【正文】 sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1即圖中的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積該形式的梅涅勞斯定理也很實(shí)用第二角元形式的梅涅勞斯定理在平面上任取一點(diǎn)O，且EDF共線，則（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。我們乘直升機(jī)飛到這些景點(diǎn)的上空，然后選擇其中的任意一個(gè)景點(diǎn)降落。我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點(diǎn)。例如直升機(jī)降落在A點(diǎn)，我們從A點(diǎn)出發(fā)，“游歷”了其它五個(gè)字母所代表的景點(diǎn)后，最終還要回到出發(fā)點(diǎn)A。從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說(shuō)明：方案 ① ——從A經(jīng)過(guò)B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經(jīng)過(guò)B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E經(jīng)過(guò)C（不停留）回到出發(fā)點(diǎn)A?，F(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫(xiě)“梅涅勞斯定理”的公式了吧。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有：方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫(xiě)出公式：（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。我們的直升機(jī)還可以選擇在B、C、D、E、F任一點(diǎn)降落，因此就有了圖中的另外一些公式。當(dāng)直升機(jī)降落在B點(diǎn)時(shí)，就會(huì)有四項(xiàng)因式。公式為四項(xiàng)時(shí)，有的景點(diǎn)會(huì)游覽了兩次。還可以從逆時(shí)針來(lái)看，從第一個(gè)頂點(diǎn)到逆時(shí)針的第一個(gè)交點(diǎn)比上到下一個(gè)頂點(diǎn)的距離，以此類(lèi)推，可得到三個(gè)比例，我們對(duì)梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。西姆松定理西姆松定理圖示西姆松定理是一個(gè)幾何定理。（此線常稱(chēng)為西姆松線）。西姆松定理說(shuō)明相關(guān)的結(jié)果有：（1）稱(chēng)三角形的垂心為H。（2）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。（4）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。③ ∴∠FDP+∠PDE=180176。若A、B、P、C四點(diǎn)共圓，則∠PBN = ∠PCM。相關(guān)性質(zhì)的證明連AH延長(zhǎng)線交圓于G，連PG交西姆松線與R,BC于Q如圖連其他相關(guān)線段AH⊥BC,PF⊥BC==AG//PF==∠1=∠2==∠2=∠3PE⊥AC,PF⊥BC====∠3=∠4==∠1=∠4PF⊥BC==PR=RQBH⊥AC,AH⊥BC==∠5=∠6==∠6=∠7==∠5=∠7AG⊥BC==BC垂直平分GH==∠8=∠2=∠4∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==∠9=∠10==HQ//DF==PM=MH第二個(gè)問(wèn)，平分點(diǎn)在九點(diǎn)圓上，如圖：設(shè)O,G,H 分別為三角形ABC的外心，重心和垂心。那么三角形XYZ的外心 O1，也在同一直線上，并且HG/GO=GO/GO1=2，所以O(shè)1是OH的中點(diǎn)。兩個(gè)圓的圓心都在OH上，并且兩圓半徑比為1:2所以G是三角形ABC外接圓和三角形XYZ外接圓(九點(diǎn)圓)的“反”位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的兩邊),H 是“正”位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的同一邊)...所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點(diǎn)必在三角形DEF的外接圓上....圓冪定理圓冪定理圓冪定理是對(duì)相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PAPD。PB=PC進(jìn)一步升華（推論）過(guò)任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過(guò)圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。PB=PC若圓半徑為r，則PC(PO+r)=PO^2r^2=|PO^2r^2|（要加絕對(duì)值，原因見(jiàn)下）為定值。（事實(shí)上所有的過(guò)P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值）若點(diǎn)P在圓內(nèi)，類(lèi)似可得定值為r^2PO^2=|PO^2r^2|故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過(guò)這一點(diǎn)引任意直線交圓于A、B，那么PA（這就是“圓冪”的由來(lái)）證明圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理）問(wèn)題1相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的乘積相等?！唷鱌AC∽△PDB，∴PA:PD=PC:PB，PAPD問(wèn)題2割線定理： 則有 PAPD，當(dāng)PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時(shí)得到切線定理PA^2=PCPB（切割線定理）推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等幾何語(yǔ)言：∵PBA、PDC是⊙O的割線∴PDPB（切割線定理推論）問(wèn)題3過(guò)點(diǎn)P任作直線交定圓于兩點(diǎn)A、B，證明PA證：以P為原點(diǎn)，設(shè)圓的方程為(xxO)^2+(yyO)^2=a①過(guò)P的直線為x=k1ty=k2t則A、B的橫坐標(biāo)是方程(k1txO)^2+(k2tyO)^2=r^2即(k1^2+k2^2)t^22(k1xO+k2yO)t+xO^2+yO^2r^2=0的兩個(gè)根tt2。PB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2)=(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2|=k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2r^2)/(k1^2+k2^2)|=|(xO^2+yO^2r^2)|為定值，證畢。所說(shuō)的定值也就是（原點(diǎn)）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。這定值稱(chēng)為點(diǎn)P到這圓的冪。如果給定點(diǎn)O，未必是原點(diǎn)，要求出P關(guān)于圓①的冪（即OP^2r^2），我們可以設(shè)直線AB的方程為②③是 的傾斜角，表示直線上的點(diǎn)與 的距離．將②③代入①得即，是它的兩個(gè)根，所以由韋達(dá)定理④是定值④是 關(guān)于①的冪（當(dāng) 是原點(diǎn)時(shí)，這個(gè)值就是）．它也可以寫(xiě)成④′即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方．當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，冪值是負(fù)值；P在圓上時(shí)，冪為0；P在圓外時(shí)，冪為正值，這時(shí)冪就是自P向圓所引切線長(zhǎng)的平方?？梢宰C明，當(dāng) 在圓內(nèi)時(shí)，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓圖釋如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱(chēng)這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱(chēng)為“四點(diǎn)共圓”。四點(diǎn)共圓證明四點(diǎn)共圓的基本方法證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法：方法1從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．方法2把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。如四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長(zhǎng)AB和DC交至E，過(guò)點(diǎn)E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所對(duì)的圓周角相等）。四點(diǎn)共圓的定理：四點(diǎn)共圓的判定定理：方法1 把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（可以說(shuō)成：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那末這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓）方法2 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．（可以說(shuō)成：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角。那末這四點(diǎn)共圓”證明如下（其它畫(huà)個(gè)證明圖如后）已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=π求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓（A，B，C，D四點(diǎn)共圓）證明：用反證法過(guò)A，B，D作圓O，假設(shè)C不在圓O上，剛C在圓外或圓內(nèi)，若C在圓外，設(shè)BC交圓O于C’，連結(jié)DC’，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+∠DC’B=π，∵∠A+∠C=π ∴∠DC’B=∠C這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外?！郈在圓O上，也即A，B，C，D四點(diǎn)共圓