【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （華東）本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 3）巖石和流體均不可壓縮； 4）滲流符合線性滲流定律； 5）滲流過(guò)程是等溫的。 如果研究的是油水兩相穩(wěn)定滲 流過(guò)程，那么液體飽和度將不隨時(shí)間變化，即 0tStS wo ?????? ，得： 0PKoo ????????? ??? ? （ 220） 0PKww ????????? ??? ? （ 221） 以上兩式即為油水兩相穩(wěn)定滲流的綜合微分方程。 有限差分法 有限差分法：數(shù)值求解常微分方程或偏微分方程的方法。物理學(xué)和其他學(xué)科領(lǐng)域的許多問(wèn)題再被分析研究之后，往往可以歸結(jié)為常微分方程和偏微分方程的求解問(wèn)題。一般說(shuō)來(lái)，處理一個(gè)特定的物理問(wèn)題，除了需要知道它滿足的數(shù)學(xué)方程外，還應(yīng)當(dāng)同時(shí)知道這個(gè)問(wèn)題的定解條件，然后才能設(shè)計(jì)出行之有效的計(jì)算方法來(lái)求解。有限差分法以變量離散取值后對(duì)應(yīng)的函數(shù)值來(lái)近似微分方程中獨(dú)立變量的連續(xù)取值。 在有限差分方法中，我們放棄了微分方程中獨(dú)立變量可以取 連續(xù)值的特征，而關(guān)注獨(dú)立變量離散值后對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。但是從原則上說(shuō)，這種方法仍然可以達(dá)到任意滿意的計(jì)算精度。因?yàn)榉匠痰倪B續(xù)數(shù)值解可以通過(guò)減小獨(dú)立變量離散取值的間格，或者通過(guò)離散點(diǎn)上的函數(shù)值差值計(jì)算來(lái)近似得到。這種方法是指隨著計(jì)算機(jī)的誕生和應(yīng)用而發(fā)展起來(lái)的。其計(jì)算格式和程序的設(shè)計(jì)都比較直觀和簡(jiǎn)單，因而，它的實(shí)際應(yīng)用已經(jīng)構(gòu)成了計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算物理的重要組成部分。 有限差分法的具體操作可分為兩個(gè)部分： （ 1） 用差分代替微分方程中的微分，將連續(xù)變化的變量離散化，從而得到差分方程組的數(shù)學(xué)形式； （ 2） 求解差分方程組。 在第一 步中，我們通過(guò)所謂的網(wǎng)絡(luò)分割法，將函數(shù)定義域分成大量相鄰而不重合的子區(qū)域。通常采用的是規(guī)則的分割方式，這樣可以便于計(jì)算機(jī)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)和減少計(jì)算的復(fù)雜性。網(wǎng)路線劃分的交點(diǎn)成為節(jié)點(diǎn)。若與某個(gè)節(jié)點(diǎn) P相鄰的節(jié)點(diǎn)都是定義在場(chǎng)域內(nèi)的節(jié)中國(guó)石油大學(xué)（華東）本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 9 點(diǎn)，則 P 點(diǎn)稱為非正則節(jié)點(diǎn)。在第二步中，數(shù)值求解的關(guān)鍵就是要應(yīng)用適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，求得特定問(wèn)題在所有這些節(jié)點(diǎn)上的離散近似值。 有限差分法的差分格式： 一個(gè)函數(shù)在 x點(diǎn)上的一階和和二階微商，可以近似地用它所臨近的兩點(diǎn)上的函數(shù)值的差分來(lái)表示。如對(duì)一個(gè)單變量函數(shù) f(x)， x 為定義在區(qū)間 [a,b]的連續(xù)變量 。以步長(zhǎng)xh ?? 將 [a,b]區(qū)間離散化，我們得到一系列節(jié)點(diǎn) 1x =a, x2axx,xx 2312 ??????? hh , bhnn ???? xx 1，? ，然后求出 f(x)在這些點(diǎn)上的近似值。顯然步長(zhǎng) h 越小，近似解的精度就越好。與節(jié)點(diǎn) ix 相鄰的節(jié)點(diǎn)有 hi?x 和 hi?x ，因此在 ix 點(diǎn)可以構(gòu)造如下形式的差值： ),()( ii xfhxf ?? 節(jié)點(diǎn) ix 的一階向前差分 ),()( hxfxf ii ?? 節(jié)點(diǎn) ix 的一階向后差分 )()( hxfhxf ii ??? 節(jié)點(diǎn) ix 的一階中心差分 與 ix 點(diǎn)相鄰兩代男的泰勒展開(kāi)式可以寫為 ????????? )(!4)(!3)(2)()()( 39。39。39。39。439。39。39。339。39。239。