【正文】 上順次6點(diǎn)A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長(zhǎng)與所對(duì)圓周角關(guān)系易證?；颍涸O(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=證明一：過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC交DF的延長(zhǎng)線于G，則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。BB39。BE：EC=BB39。所以(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1證明四：連接BF。（S△BEF：S△CEF）于是L、M、N三點(diǎn)共線的充要條件是λμν=1。我們換乘汽車沿公路去每一個(gè)景點(diǎn)游玩，最后回到出發(fā)點(diǎn)，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。另外還有一個(gè)要求，就是同一直線上的三個(gè)景點(diǎn)，必須連續(xù)游過(guò)之后，才能變更到其它直線上的景點(diǎn)。從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有：方案 ② ——可以簡(jiǎn)記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式：（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。值得注意的是，有些公式中包含了四項(xiàng)因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項(xiàng)。不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個(gè)典型的公式給我們看看。表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。證明證明一： △ABC外接圓上有點(diǎn)P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的補(bǔ)角）且∠PDE=∠PCE② 而∠ACP+∠PCE=180176。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓，有∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠、M、N三點(diǎn)共線。三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。統(tǒng)一歸納：過(guò)任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線LL2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA則PAPD=(POr)PB等于圓冪的絕對(duì)值。PB=PCPD證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)幾何語(yǔ)言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線∴PT^2=PAPB為定值（圓冪定理）。圓①也可以寫成x^2+y^22xOx2yOy+xO^2+yO^2a=0①′其中a為圓的半徑的平方。在上面證明的過(guò)程中，我們以P為原點(diǎn)，這樣可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。說(shuō)明：?jiǎn)栴}4的解決借用了問(wèn)題3的方法，同時(shí)我們也看到了問(wèn)題4與問(wèn)題問(wèn)題2的內(nèi)在聯(lián)系。）方法3把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．方法4把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理)方法5證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問(wèn)題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明．判定與性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為π,并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。那么這四點(diǎn)共圓）反證法證明現(xiàn)就“若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。角CBE=角ADE（外角等于內(nèi)對(duì)角）△ABP∽△DCP（三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）四點(diǎn)共圓的圖片EB*EA=EC*ED（割線定理）EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理）（切割線定理，割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）證明四點(diǎn)共圓的原理四點(diǎn)共圓證明四點(diǎn)共圓基本方法：方法1把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．方法2把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．四點(diǎn)共圓的判定是以四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行證明的。四點(diǎn)共圓有三個(gè)性質(zhì)：（1）同弧所對(duì)的圓周角相等（2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角 以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用．問(wèn)題4自圓外一點(diǎn) 向圓引割線交圓于、兩點(diǎn)，又作切線、為切點(diǎn)，與 相交于，如圖８．求證、成調(diào)和數(shù)列，即證：設(shè)圓的方程為⑤點(diǎn) 的坐標(biāo)為，的參數(shù)方程為⑥⑦其中 是 的傾斜角，表示直線上的點(diǎn) 與 的距離．⑥⑦代入⑤得即、是它的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理⑧另一方面，直線 是圓的切點(diǎn)弦，利用前邊的結(jié)論，的方程為⑦⑧代入得因此，這個(gè)方程的根 滿足⑨綜合⑧⑨，結(jié)論成立。當(dāng)P在圓外時(shí)，這就是自P向圓所引切線（長(zhǎng)）的平方。由韋達(dá)定理t1t2=(xO^2+yO^2^2)/(k1^2+k2^2)于是PAPC=PAPB=PC證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A=∠D，∠C=∠B。這個(gè)值稱為點(diǎn)P到圓O的冪。PD。PD。PB=PC定義圓冪=PO^2R^2|所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。則O是,確定九點(diǎn)圓的中點(diǎn)三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。④ 即F、D、當(dāng)F、D、E共線時(shí)，由④→②→③→①可見(jiàn)A、B、P、： 如圖，若L、M、N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分別四點(diǎn)共圓，有∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠、B、P、C四點(diǎn)共圓。（3）若兩個(gè)三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無(wú)關(guān)。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式，不會(huì)再寫錯(cuò)或是記不住吧。而在C點(diǎn)和F點(diǎn)，既會(huì)有三項(xiàng)的公式，也會(huì)有四項(xiàng)的公式。從A出發(fā)還有最后一個(gè)方案：方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫出公式：（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。按照這個(gè)方案，可以寫出關(guān)系式：（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。只“路過(guò)”而不停留觀賞的景點(diǎn)，不能算是“游歷”。(O不與點(diǎn)A、B、C重合)記憶ABC為三個(gè)頂點(diǎn)，DEF為三個(gè)分點(diǎn)(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）=1空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1實(shí)際應(yīng)用為了說(shuō)明問(wèn)題，并給大家一個(gè)深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個(gè)旅游景點(diǎn)，各景點(diǎn)之間有公路相連。（S△BDF：S△CDF）（BE：EC）CF：FA=