcBBBBA ????? ???????? （ 38） 與式（ 37）相比， 3}{A 中除第一階主振型 1}{A 外，其它各階主振型所占的分量更為減小了。因此經過 k－ 1 次迭代后，則有 }){}{}{(}]{[}{ )(1)2(121)1(12,11,11111 nnnkkkk AcAcAcBBADB ????? ??????????? ???? }){}{}{(}{1}{ )(1)2(121)1(11,11,11111,1 nnnkkkkk AcAcAcBBBBA ????? ??????????? ???? （ 39） 由于 kA}{ 中除 1}{A 外，各振型成分因 11)(?ki?? 1 而減小很多，從而第一階振型 }{ )1(A 占絕對優(yōu)勢，故 ??1}{ kB }{ )1(12,11,111 AcBB kk?????? 16 }{}{ )1(11,11,111 AcBBA kkk ?????? ? （ 310） 同理，在第 k 次迭代后則有 kk ADB }]{[}{ ? }){)(}{)(}{( )(1)2(122)1(11,11,11 nknnkkk AcAcAcBB ????? ????????? ? }){)(}{)(}{(}{1}{ )(1)2(122)1(1,11,11,11nknnkkkkkk AcAcAcBBBBA ????? ???????????? (311) 由于 ki)(1?? 1，故 ?kB}{ }{ )1(11,11,1 1 AcBB kk????? （ 312） 即 kA}{ 與 kB}{ 中第一階主振型 }{ )1(A 成分均占絕對優(yōu)勢， kA}{ 與 kB}{ 均與 }{ )1(A非常接近，因此可近似取 kA}{ 或 kB}{ 作為第一階主振型 }{ )1(A 。同時由（ 310）、（ 312）式可看出 ?kB}{ kA}{1? （ 313） 即 kB}{ 中各元素與 kA}{ 中各對應元素的比值 Bi, k/Ai, k（ i＝ 1， 2， ? ， n）均接近于 1? ，由于令 Ai, k＝ 1，故 Bi, k? 1? （ 314） 上述證明說明，迭代計算結果總是收斂于最大特征值 1? 以及 1? 所對應的特征向量 }{ )1(A 。當方陣 ][D 是按柔度矩陣形成時，因 ? 1＝ 1/ 21p ，由最大特征值 1? 求得的 p1是系統(tǒng)的第一階固有頻率，其對應的特征向量 }{ )1(A 就是系統(tǒng)的第一階主振型。當方陣 ][D 是按剛度矩陣形成時，因 ? 1＝ 21p ，這時最大特征值 ? 1就對應于最高階固有頻率 2np ，其對應的 }{ )1(A 則是最高的主振型。 在本課題中，由于剛度矩陣 ][K 的行列式為零，系統(tǒng)不存在柔度矩陣，故迭代公式采用式（ 34），即 }{}]{[][ 21 ApAKM ?? 。此時動力矩陣 ][][][ 1 KMD ?? ，特征值 2p?? 。有上述論證可以知道，這種迭代方法計算的結果收斂于最高階固有頻率及最高階主振型，也即 261 p?? ， 1}{ ?kA = }{ )6(A 。 采用 MALAB 編程，程序流程圖如圖 ，程序見附錄 1。結果第六階固有頻率 6p =18946rad/s,相應的主振型 ? ?)6(A =? ?T0 .9 2 8 03 9 .8 1 6 24 3 .6 3 3 23 3 .7 7 4 51 3 .3 3 0 01 .0 0 0 0 17 圖 第六階固有頻率及主振型程序流程圖 第五階及以下固有頻率與相應主振型的求解 由于工程中通常對系統(tǒng)的低階固有頻率和主振型比較重視，因此一般都用柔度矩陣形成的動力矩陣來進行迭代計算（如果已知剛度矩陣，則可以先計算剛度矩陣之逆而得出柔度矩陣）。但是本課題 中剛度矩陣不可逆，不存在柔度矩陣，因此動力矩陣只能用剛度矩陣的形式。它不僅可以求出最高階固有頻率和主振型，而且可以求出其他的各階固有頻率和主振型。下面介紹計算第五階及其以下各階固有頻率和主振型的方法。 據上述推證過程可知，若在所假設的 1}{A 中不含有 }{ )1(A 成分，即 c1＝ 0，則迭代計算將收斂于 2? 及 }{ )2(A ，類似地，若在所假設的 1}{A 中不含有 }{ )1(A 、 }{ )2(A成分，即 c1＝ c2＝ 0，則迭代計算將收斂于 3? 及 }{ )3(A ，?。由此可見若欲計算第 18 1?r 階固有頻率 1?rp 及其主振型 }{ )1( ?rA ，則必須使 1}{A 中不含有第一階到第 r階各階主振型成分，為此，可采用如下兩中方式之一： i）使所假設的 1}{A 中不含第 r 階及其以下各階主振型成分。（此點一般不易作到） ii）從所假設的 1}{A 中清除掉所有不大于第 r 階的主振型成分。實用中常采用第二種方式，具體方法如下。 設任選的初始迭代向量為 1}{A ，現(xiàn)將其表示為如式（ 36）所示的各階主振型的線性組合 }{}{}{}{ )()2(2)1(11 nn AcAcAcA ??????? 從上式中減去前 r 階主振型，得 ???????????rjjjrr AcAAcAcAcA1)(1)()2(2)1(11 }{}{}{}{}{}{ （ 315） 式中的 }{ )(jA （ j＝ 1， 2，?， r）可通過迭代法求出，而 jc 可由已知的 }{ )(jA j＝ 1， 2，??， r）用如下方法去求：用 ][}{ )( MA Tj 前乘（ a）式兩邊，并利用主振型的正交條件 得 jjjTjjnjnjjTjcMAMAcAMAcAMAcAMAcAMA?????????}]{[}{}]{}[{}]{}[{}]{}[{}]{[}{)()()()()2()(2)1()(11)( 由上式解得 jTjj M AMAc 1)( }]{[}{? （ j＝ 1， 2， ? ， r） （ 316） 式中 }]{[}{ )()( jTjj AMAM ? 。 將式（ 316）代入式（ 315）中得： 111)()(11)()(11)(1}]{[}){][}}{{]([}]{[}{}{}{}{}{AQAMMAAIMAMAAAcAArrj jTjjrj jTjjrjjj???????????? （ 317） 式中 ][rQ 稱為 r 階清型矩陣。 19 由上可見，對 1}{A 前乘 ][rQ 就相當于從 1}{A 中清除了所有前 r階主振型成分。當清除了前 r 階主振型成分以后，就可求第 1?r 階固有頻率 1?rp 及主振型