iiiiii xfhxfhxfhxhfxfhxf （ 222） ????????? )(!4)(!3)(2)()()( 39。39。39。39。439。39。39。339。39。239。iiiiii xfhxfhxfhxhfxfhxf （ 223）（ 222） （ 223），并忽略 h的平方和更高階的項(xiàng)得到一階微分的中心差商表示： h hxfhxfxf iii 2 )()()(39。 ???? 。 （ 224） 利用（ 222）和（ 223）式我們還可以得到一階微分的向前，向后一階差商表示： h xfhxfxf iii )()()(39。 ??? ， （ 225） h hxfxfxf iii )()()(39。 ??? 。 （ 226） 將（ 222）和（ 223）式相加，忽略 h 的立方及更高階的項(xiàng)得到二階微分的中心差商表示： 239。39。 )()(2)()( h hxfxfhxfxf iiii ?????。 （ 227） 利用（ 224） ~（ 227）式，我們就可以構(gòu)造出微分方程的差分格式。這里要指出的是：在構(gòu)造差分格式時(shí)，究竟應(yīng)該選擇向前，向后還是中間差分或差商來(lái)代替微分方程中的微分或微商，應(yīng)當(dāng)根據(jù)由此得到的差分方程解的穩(wěn)定性和收斂性來(lái)考慮。同時(shí)兼顧到差分格式的 簡(jiǎn)單和求解的方便。 上述差分步驟應(yīng)用于偏微分： 中國(guó)石油大學(xué)（華東）本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 例如，對(duì)于 ),( yxff ? 的情況，拉普拉斯算符在 0 點(diǎn)作用在此函數(shù)上的值???????? ???????? ??????? 22222 y fx ff ，也可以用臨近的點(diǎn)上的函數(shù)值來(lái)表示出來(lái)。（見(jiàn)圖 ，且hhhhh ???? 4321 時(shí)） ???????? ???????????? 444422 043212 !424 y fx fhh ffffff （ 228） 圖 21 節(jié)點(diǎn) 0 及其附近節(jié)點(diǎn) 對(duì)微分方程數(shù)值求解的誤差來(lái)源： （ 1） 方法誤差（或截?cái)嗾`差）。這時(shí)由于采用的計(jì)算方法所引起的誤差。例如上面我們介紹的差商表示中，采用的泰勒展開(kāi)式展開(kāi)到第 n+1 項(xiàng)時(shí)的截?cái)嗾`差 )( 1?nhO 。具體方法的誤差階數(shù)取決于在離散化時(shí)的近似階數(shù)。因此若改進(jìn)算法就可以減少截?cái)嗾`差。 （ 2） 舍入誤差（或計(jì)算誤差）。這是由于計(jì)算機(jī)的有限字長(zhǎng)而造成數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中的表示出現(xiàn)誤差。在計(jì) 算機(jī)運(yùn)算的過(guò)程中，隨著運(yùn)算次數(shù)的增加舍入誤差會(huì)積累的很大。如果在多次運(yùn)算后，舍入誤差的精度影響是有限的，那么這個(gè)算法是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定的算法是不能用的。 中國(guó)石油大學(xué)（華東）本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 第 3 章 油水兩相滲流機(jī)理和求解 數(shù)學(xué)模型的建立 假設(shè)條件如下： （ 1） 油藏中僅存在油水兩相滲流，油水互不溶解，且各自符合達(dá)西定律； （ 2） 巖石、流體均可壓縮； （ 3） 考慮掩飾的非均質(zhì)性及各向異性； （ 4） 不考慮油水之間毛管力的影響； （ 5） 忽略重力； 這里根據(jù)數(shù)學(xué)模型的一般式，經(jīng)逐步簡(jiǎn)化，得到實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行單管模型的一維水驅(qū)油實(shí)驗(yàn)室的數(shù)學(xué)模型。 當(dāng)考慮三維 非均質(zhì)油藏，油水互不相容，可壓縮流體和巖石，考慮毛管力和重力時(shí)，數(shù)學(xué)模型的一般式為： ? ? ? ?LLLLLL rLL StqDgPKK ????? ?????????? ??? （ w,oL? ） （ 31） 簡(jiǎn)化到一維，并忽略重力項(xiàng)： ? ?LLLLL rLL StqxuKKx ???? ???????????? ???? （ w,oL? ） (32） 假設(shè)： ①不考慮掩飾的壓縮性（即 ? =常數(shù)），不考慮流體的體積變化（即 11Bo ?? wB， ）； ② 油水粘度為常數(shù)。 于是得： 水相： tSqxuKKx oovoo or ???????????? ????? ?? （ 33） 油相： tSqxuKKx oovoo or ???????????? ????? ?? （ 34） 式中，sclLlv qq ?? 