【文章內(nèi)容簡介】 =b，AB=c，三角形內(nèi)切圓半徑為 r 由第一種解法可知： ar+br=c 由第二種解法可知： (a+b+c)r=a b 這均是計算直角三角形內(nèi)切圓半徑的重要結(jié)論 . 那么由此兩種表達式你可以驗證一個什么重要定理呢？請同學(xué)們試一試 . 【變式 3】已知：如圖，△ ABC 的內(nèi)切圓⊙ O切邊 AB、 BC、 AC 于點 D、 E、 F，且∠A=50176。，求∠ DEF 的度數(shù) . 方法一： 思路點撥： 因為∠ DEF 是圓周角，可以 先求相應(yīng)的圓心角∠ DOF，由切線的 性質(zhì)，知OD⊥ AB， OF⊥ AC，從而可求出∠ DOF. 解： 連接 OD， OF ∵⊙ O 切 AB 于 D，切 AC 于 F ∴ OD⊥ AB， OF⊥ AC ∴∠ A+∠ DOF=180176。 ∵∠ A=50176。 ∴∠ DOF=130176。 . 方法二：此題還可由切線長定理和內(nèi)心性質(zhì)求解 . 解： 連接 OB、 OC ∵⊙ O 是△ ABC 的內(nèi)切圓 ∴ OB 平分∠ ABC， BD=BE ∴ OB⊥ DE， 同理： OC⊥ EF， ∴∠ BOC+∠ DEF=180176。 又∵∠ BOC=180176。 (∠ OBC+∠ OCB) ∴∠ DEF=65176。 總結(jié)升華： 事實上，在此求解過程中可以得到如下結(jié)論： (1) (2) 類型五、兩圓的位置關(guān)系 6．已知相交兩圓的半徑分別為 ，圓心距為 d，試求 d 的整數(shù)值 . 思路點撥： 對于半徑分別為 r1， r2的兩圓相交，若圓心距為 d，則 |r1r2|＜ d＜ r1+r2. 解： 由已知： 即 ，而 d 為正整數(shù) ∴ 3≤ d≤ 5 ∴ d 的整數(shù)值為 3， 4， 5. 舉一反三： 【 變 式 1 】 已 知 兩 圓 的 半 徑 分 別 為 r1 ， r2 ， 圓 心 距 為 d ， 且 滿 足，試確定這兩圓的位置關(guān)系 . 思路點撥： 欲找到 r1， r2， d 之間的關(guān)系，需將已知的 r1， r2， d 之間的二次方程，利用 分解因式法降次 . 解： (r1d+r2)(r1dr2)=0 r1+r2d=0 或 r1r2d=0 即 r1+r2=d 或 r1r2=d(r1＞ r2) ∴這兩個圓外切或內(nèi)切 . 想一想，若兩圓內(nèi)切，圓心距為 3cm，其中一個圓的半徑為 5cm，則另一個圓的半徑為_____. 提示：解這類題注意不要丟解，若設(shè)另一個圓的半徑為 rcm，列含絕對值的方程 |r5|=3為好，解得 r=8 或 r=2. 【變式 2】如圖，在直角梯形 ABCD中， AD∥ BC， AB⊥ BC， ， AD、 BC的長是方程 x220x+75=0 的兩根，以 D 為圓心， AD 長為半徑的圓，和以 C 為圓心， BC 長為半徑的圓之間有怎樣的位置關(guān)系？ 思路點撥： 問題轉(zhuǎn)化為比較 AD+BC 與 DC 之間的大小關(guān)系 . 解： x220x+75=0 解之得 x=15 或 x=5 ∵ AD＜ BC ∴由已知， AD=5， BC=15 如圖，作 DE⊥ BC 于點 E，由已知，則四邊形 ABED 是矩形， EC=BCBE=BCAD=155=10 ∴ AD+BC=DC=20 ∴這兩個圓外切 . 7．如圖，在長為 25cm，寬為 18cm的矩形 ABCD 中截下一個最大的⊙ O2 后，若想在剩余 的材料中再截去一個最大的⊙ O1，試求⊙ O1 的半徑 . 思路點撥： 可設(shè)⊙ O1 的半徑為 rcm，利用已知條件，將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形 . 解： 如圖，連接 O1O2，作 O1E⊥ AB 于點 E， O2F⊥ AB 于點 F， O1G⊥ O2F 于點 G，則四邊形 O1EFG 是矩形 . ∵⊙ O2與矩形 ABCD 的三邊相切， BC=18cm ∴ r2=O2F=FB=9cm 又∵⊙ O1與 AD、 AB 邊相切； ∴ r1=O1E=AE 設(shè) r1=xcm，則 O1G=EF=AB(AE+FB)=(16x)cm ∵⊙ O1與⊙ O2外切， ∴ O1O2=r1+r2=(x+9)cm 在 Rt△ O1GO2中， ∴ (x+9)2(x9)2=(16x)2 整理得 x268x+256=0 解之得 x=64 或 x=4 又∵ r＜ 9，∴只有 x=4 答：⊙ O1的半徑為 4cm. 舉一反三： 【變式 1】如圖，要想在半徑為 R 的圓鐵片內(nèi)剪下四個相等的圓片，那么其半徑 r的最大值是多少？ 思路點撥： 欲使四個相等的圓片最大，只要使這相鄰小圓片分別兩兩外切，且都內(nèi)切于已知圓 . AC=2(Rr)， AB=2r ∵△ ABC 是等腰直角三角形 答： r 的最大值為 . 想一想，若還要在剩下的空余剪下五個小圓 (如圖 )，半徑最大值是多少？ 