【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 生物學(xué)中應(yīng)用形態(tài)學(xué)對(duì)細(xì)胞進(jìn)行檢測(cè)、研究心臟的運(yùn)動(dòng)過程及對(duì)脊椎骨骼圖像進(jìn)行自動(dòng)數(shù)量描述；在工業(yè)控制領(lǐng)域應(yīng)用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)進(jìn)行食品檢驗(yàn)（碎米）和電子線路特征分析；在交通管制汽車的運(yùn)動(dòng) 情況等等。另 10 外，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 在金相學(xué)、指紋檢測(cè)、經(jīng)濟(jì)地理、合成音樂和斷層 X 光照像等領(lǐng)域也有良好的應(yīng)用前景。 形態(tài)學(xué)的理論基礎(chǔ)是集合論。在圖像處理中形態(tài)學(xué)的集合（ Set） 代表著黑白和灰度圖像的形狀，如黑白二值圖像中所有黑色象素點(diǎn)（ Pixel）的集合組成了此圖像的完全描述。在一個(gè)集合中，將進(jìn)行形態(tài)變換的象素點(diǎn)是被選擇的集合 X，而此集合的補(bǔ) Xc 是沒有被選擇的集合。通常被選擇的集合是圖像的前景（ Foreground ），而未被選擇的集合是圖像的背景（ Background）。 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本符號(hào)和 術(shù)語 由于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是建立在集合論的基礎(chǔ)之上的，所以在了解數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的算法之前，應(yīng)該先了解一下一些集合論和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中的符號(hào)和術(shù)語。 1. 元素和集合 在數(shù)字圖像處理的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算中，我們把一副圖像稱為一個(gè)集合。對(duì)于二值圖像而言，習(xí)慣上認(rèn)為取值為 1的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于景物中心，而取值為 0的點(diǎn)構(gòu)成背景。這類圖像的集合是直接表示的?？紤]所有 1值的點(diǎn)的集合（ A），則 A與圖像是一一對(duì)應(yīng)的。 對(duì)于一副圖像 A，如果點(diǎn) a在 A的區(qū)域以內(nèi)，那么就說 a 是 A 的元素，記作 a ∈ A， 否則記做 a A。 a∈ A,b A 對(duì)于兩幅圖像 A和 B，如果對(duì) B中的每一點(diǎn) b， b∈ B 都有 b∈ A，那么稱B包含于 A， 記作 B A。 B A 11 根據(jù)定義可以知道，如果 B A，那么必有 B A； A A恒成立。 2． 交集、并集和 補(bǔ)集 兩個(gè)圖像集合 A 和 B 的共同點(diǎn)組成的集合稱為兩個(gè)集合的交集，記為A∩ B，即 A∩ B＝ {a|a∈ A且 a∈ B} 兩個(gè)集合 A和 B的 公共元素組成的集合稱為兩個(gè)集合的并集，記為 A B，即 A B＝ {a|a∈ A或 a∈ B} 對(duì)一副圖像 A，在圖像 A 區(qū)域以外的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為 A 的補(bǔ)集，記為 Ac，即 Ac＝ {a|a A} 3． 擊中 (Hit)與擊不中 (Miss) 設(shè)有兩幅圖 像 A和 B， A∩ B Ф ，那么稱 B 擊中 A，記作 A↑ B， 其中 Ф是空集符號(hào)。 否則如果 A∩ B＝ Ф ，那 么稱 B擊不中 A，如圖所示。 B 擊中 A B 擊不中 A 4．平移 設(shè)有一幅圖 像 B，有一個(gè)點(diǎn) a(x0,y0)，將 B 平移 a后的結(jié)果是，把 B中所有元素的橫坐標(biāo)加 x0，縱坐標(biāo)加 y0，即 ： 令 (x， y)變成 (x+x0， y+y0)，所有這些點(diǎn)構(gòu)成的新的集合稱為 B的平移，記作 Ba，如圖所示： 12 5． 