【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 比精確解簡(jiǎn)畢業(yè)論文 第 11 頁(yè) 共 35 頁(yè) 潔得多，便于數(shù)值計(jì)算和應(yīng)用 [6]。 畢業(yè)論文 第 12 頁(yè) 共 35 頁(yè) 3 功能梯度壓電懸臂梁的彎曲分析 問題描述 考慮如圖 1 的正交各向異性功能梯度壓電懸臂梁， 從 彈性力學(xué)的基本方程出發(fā)，利用半逆解法，假設(shè)材料的所有電彈性常數(shù)沿厚度方向按同一函數(shù)規(guī)律變化。梁長(zhǎng) ，寬 ，厚度 ，上表面受到均布載荷 ，自由端作用剪切載荷 和力矩 。 (1) 其中 是梯度函數(shù) ， 分別是彈性、壓電和介電系數(shù) , , , 是相應(yīng)的材料參數(shù)在 處的值 圖 1 功能梯度壓電懸臂梁示意圖 當(dāng)三維壓電介質(zhì)在 軸方向的尺寸較其他兩軸方向尺寸小得多，且全部載荷均勻作用在 平面內(nèi)且不沿 軸方向變化時(shí)，問題可以簡(jiǎn)化為 平面內(nèi)的平面應(yīng)力問題；而 當(dāng)三維壓電介質(zhì)在 軸方向的尺寸較其他兩軸方向尺寸大得多，且全部載荷均勻作用于 平面內(nèi)且不沿 變化時(shí)，問題可以簡(jiǎn)化為 平面內(nèi)的平面應(yīng)變問題。由于問題的相似性，本文只討論平面應(yīng)變問題。 基本方程 設(shè) wu, 是位移分量 , 是應(yīng)力分量 , , 為應(yīng)變分量， , 是電場(chǎng)分量 ，是點(diǎn)位移分量， 是電勢(shì) 則有： 畢業(yè)論文 第 13 頁(yè) 共 35 頁(yè) 電學(xué)平衡方程 (2) 力學(xué)平衡方程 (3) 本構(gòu)方程 (4) (5) 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 (6) 電場(chǎng)與電勢(shì)之間的關(guān)系 (7) 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 (8) 邊界條件 對(duì)于懸臂梁，邊界條件如 下： 力邊界條件： 在 處 (9) 畢業(yè)論文 第 14 頁(yè) 共 35 頁(yè) (10) (11) 電邊界條件 ： 在 和 處 (12) (13) 固定端位移邊界條件 ： 在 處 (14) 應(yīng)力函數(shù)法 引入艾利應(yīng)力函數(shù) ,滿足 (15) 將 (5)， (7)和 (15)式代入電平衡方程 (2)，得到 (16) 將 (4)， (7)和 (15)式代入應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 (8)，得到 (17) 彎曲應(yīng)力 主要是由彎矩產(chǎn)生的，切應(yīng)力 主要是由剪力產(chǎn)生的，而擠壓應(yīng)力 主要是由荷載 q 產(chǎn)生的，現(xiàn)因 q 為常數(shù)，可以假設(shè)僅僅是 y 的函數(shù) 即 畢業(yè)論文 第 15 頁(yè) 共 35 頁(yè) 于是有 而 假設(shè) (18) (19) 引入如下符號(hào) 畢業(yè)論文 第 16 頁(yè) 共 35 頁(yè) 將 (18)(19)代到 (16)和 (17)得到下列關(guān)系 (20) (21) (22) 其中 求解 (20)~(22)式，可以得到 和 ，由此求的出應(yīng)力函數(shù)以及電勢(shì)函數(shù)，由此可以求得應(yīng)力、應(yīng)變、電場(chǎng)和電位移為 (23) (24) 畢業(yè)論文 第 17 頁(yè) 共 35 頁(yè) (25) (26) (27) (28) (29) 畢業(yè)論文 第 18 頁(yè) 共 35 頁(yè) (30) ， (31) (32) 其中 , , , , , . 