提示： 2r 小 =AC2r=(2R2r)2r=2R4r . 【變式 2】已知：如圖所示，半圓 O的直徑為 2R，分別以 AO、 OB 為直徑在半圓 O 內(nèi)分別作半圓 C 和半圓 F，若⊙ D 與⊙ O 內(nèi)切，且分別與⊙ C、⊙ F 外切，試求⊙ D 的半徑 r. 思路點撥： 仍需要依據(jù)各圓之間的位置關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形 . 解： 如圖，過 D 點作半徑 OE，則 E 為⊙ D 與⊙ O 的切點，分別連接 CD、 FD，則 ∵ DC=DF， CO=OF，∴ OD⊥ CF ∴ CO2+OD2=CD2 即 整理得 R2=3Rr . 8．已知：如圖，兩圓相交于 A、 B 點，割線 BEF與割線 ACD 互相平行，試比較線段 EF 與 CD 的大小，并證明 . 解： EF=CD，理由如下： 如圖，分別連接 AB， FC， ED ∵ FE∥ CD，∴欲證 EF=CD，只要證四邊形 EDCF 是平行四邊形，即證 FC∥ ED 對于左邊大圓，∵∠ F 與∠ BAC 所對的弧是 ， ∴∠ F=∠ BAC 對于右邊小圓，∵∠ DEB 與∠ BAD 所對的弧是 ∴∠ BED=∠ BAD ∴∠ F=∠ BED ∴ FC∥ ED 又∵ FB∥ AD，即 FE∥ CD ∴四邊形 EDFC 是平行四邊形 ∴ EF=CD. 學(xué)習(xí)成果測評 基礎(chǔ)達標(biāo) 一、選擇題 1．已知⊙ O的半徑為 3， A為線段 PO的中點，則當(dāng) OP=6 時，點 A與⊙ O 的位置關(guān)系為 ( ) 2．三角形外接圓的圓心是 ( ) 3．下列說法：①三點確定一個圓；②一個三角形有且只有一個外接圓； ③一個圓有且只有一個內(nèi)接三 角形；④三角形的外心是各邊垂直平分線的交點；⑤三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑥等 腰三角形的外心一定在這個三角形內(nèi)，其中正確的個 數(shù)有 ( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 4．下列說法正確的是 ( ) A．與圓有公共點的直線是圓的切線． B．和圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線； C．垂直于圓的半徑的直線是圓的切線； D．過圓的半徑的外端的直線是圓的切線 5．已知如圖所示，等邊△ ABC 的邊長為 2 cm，下列以 A 為圓心的各圓中， 半徑是 3cm 的圓是 ( ) 6．已知兩圓的半徑分別為 3 和 5，圓心距為 7，則這兩圓的位置關(guān)系是 ( ) 7．⊙ O的半徑為 6，⊙ O 的一條弦 AB 長為 3 ，以 3 為半徑的同心圓與直線 AB 的位置關(guān)系是 ( ) 8．如圖所示，⊙ O 的外切梯形 ABCD 中，如果 AD∥ BC，那么∠ DOC 的度數(shù)為 ( ) 176。 176。 176。 176。 9． I 為△ ABC 的內(nèi)心，如果∠ ABC+∠ ACB=100176。，那么∠ BIC 等于 ( ) 176。 176。 176。 176。 10．如圖， PA、 PB 分別切圓 O 于 A、 B 兩點， C 為劣弧 AB 上一點，∠ APB=30176。，則∠ ACB=( ) A． 60176。 B． 75176。 C． 105176。 D． 120176。 二、填空題 11．經(jīng)過一點 P 可以作 _______個圓；經(jīng)過兩點 P、 Q 可以作 ________ 個圓， 圓心在_________上；經(jīng)過 不在同一直線上的三個點可以作 ________個圓， 圓心是 ________的交點． 12．一個圓 的直徑是 6cm，到圓心的距離是 4cm 的一點 A在圓 ________. 13．如圖所示， O 為△ ABC 的外心，若∠ BAC=70176。，則∠ OBC=________. 14．如圖， P 為⊙ O外一點， PA、 PB為⊙ O的切線， A、 B 為切點，弦 AB 與 PO交于C，⊙ O 半徑為 1， PO=2，則 PA=_______ ， PB=________ ， PC=_______， AC=______ ， BC=______，∠AOB=________． 15．如圖所示， PA 與 PB分別切⊙ O 于 A、 B 兩點， C是 上任意一點，過 C 作⊙ O的切線，交 PA 及 PB于 D、 E 兩點，若 PA=PB=5cm，則△ PDE 的周長是 _______cm. 16．如圖所示，△ ABC的內(nèi)切圓⊙ O 切 AC、 AB、 BC 分別為 D、 E、 F，若 AB=9， AC=7， CD=2，則 BC=______. 17．如圖所示，兩圓⊙ O1 與⊙ O2相交于 A、 B 兩點，則 O1O2 所在的直線是公共弦 AB的 ________．