【正文】 。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。那么這四點共圓）反證法證明現(xiàn)就“若平面上四點連成四邊形的對角互補。角CBE=角ADE（外角等于內(nèi)對角）△ABP∽△DCP（三個內(nèi)角對應(yīng)相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）四點共圓的圖片EB*EA=EC*ED（割線定理）EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理）（切割線定理，割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）證明四點共圓的原理四點共圓證明四點共圓基本方法：方法1把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓．方法2把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點共圓．四點共圓的判定是以四點共圓的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行證明的。）方法3把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點共圓．方法4把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理)方法5證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點共圓的問題時，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明．判定與性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角和為π,并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。四點共圓有三個性質(zhì)：（1）同弧所對的圓周角相等（2）圓內(nèi)接四邊形的對角互補（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角 以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時我們也看到了問題4與問題問題2的內(nèi)在聯(lián)系。以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用．問題4自圓外一點 向圓引割線交圓于、兩點，又作切線、為切點，與 相交于，如圖８．求證、成調(diào)和數(shù)列，即證：設(shè)圓的方程為⑤點 的坐標(biāo)為，的參數(shù)方程為⑥⑦其中 是 的傾斜角，表示直線上的點 與 的距離．⑥⑦代入⑤得即、是它的兩個根，由韋達(dá)定理⑧另一方面，直線 是圓的切點弦，利用前邊的結(jié)論，的方程為⑦⑧代入得因此，這個方程的根 滿足⑨綜合⑧⑨，結(jié)論成立。在上面證明的過程中，我們以P為原點，這樣可以使問題簡化。當(dāng)P在圓外時，這就是自P向圓所引切線（長）的平方。圓①也可以寫成x^2+y^22xOx2yOy+xO^2+yO^2a=0①′其中a為圓的半徑的平方。由韋達(dá)定理t1t2=(xO^2+yO^2^2)/(k1^2+k2^2)于是PAPB為定值（圓冪定理）。PC=PAPD證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項幾何語言：∵PT切⊙O于點T，PBA是⊙O的割線∴PT^2=PAPB=PCPB=PC證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A=∠D，∠C=∠B。PB等于圓冪的絕對值。這個值稱為點P到圓O的冪。PD=(POr)PD。則PAPD。統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點P引兩條直線LL2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PAPB=PC切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。定義圓冪=PO^2R^2|所以圓內(nèi)的點的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點的冪為正數(shù)，圓上的點的冪為零。三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。則O是,確定九點圓的中點三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點共圓，有∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠、M、N三點共線。④ 即F、D、當(dāng)F、D、E共線時，由④→②→③→①可見A、B、P、： 如圖，若L、M、N三點共線，連結(jié)BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分別四點共圓，有∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠、B、P、C四點共圓。證明證明一： △ABC外接圓上有點P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的補角）且∠PDE=∠PCE② 而∠ACP+∠PCE=180176。（3）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關(guān)。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式，不會再寫錯或是記不住吧。不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個典型的公式給我們看看。而在C點和F點，既會有三項的公式，也會有四項的公式。值得注意的是，有些公式中包含了四項因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項。從A出發(fā)還有最后一個方案：方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫出公式：（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。從A點出發(fā)的旅游方案還有：方案 ② ——可以簡記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式：（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。按照這個方案，可以寫出關(guān)系式：（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。另外還有一個要求，就是同一直線上的三個景點，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點。只“路過”而不停留觀賞的景點，不能算是“游歷”。我們換乘汽車沿公路去每一個景點游玩，最后回到出發(fā)點，直升機就停在那里等待我們回去。(O不與點A、B、C重合)記憶ABC為三個頂點，DEF為三個分點(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）=1空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1實際應(yīng)用為了說明問題，并給大家一個深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個旅游景點，各景點之間有公路相連。于是L、M、N三點共線的充要條件是λμν=1。（S△BDF：S△CDF）（S△BEF：S△CEF）（BE：EC）所以(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1證明四：連接BF。CF：FA=CC39。BE：EC=BB39。所以AD：DB=AA39。BB39。利用這個逆定理，可以判斷三點共線?；颍涸O(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=證明一：過點A作AG∥BC交DF的延長線于G，則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。梅涅勞斯定理梅涅勞斯定理證明梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。（注