為地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下單位時(shí)間內(nèi)單元體中注入（或采出）的體積流量。 中國(guó)石油大學(xué)（華東）本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 上述兩個(gè)偏微分方程中的未知量有 4個(gè)，即 w? 、 o? 、 wS 、 oS ，因此還需要寫出兩個(gè)輔助方程，即： 1ow ??SS （ 35） wocow PPP ? （ 36） 初始條件為： ? ?? ? ? ?lxSSP ??????? 00x 00xwcw ， （ 37） 邊界條件為： ? ?0tqqq|q qq|q vovwvlxv vwv0xv ??????? ???? （ 38） 上述邊界條件中，注入量產(chǎn)出量均為 vq ，表明該水驅(qū)油試驗(yàn)為穩(wěn)定驅(qū)替。上述（ 31）— （ 38）構(gòu)成了該問(wèn)題的完整的數(shù)學(xué)模型。 利用數(shù)值方法進(jìn)行求解后，可得到在不同的注入速率下，模型中任意一點(diǎn)的壓力、飽和度隨時(shí)間的分布和變化。 數(shù)學(xué)模型的求解的方法及參數(shù)處理 對(duì)以上數(shù)學(xué)模型進(jìn)行差分求解之前，這里首先對(duì)未知量的求解方法及有關(guān)參數(shù)的處理進(jìn)行說(shuō)明。 數(shù)學(xué)模型的求解方法 上述數(shù)學(xué)模型中有壓力 oP 、 wP 和飽和度 wS 、 oS 兩組未知量，本文應(yīng)用隱式壓力顯式飽和度（ IMPES）求解法進(jìn)行求解。 IMPES 方法的基本思路： （ 1）通過(guò)乘以適當(dāng)?shù)南禂?shù)，合并油方程和水方程，以消去微分方程組中的 wS 、 oS ，得到一個(gè)只含有 oS 、 wP 的方程。 （ 2）由毛管力方程 wocow PPP ? ，可得 cowow PPP ? ，帶入上面合并后的方程，得到一個(gè)只含有 oP 的方程，成為壓力方程。 （ 3）方程左端達(dá)西項(xiàng)系數(shù)上一時(shí)間段的值，同時(shí)毛管力也 用上一時(shí)間階段的值，即顯示處理系數(shù)。于是可形成一個(gè)高階現(xiàn)行代數(shù)方程組，用迭代法可以進(jìn)行求解，先求出 1no?P ，然后得 nc1no1nw PPP ?? ? 。 （ 4） 將 1nw?P 帶入水相方程，用顯式方法求出 1nw?S ，然后得 1nw1no 1 ?? ? SS 。 中國(guó)石油大學(xué)（華東）本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 13 IMPES 方法具有所占內(nèi)存小、計(jì)算工作量小、方法簡(jiǎn)便等優(yōu)點(diǎn)。但該方法存在兩個(gè)問(wèn)題：第一、達(dá)西項(xiàng)的系數(shù)處理是顯式的，因此對(duì)如錐進(jìn)的問(wèn)題，由于井底周圍流速較高，壓差變化大，而存在較大的誤差，對(duì)于強(qiáng)非線性問(wèn)題的適應(yīng)性也差；第二、飽和度的計(jì)算是隱式的，當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng) t? 較大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)解的不穩(wěn)定性。因此， IMPES 方法只適用于一般的弱非線性滲流的問(wèn)題，對(duì)于某些非線性滲流的問(wèn)題如注氣、 氣錐或水錐等問(wèn)題，IMPES 方法無(wú)能為力，即使時(shí)間步長(zhǎng)取得很小，仍會(huì)出現(xiàn)解的震蕩或算出的壓力和飽和度為負(fù)值的情況，以致模擬計(jì)算無(wú)法正常進(jìn)行。 參數(shù)處理 在用有限差分對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解時(shí)，首先要將連續(xù)的油藏問(wèn)題離散化為網(wǎng)格單元，然后對(duì)每一個(gè)網(wǎng)格單元，讀入包括深度、有效厚度、孔隙度、滲透率、飽和度等基本參數(shù)。所有給定的這些參數(shù)都是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處的值，在兩個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)中間處的參數(shù)值是未知的，因此需要進(jìn)行相應(yīng)的處理。 （ 1）滲透率 K 的取值 滲透率 K是空間函數(shù)，其取值由以下幾種方法： 算數(shù)平均： 2 12/1 ?? ?? iii KKK （ 39） 加權(quán)平均： 1ii1i1iii2/1i xx xKxKK???? ??? ?? ?? （ 310） 調(diào)和平均： 11i1i2/1 /x/x xx???? ??? ????iiiii