初中二次函數(shù)知識點總結(jié)與練習題(編輯修改稿)
2024-12-28 01:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ( acbM 在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （ 2）已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的圖象如圖 2 所示， 則下列結(jié)論：① a、 b 同號；②當 x=1和 x=3時，函數(shù)值相等；③ 4a+b=0；④當 y=2時， x的值只能取 （ ） A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個 (1) (2) 8 【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù) a， b， c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵． 例 y=ax2+bx+c 的圖象與 x 軸交于點 (2， O)、 (x1， 0)，且 1x12，與 y 軸的正半軸的交點在點 (O， 2)的下方．下列結(jié)論： ①ab0 ； ②2a+cO ； ③4a+cO ； ④2a b+1O，其中正確結(jié)論的個數(shù)為 ( ) A 1個 B. 2個 C. 3個 D． 4個 答案： D 會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 例 ：關(guān)于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=3的一個根為 x=2，且二次函數(shù) y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點坐標為 ( ) A(2， 3) B.(2， 1) C(2， 3) D． (3， 2) 答案： C 例 （ 2020年煙臺市）如圖（單位： m），等腰三角形 ABC以 2米 /秒的速度沿直線 L向正方形移動，直到AB與 CD重合．設 x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為 ym2． （ 1）寫出 y與 x的關(guān)系式； （ 2）當 x=2， ， y分別是多少？ （ 3）當重疊部分的面積是正方形面積的一半時， 三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標 、 對稱軸 . 例 已知拋物線 y=12 x2+x52 ． （ 1）用配方法求它的頂點坐標和對稱軸． （ 2）若該拋物線與 x軸的兩個交點為 A、 B，求線段 AB的長． 【點評】本題（ 1）是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（ 2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系． 例 ：二次函數(shù) y=ax2(b+1)x3a的圖象經(jīng)過點 P(4， 10)，交 x軸于 )0,( 1xA ， )0,( 2xB 兩點 )( 21 xx ? ，交 y軸負半軸于 C點，且滿足 3AO=OB． (1)求二次函數(shù)的解析式； (2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點 M，使銳角 ∠MCO∠A CO?若存在，請你求出M點的橫坐標的取值范圍；若不存在，請你說明理由． (1)解：如圖∵拋物線交 x軸于點 A(x1， 0)， B(x2， O)， 則 x1 x2=30，又∵ x1x2， ∴ x2O， x1O，∵ 30A=OB，∴ x2=3x1． ∴ x1 x2=3x12=3．∴ x12=1. x10，∴ x1=1．∴． x2=3． ∴點 A(1， O)， P(4， 10)代入解析式得解得 a=2 b=3 ∴．二次函數(shù)的解析式為 y2x24x6． (2)存在點 M使∠ MC0∠ ACO． (2)解：點 A關(guān)于 y軸的對稱點 A’ (1， O)， ∴直線 A， C解析式為 y=6x6直線 A39。C與拋物線交點為 (0， 6)， (5， 24)． ∴符合題意的 x的范圍為 1x0或 Ox5． 當點 M的橫坐標滿足 1xO或 Ox5時，∠ MCO∠ ACO． 例 “已知函數(shù) cbxxy ??? 221 的圖象經(jīng)過點 A（ c，－ 2）， 求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是 x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。 （ 1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說明理由。 9 （ 2）請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當?shù)臈l件，把原題補充完整。 點評： 對于第（ 1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解 析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對稱軸是 x=3”當作已知來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點 A（ c，－ 2）”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第（ 2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（ 1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標，可以給出頂點的坐標或與坐標軸的一個交點的坐標等。 [解答 ] （ 1）根據(jù) cbxxy ??? 221的圖象經(jīng)過點 A（ c，－ 2），圖象的對 稱軸是 x=3，得??????????????,3212,221 2bcbcc 解得??? ??? .2 ,3cb 所以所求二次函數(shù)解析式為 .2321 2 ??? xxy 圖象如圖所示。 （ 2）在解析式中令 y=0，得 02321 2 ??? xx ，解得 .53,53 21 ???? xx 所以可以填“拋物線與 x軸的一個交點的坐標是（ 3+ )0,5 ”或“拋物線與 x軸的一個交點的坐標是).0,53( ? 令 x=3代入解析式，得 ,25??y 所以拋物線 2321 2 ??? xxy 的頂點坐標為 ),25,3( ? 所以也可以填拋物線的頂點坐標為 )25,3( ? 等等。 函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。 用二次函數(shù)解決最值問題 例 1已知邊長為 4的正方形截去一個角后 成為五邊形 ABCDE（如圖），其中 AF=2， BF=1．試在 AB上求一點P，使矩形 PNDM有最大面積． 【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的結(jié)合在一起，能很好考查學生的綜合應用能力．同時，也給學生探索解題思路留下了思維空間． 例 2 某產(chǎn)品每件成本 10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價 x（元） 與產(chǎn)品的日銷售量 y（件）之間的關(guān)系如下表： x（元） 15 20 30 ? y（件） 25 20 10 ? 若日銷售量 y是銷售價 x的一次函數(shù)． （ 1）求出日銷售量 y（件） 與銷售價 x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？ 此時每日銷售利潤是多少元？ 10 A O x y B O x y C O x y D O x y 【解析】（ 1）設此一次函數(shù)表達式為 y=kx+b．則 15 25,2 20kbkb???? ??? 解得 k=1， b=40， 即一次函數(shù)表達式為 y=x+40． （ 2）設每件產(chǎn)品的銷售價應定為 x元，所獲銷售利潤為 w元 w=（ x10）（ 40x） =x2+50x400=（ x25） 2+225． 產(chǎn)品的銷售價應定為 25元，此時每日 獲得最大銷售利潤為 225元． 【點評】解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：（ 1）設未知數(shù)在“當某某為何值時，什么最大（或最小、最?。钡脑O問中， “某某”要設為自變量，“什么”要設為函數(shù)；（ 2） 問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 例 ?平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為 4 m，距地面均為 1m，學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離 1m、2． 5 m處．繩子在甩到最高處時剛好通過他 們的頭頂．已知學生丙的身高是 1． 5 m，則學生丁的身高為 (建立的平面直角坐標系如右圖所示 ) ( ) A． 1． 5 m B． 1． 625 m C． 1． 66 m D． 1． 67 m 分析：本題考查二次函數(shù)的應用 答案： B 二．二次函數(shù)部分 1．如圖所示是二次函數(shù) 2y ax bx c? ? ? 圖象的一部分，圖象過 A
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