對(duì)稱集 設(shè)有一副圖像 B，將 B中所有元素的坐標(biāo)取反，即令 (x,y)變成 (x， y)，所有 這些點(diǎn)構(gòu)成的新的集合稱為 B的對(duì)稱集，記作 BV ，如圖所示 ： 6．結(jié)構(gòu)元素（ structure element） 為了確定一幅圖像的結(jié)構(gòu) ,必須逐個(gè)地試探圖像各部分結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系 ,并進(jìn)行檢驗(yàn) 、 識(shí)別最后 ,將得到一個(gè)各部分之間關(guān)系的集合 。 在考察圖像各部分之間的關(guān)系時(shí) ,需要設(shè)計(jì)一種收集圖像結(jié)構(gòu)信息的 “ 探針 ” ,稱為結(jié)構(gòu)元素 。 在圖形中不斷移動(dòng)結(jié)構(gòu)元素 ， 便可以考察各個(gè)部分之間的關(guān)系 。 在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中 ,結(jié)構(gòu)元素是最重要 、 最基本的概念 。 結(jié)構(gòu)元素通常都是一些比較小的圖象。 二值形態(tài)學(xué) 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)（也稱圖像代數(shù)）是以形態(tài)為基礎(chǔ)對(duì)圖像進(jìn)行分析的數(shù)學(xué)工具。其基本思想是用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素（ structure element）為工具去度量和提取圖像中的對(duì)應(yīng)形狀特征，以達(dá)到對(duì)圖像分析和識(shí)別的目的；主要內(nèi)容是設(shè)計(jì)一整套概念 、變換和算法，用來描述圖像的基本特征和基本結(jié)構(gòu)，也就是描述圖像中元素與元素、部分與部分間的關(guān)系。它的應(yīng)用可以簡(jiǎn)化圖像數(shù)據(jù)，保持其基本形狀特征，并除去不相干的結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)作為一種用于數(shù)字圖像處理和識(shí)別的新理論、新方法，理論雖然復(fù)雜，但基本思想?yún)s簡(jiǎn)單而完美。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子的性能主要以幾何方式進(jìn)行刻畫，而幾何描述的特點(diǎn)更適合視覺信息的處理和分析其基本思想如下所示 : 13 輸入原始圖像 膨脹、腐蝕、開、閉等集合運(yùn)算 輸出圖像 結(jié)構(gòu)元素 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本方法 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算有 4個(gè)：膨脹（擴(kuò)張 [Dilation]或結(jié)構(gòu)和）、腐蝕（侵蝕 [Erosion]或結(jié)構(gòu)差）、開啟（ Opening或結(jié)構(gòu)開）和閉合（ Closing結(jié)構(gòu)閉）。它們?cè)诙祱D像和灰度（多值）圖像中各有特點(diǎn)。基于這些基本運(yùn)算還可以推導(dǎo)和組合成各種數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)實(shí)用算法。 腐蝕（ Erosion） 把結(jié)構(gòu)元素 B 平移 a后得到 Ba，若 Ba 包含于 X，我們記下這個(gè) a 點(diǎn)，所有滿足上 述條件的 a 點(diǎn)組成的集合稱 作 X被 B腐蝕的結(jié)果。用公式表示為： E(X)={a| Ba 包含與 X}=XθB ，如下 圖所示： 圖 8. 腐蝕的示意圖 上圖中 X 是被處理的對(duì)象， B 是結(jié)構(gòu)元素，不難知道，對(duì)于任意一個(gè)在陰影部分的點(diǎn) a， Ba 包含于 X，所以 X被 B腐蝕的結(jié)果就是那個(gè)陰影部分。陰影部分在 X的范圍之內(nèi)，且比 X小，就 像 X 被剝掉 了一層似的，這就是為什么叫腐蝕 14 的原因。值得注意的是，上面的 B是對(duì)稱的，即 B的對(duì)稱集 Bv =B，所以 X 被 B腐蝕的結(jié)果和 X被 Bv 腐蝕的結(jié)果是一樣的。 