【文章內(nèi)容簡介】 83。AC=ABCD(1)而∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AC=BCAD(2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=ABCD+ADBC又因?yàn)锽E+ED≥BD（僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號(hào)成立，即“托勒密定理”）所以命題得證復(fù)數(shù)證明用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(ab)、(cd)、(ad)、(bc)、(ac)、(bd)。首先注意到復(fù)數(shù)恒等式：(a ? b)(c ? d)+(a ? d)(b ? c)=(a ? c)(b ? d)，兩邊取模，運(yùn)用三角不等式得。等號(hào)成立的條件是(ab)(cd)與(ad)(bc)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。四點(diǎn)不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一點(diǎn)K，使得∠ABK = ∠CBD； 因?yàn)椤螦BK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AKBD = ABCD，且CKBD = BCDA； 兩式相加，得(AK+CK)BD = ABCD + BCDA； 但AK+CK = AC，因此ACBD = ABCD + BCDA。證畢。三、托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：ACBD＝ABCD＋ADBC．證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=ABCD＋ADBC．即ACBD=ABCD＋ADBC．推論，必有ACBD≤ABCD+ADBC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓、推廣托勒密不等式：四邊形的任兩組對(duì)邊乘積不小于另外一組對(duì)邊的乘積，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。簡單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(ab)(cd)+(ad)(bc)=(ac)(bd)，兩邊取模，得不等式ACBD≤|(ab)(cd)|+|(bc)(ad)|=ABCD+BCAD注意：(ab)(cd)與(ad)(bc)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標(biāo)有B、C兩點(diǎn)，則ADBC+ABCD=ACBD塞瓦定理簡介塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的《直線論》一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重新發(fā)現(xiàn)。具體內(nèi)容塞瓦定理在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1證法簡介（Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明：∵△ADC被直線BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①而由△ABD被直線COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②247。①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1（Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABDS△BOD)/(S△ACDS△COD)=S△AOB/S△AOC ③同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤③④⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn):設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)?？捎萌叨ɡ碜C明的其他定理。三角形三條中線交于一點(diǎn)（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點(diǎn) 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1且因?yàn)锳F=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三條中線交于一點(diǎn)此外，可用定比分點(diǎn)來定義塞瓦定理：在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)的充要條件是λμν=1。（注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是λμν=1）塞瓦定理推論△ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對(duì)邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1因?yàn)?BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是：(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1由正弦定理及三角形面積公式易證，對(duì)于圓周上順次6點(diǎn)A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對(duì)圓周角關(guān)系易證。設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定 理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。梅涅勞斯定理梅涅勞斯定理證明梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1?；颍涸O(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=證明一：過點(diǎn)A作AG∥BC交DF的延長線于G，則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1證明二：過點(diǎn)C作CP∥DF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。梅涅勞斯(Menelaus)定理