20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修四第三章3第1課時(shí)二倍角公式及其應(yīng)用練習(xí)題含答案(編輯修改稿)
2025-01-03 00:14 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 確定 A 的位置 ， 才能使裁下的鋼板符合要求？最大面積為多少？ (鏈接教材 P125例 4) [解 ] 連接 OA， 設(shè) ∠ AOP＝ α， 過(guò) A 作 AH⊥ OP， 垂足為 H， 在 Rt△ AOH中 ， OH＝ cos α ， AH＝ sin α ， 所以 BH＝ AHtan 60176。 ＝ 33 sin α ， 所以 OB＝OH－ BH＝ cos α － 33 sin α ， 設(shè)平行四邊形 ABOC的面積為 S， 則 S＝ OBAH＝ ??? ???cos α － 33 sin α sin α ＝ sin α cos α － 33 sin2α ＝ 12sin 2α － 36 (1－ cos 2α )＝ 12sin 2α ＋ 36 cos 2α － 36 ＝ 13??? ???32 sin 2α ＋ 12cos 2α － 36 ＝ 13sin?? ??2α ＋ π 6 － 36 . 由于 0απ 3 ， 所以 π 6 2α ＋ π 6 56π ， 當(dāng) 2α＋ π 6 ＝ π 2 ， 即 α＝ π 6 時(shí) ， Smax＝ 13－ 36 ＝ 36 ， 所以當(dāng) A 是 PQ︵ 的中點(diǎn)時(shí) ， 所裁鋼板的面積最大 ， 最大面積為 36 平方米． 方法歸納 解決此類實(shí)際問(wèn)題 ， 應(yīng)首先確定主變量角 α以及相關(guān)的常量與變量 ， 建立關(guān)于角 α的三角函數(shù)式 ， 再利用和 (差 )角公式或二倍角公式求解．對(duì)于求三角函數(shù)最值的問(wèn)題 ， 一般利用三角函數(shù)的有界性來(lái)解決． 3． 如圖 ， 在某點(diǎn) B 處測(cè)得建筑物 AE 的頂端 A 的仰角為 θ， 由 B 點(diǎn)到 E 點(diǎn)的方向前 進(jìn)30 m至點(diǎn) C 處 ， 測(cè)得頂端 A的仰角為 2θ， 再沿剛才的方向繼續(xù)前進(jìn) 10 3 m 到 D 點(diǎn) ， 測(cè)得頂點(diǎn) A 的仰角為 4θ， 求 θ的大小和建筑物 AE 的高． 解： 因?yàn)?∠ ACD＝ θ＋ ∠ BAC， 所以 ∠ BAC＝ θ， 所以 AC＝ BC＝ 30 m. 又因?yàn)?∠ ADE＝ 2θ＋ ∠ CAD， 所以 ∠ CAD＝ 2θ， 所以 AD＝ CD＝ 10 3 m. 在 Rt△ ADE 中 ， AE＝ ADsin 4θ ＝ 10 3sin 4θ ， 在 Rt△ ACE 中 ， AE＝ ACsin 2θ ＝ 30sin 2θ ， 所以 10 3sin 4θ ＝ 30sin 2θ ， 即 20 3sin 2θ cos 2θ ＝ 30sin 2θ ， 所以 cos 2θ ＝ 32 . 又因?yàn)?2θ∈ (0， π 2 )， 所以 2θ＝ π 6 ， 所以 θ＝ π12. 所以 AE＝ 30sinπ 6 ＝ 15(m)． 所以 θ＝ π12， 建筑物 AE 的高為 15 m. 規(guī)范解答 關(guān)于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題 (本題滿分 12 分 )已知函數(shù) f(x)＝ 4cos ω x sin?? ??ω x＋ π 4 (ω0)的最小正周期為 π . (1)求 ω的值； (2)討論 f(x)在區(qū)間 ?? ??0， π 2 上的單調(diào)性． [解 ] (1)f(x)＝ 4cos ω x sin?? ??