將 (26)式對(duì) 積分，得到 (33) 將 (27)式對(duì) 積分 ,得到 畢業(yè)論文 第 19 頁(yè) 共 35 頁(yè) (34) 將 (28),(33)和 (34)式代到 (6)式的第三式可求得 : (35) (36) (22)~(36)式中各系數(shù)可由邊界條件 (9)~(14)確定 ， 見附錄 算例 考 慮 一 功 能 梯 度 壓 電 懸 臂 梁 僅 受 均 布 壓 力 作 用的情況，假設(shè)梯度函數(shù)為 ， 其中 是梯度指數(shù)，在這里我們應(yīng)分別取 為 0,1,2。 在 z=0 處的材料常數(shù)為 PZT4 材料的相應(yīng)數(shù)據(jù)，如下表 表 1 PZT4 材料的物性參數(shù) 彈性模量 / 壓電常數(shù) / 介電常數(shù) / 135 300 525 下面 給出了梁的一些物理量隨坐標(biāo) z 的變化情況，由此可見，無(wú)論是功能梯度壓電梁畢業(yè)論文 第 20 頁(yè) 共 35 頁(yè) （ ）還是均質(zhì)壓電梁 ，位移 沿厚度方向幾乎不發(fā)生變化，近似為常量。所有的物理量的變化曲線與均勻壓電梁情況比都有一定偏離，而且梯度參數(shù) 越大，偏離越大。對(duì)于功能梯度壓電梁（ ）， 厚度方向呈非線性變化，而位移 沿厚度方向保持為線性分布，但在 處，當(dāng) 時(shí)， 位移 并不為零。法向應(yīng)力 和電位移分別比其他應(yīng)力和電位移小的多，實(shí)際上可以忽略。上述這些特征在建立功能梯度壓電梁的簡(jiǎn)化理論時(shí)可以考慮 。 圖 2 自由端位移 u(0,z)/m 畢業(yè)論文 第 21 頁(yè) 共 35 頁(yè) 圖 3 自由端位移 w(0,z)/m 圖 4 固定端應(yīng)力 (1,z)/Pa 畢業(yè)論文 第 22 頁(yè) 共 35 頁(yè) 圖 5 固定端應(yīng)力 (1,z)/Pa 圖 6 固定端應(yīng)力 畢業(yè)論文 第 23 頁(yè) 共 35 頁(yè) 圖 7 固定端電位移 圖 8 固定端電位移 畢業(yè)論文 第 24 頁(yè) 共 35 頁(yè) 4 全文 總結(jié) 與工作展望 總結(jié) 利用半逆解法，本文給出了功能梯度壓電材料懸臂梁二維 彎曲問題的解析解。假設(shè)所有電彈性材料常數(shù)沿厚度方向按同一函數(shù)規(guī)律變化，獲得了功能梯度壓電梁在上表面受均布?jí)毫?、自由端受集中力及集中力矩?lián)合作用問題的力電 耦 合場(chǎng) 。該解適用于 任意梯度函數(shù)分布的情況，因此可以用來(lái)作為校驗(yàn)功能梯度壓電材料梁簡(jiǎn)化理論以及近似數(shù)值方法的依據(jù)。 所采用的方法還可用于 求解其他邊界條件下的功能梯度壓電梁?jiǎn)栴}。 展望 本文研 究的主要方法采用的是半逆解法，在今后的研究過程中還可以嘗試著用 其他方法，比如：逆解法、數(shù)值分析法等等。 開展對(duì)功能梯度材料相關(guān)結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)研究，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果方面 進(jìn)一 步驗(yàn)證本文得到的一些結(jié)果 畢業(yè)論文 第 25 頁(yè) 共 35 頁(yè) 參 考 文 獻(xiàn) [1]于濤 ,仲政 .功能梯度壓電臂梁的彎曲問題分析 .中國(guó)科學(xué) G 輯， 20xx,36(5)