但是， 如果 B不是對(duì)稱的 話 ， 結(jié)果會(huì)怎么樣？通過 看看下面這幅圖，就會(huì)發(fā)現(xiàn) X被 B腐蝕的結(jié)果和 X 被 Bv 腐蝕的結(jié)果不同。 圖 9. 結(jié)構(gòu)元素非對(duì)稱時(shí)，腐蝕的結(jié)果不同 上面的兩幅 圖都是示意圖， 下面 看看實(shí)際中是怎樣進(jìn)行腐蝕運(yùn)算的。 圖 10. 腐蝕運(yùn)算 上面那幅圖中，左邊是被處理的圖 像 X（二值圖象，針對(duì)的是黑點(diǎn)），中間是結(jié)構(gòu)元素 B，那個(gè)標(biāo)有 origin 的點(diǎn)是中心點(diǎn)，即當(dāng)前處理元素的位置，腐蝕的方法 就 是 ： 拿 B的中心點(diǎn)和 X上的點(diǎn)一個(gè)一個(gè)地對(duì)，如果 B 上的所有 的 點(diǎn)都在X的范圍 之 內(nèi)，則該點(diǎn) 給予 保留，否則 ，就 將該點(diǎn)去掉。右邊是腐蝕后的結(jié)果，可以看出，它仍在原來 X的范圍內(nèi)，且比 X 包含的點(diǎn)要少，就 像 X 被腐蝕掉了一層。 下圖 11為原圖，圖 12 為腐蝕后的結(jié)果圖，能夠很明顯的看出腐蝕的效果 。 15 圖 11原圖 圖 12腐蝕后的結(jié)果圖 膨脹（ dilation） 膨脹可以看 作 是腐蝕的對(duì)偶運(yùn)算，其定義是：把結(jié)構(gòu)元素 B 平移 a 后得到Ba，若 Ba 擊中 X， 則 記下這個(gè) a點(diǎn)，所有滿足上述條件的 a點(diǎn)組成的集合稱 為 X被 B 膨脹的結(jié)果。用公式表示為： D(X)={a| Ba↑X}=X ⊕ B，如下圖所示： 圖 13. 膨脹的示意圖 上圖中 X 是被處理的對(duì)象， B 是結(jié)構(gòu)元素，不難知道，對(duì)于任意一個(gè)在陰影 16 部分的點(diǎn) a， Ba 擊中 X，所以 X被 B膨脹的結(jié)果就是那個(gè)陰影部分。陰影部分包括 X 的所有范圍，就 像 X膨脹了一圈似的，這就是為什么叫膨脹的原因。同樣，如果 B不是對(duì)稱的， X被 B膨脹的結(jié)果和 X 被 Bv 膨脹的結(jié)果不同。 下面來看一下，在實(shí)際中是怎樣進(jìn)行膨脹運(yùn)算的。 圖 14. 膨脹運(yùn)算 上面那幅圖中，左邊是被處理的圖 像 X（二值圖象，針對(duì)的是黑點(diǎn)），中間是結(jié)構(gòu)元素 B。 膨脹的方法 就 是 ： 拿 B 的中心點(diǎn)和 X 上的點(diǎn)及 X周圍的點(diǎn)一個(gè)一個(gè)地對(duì)，如果 B上有一個(gè)點(diǎn)落在 X的范圍 之 內(nèi)， 那么 該點(diǎn)就為黑。右邊是膨脹后的結(jié)果，可以看出，它包括 X的所有范圍，就 像 X膨脹了一圈似的。 圖 15 為圖 11 膨脹后的結(jié)果圖，能夠很明顯的看出膨脹的效果。 圖 15. 圖 11 膨脹后的結(jié)果圖 腐蝕運(yùn)算和膨脹運(yùn)算互為對(duì)偶的，用公式表示為（ XθB ） c =（ Xc ⊕ B），即X 被 B腐蝕后的補(bǔ)集等于 X 的補(bǔ)集被 B膨脹。這句話可以形象的理解為：河岸的補(bǔ)集為河面，河岸的腐蝕等價(jià)于河面的膨脹。 開（ open）運(yùn)算 先腐蝕后膨脹稱為開，即 OPEN(X)=D(E(X)) 17 看一個(gè)開運(yùn)算的例子： 圖 16. 開運(yùn)算 圖 16 中，上面的兩幅圖中左邊是被處理的圖 像 X（二值圖 像 ，針對(duì)的是黑點(diǎn)），右邊是結(jié)構(gòu)元素 B，下面的兩幅圖中左邊是腐蝕后的結(jié)果，右邊是在此基礎(chǔ)上膨脹的結(jié)果，可以看到，原圖經(jīng)過開運(yùn)算后，一些孤立的小點(diǎn)被去掉了。一般來說，開運(yùn)算能夠去除孤立的小點(diǎn)，毛刺和小橋（即連通兩塊區(qū)域的小點(diǎn)），而總的位置和形狀不變。這就是開運(yùn)算的作用。 同樣， 要注意的是，如果 B是非對(duì)稱的，進(jìn)行開 運(yùn)算時(shí)要用 B的對(duì)稱集 Bv 膨脹，否則，開運(yùn)算的結(jié)果和原圖相比要發(fā)生平移。 下面的兩幅圖說明了這個(gè)問題。 圖 17. 用 B膨脹后，結(jié)果向左平移了 18 圖 18. 用 Bv 膨脹后位置不變 圖 17 是用 B 膨脹的，可以看到， OPE