ω x＋ π 4 ＝ 2 2sin ω x cos ω x＋ 2 2cos2ω x ＝ 2(sin 2ω x＋ cos 2ω x)＋ 2 ＝ 2sin?? ??2ω x＋ π4 ＋ 2. 4 分 因?yàn)?f(x)的最小正周期為 π ， 且 ω0， 從而有 2π2ω ＝ π ， 故 ω＝ 分 (2)由 (1)知 ， f(x)＝ 2sin?? ??2x＋ π 4 ＋ 2. 若 0≤ x≤ π 2 ， 則 π 4 ≤ 2x＋ π 4 ≤ 5π4 . 7 分 當(dāng) π 4 ≤ 2x＋ π 4 ≤ π 2 ， 即 0≤ x≤ π 8 時(shí) ， f(x)是遞增的； 9 分 當(dāng) π 2 2x＋ π 4 ≤ 5π4 ， 即 π 8 x≤ π 2 時(shí) ， f(x)是遞減的 .11 分 綜上可知 ， f(x)在區(qū)間 ?? ??0， π 8 上是遞增的 ， 在區(qū)間 ?? ??π 8 ， π 2 上是遞減的 .12 分 [規(guī)范與警示 ] (1)對(duì)于倍角公式、兩角和與差的三角公式、輔助角公式 ， 不僅要熟練正用 ， 還要逆用 ， 變形應(yīng)用．如本例中兩個(gè)關(guān)鍵步驟：即 處由 2(sin 2ω x＋ cos 2ω x)＋ 2到2sin?? ??2ω x＋ π 4 ＋ 2的變化．在 處 ， 對(duì) 2x＋ π 4 的范圍進(jìn)行判斷． (2)在判定函數(shù)單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間時(shí) ， 應(yīng)在給定區(qū)間內(nèi)求解 ， 如本例中 ?? ??0， π 2 . 1． sinπ12cos5π12 的值等于 ( ) A． － 12＋ 34 － 34 C． － 12－ 34 D． 12＋ 34 解析： 選 ＝ sinπ12sin?? ??π 2 － 5π12 ＝ sin2π12＝1－ cosπ 62 ＝1－ 322 ＝12－34 . 2． 如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底 邊長(zhǎng)的 5 倍 ， 那么它的頂角的余弦值為 ( ) A. 518 B． 34 C. 32 D． 78 解析： 選 D. 由題設(shè)易知 ， 等腰三角形的腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的 2 倍 ， 如圖所示 ， 在 △ ABC 中 ，AB＝ AC， D 為 BC 邊的中點(diǎn) ， 設(shè) ∠ BAD＝ θ， 因?yàn)?AB＝ 4BD， 所以 sin θ ＝ 14， 故 cos ∠ BAC＝ cos 2θ ＝ 1－ 2sin2θ ＝ 1－ 2 ?? ??142＝ 78. 3． 已知 α是第二象限的角 ， tan(π ＋ 2α)＝－ 43， 則 tan α ＝ ________. 解析： 由 tan(π ＋ 2α)＝－ 43， 得 tan 2α ＝－ 43， 所以 2tan α1－ tan2α ＝－ 43. 因 為 α是第二象限的角 ， 所以 tan α 0， 所以 tan α ＝－ 12. 答案： － 12 4． 銳角三角形 ABC 中 ， 若 B＝ 2A， 則 sin Bsin A的取值范圍是 ________． 解析： 因?yàn)?B 為銳角 ，所以 0Aπ 4 . 又 C 為銳角 ， 且 C＝ π － B－ A＝ π － 3A， 所以 0π － 3Aπ 2 . 所以－ π 2 3A－ π 0. 所以 π 2 3Aπ ， π 6 Aπ 4 . 所以 22cos A 3. 所以 sin Bsin A＝ sin 2Asin A ＝ 2cos A∈ ( 2， 3)． 答案： ( 2， 3) , [學(xué)生用書單獨(dú)成冊(cè) ]) [ ] 1． 已知 cos α ＝ 13， 則 cos(π － 2α)的值等于 ( )
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