【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 系列。VHDL 語(yǔ)言能夠在多種 EDA 工具設(shè)計(jì)環(huán)境中運(yùn)行。 QuartusⅡ軟件包含了 FPGA 設(shè)計(jì)過程中要用到的所有功能，為了將其它 EDA軟件公司的先進(jìn)技術(shù)引入到 QuartusⅡ軟件中，使其能夠與 QuartusⅡ聯(lián)合使用，QuartusⅡ提供了與這些 EDA 工具連接的接口。如綜合工具 Synplify、仿真工具M(jìn)odelsim 等。 使用 QuartusⅡ的設(shè)計(jì)者可以不精通器件內(nèi)部結(jié)構(gòu)，可以使用自己熟悉的設(shè)計(jì)工具建立設(shè)計(jì)， QuartusⅡ把這些設(shè)計(jì)自動(dòng)轉(zhuǎn)換成最終需要的格式。 QuartusⅡ結(jié)合各種系列器件的物理結(jié)構(gòu)，提供了各種的優(yōu)化措施，可以在提高工作速度和資源利用率之間給以平衡，為多數(shù) 設(shè)計(jì)提供了解決方案。 QuartusⅡ提供了原理圖輸入、文本輸入和波形輸入等多種設(shè)計(jì)輸入，并可以把這些輸入方式任意組合使用。利用該工具所配備的編輯、編譯、仿真、綜合、芯片編程等功能，可將設(shè)計(jì)電路圖或電路描述程序變成基本的邏輯單元寫入到可編程的芯片中（如 FPGA 芯片），做成 ASIC 芯片。用戶首先對(duì)所做項(xiàng)目進(jìn)行設(shè)計(jì)，明確設(shè)計(jì)目的、設(shè)計(jì)要求；然后利用原理圖輸入方式或文本輸入方式進(jìn)行設(shè)計(jì)輸入；輸入完成后，進(jìn)行編譯，若編譯過程中發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，則檢查設(shè)計(jì)輸入，修改錯(cuò)誤，直至沒有錯(cuò)誤發(fā)生；編譯完成后，就可以進(jìn)行仿真，檢查設(shè)計(jì) 是否達(dá)到設(shè)計(jì)要求，否則的話，還需重新檢查設(shè)計(jì)輸入 。仿真結(jié)果達(dá)到要求后，就可以進(jìn)行編程，把設(shè)計(jì)程序下載到目標(biāo)文件中；最后把芯片放到實(shí)際系統(tǒng)中進(jìn)行驗(yàn)證、測(cè)試。 圖 QuartusⅡ 開發(fā) FPGA流程圖 Altera Quartus Ⅱ 設(shè)計(jì) 輸入 編譯 仿真 編程 驗(yàn)證 11 3 數(shù)字信號(hào)處理的理論基礎(chǔ) 傅立葉變換的幾種形式 傅立葉變換是信號(hào)分析和處理的有力工具，在以快速傅立葉變換算法為代表的一系列有效算法出現(xiàn)后，傅立葉變換不但在信號(hào)處理領(lǐng)域起著支柱作用，而且在其它工程領(lǐng)域也獲得了廣泛的應(yīng)用。 根據(jù)信號(hào)的連續(xù)性、離散性、周期性、非周期性，傅立葉變換可以分為四種不同的形式，形成四種不同的傅立葉變換對(duì)。 連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào) 連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào) ??xt 在頻域中得到的是連續(xù)非周期的頻譜密度函數(shù)? ?X jw ，傅立葉變換對(duì)如下： ? ? ? ? jw tX jw x t dte?? ???? ? （ 31） ? ? ? ?12 jw tx t X jw d we?????? ? （ 32） 這種類型信號(hào)的典型信號(hào)有指數(shù)衰減信號(hào)和高斯信號(hào)，這種類型信號(hào)的變換就稱為傅立葉變換。 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào) 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào) ??xt 當(dāng)滿足狄里赫利條件時(shí)在頻域中得到的 是離散非周期的傅立葉級(jí)數(shù)，傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為 ? ?X jkw ， ? ?X jkw 為離散非周期函數(shù)，??xt 和 ? ?X jkw 組成的變換對(duì)如下： ? ? ? ?221T jk w tTX jk w x t dtT e ??? ? （ 33） 離散時(shí)間非周期信號(hào) 離散時(shí)間非周期信號(hào) ??xn也稱為序列，序列的傅立葉變換對(duì)如下所示： ? ? ? ?j t jn TnX x nTee?? ? ?? ??? ? （ 34） 12 ? ? ? ?2 21 j T jn Tx nT X dee? ??????? ? （ 35） 這種信號(hào)的傅立葉變換稱為離散時(shí)間傅立葉變換 離散時(shí)間周期信號(hào) 離散時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉變換有時(shí)稱為傅立葉級(jí)數(shù)，但最常被稱為離散傅立葉變換。 離散傅立葉變換算法 聲音圖像等各種信號(hào)大都為模擬信號(hào)，要用計(jì)算機(jī)對(duì)這些信號(hào)進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理，這些信號(hào)必須通過采樣量化編碼變成有限長(zhǎng)的數(shù)字信號(hào)序列。 對(duì)于有限長(zhǎng)序列，可以得出另外一種傅立葉變換，稱為離散傅立葉變換(DFT)。離散傅立葉變換本身是一個(gè)序列，而不是一個(gè)連續(xù)變量的函數(shù)，它相應(yīng)于對(duì)信號(hào)的傅立葉變換進(jìn)行頻率的等間隔取樣的樣本。 離散傅里葉變換描述分析有限長(zhǎng)序列，其本質(zhì)是建立了以時(shí)間為自變量的信號(hào)與以頻率為自變量的頻譜函數(shù)之間的變換關(guān)系，換言之，離散傅里葉變換定義了時(shí)域與頻域之間的一種變換或者說 是映射。對(duì)于 DFT 時(shí)間和頻率變量都取離散值。 下面討論一下有限長(zhǎng)序列的離散傅立葉變換。 設(shè)有限長(zhǎng)序列 ??xn的長(zhǎng)度為 N，即可以看成是周期為 N 的周期序列。 從而有限長(zhǎng)序列的傅立葉變換定義為 正變換： ? ? ? ? ? ?10N nkNnX k D F T x n x n W???????? ? 01kN? ? ? （ 36） 反變換： ? ? ? ? ? ?101 N nkNnx n ID F T X k X kN W? ???????? ? 01nN? ? ? （ 37） 其中， 2nk jkn NNWe??? 當(dāng) DFT 的直接計(jì)算時(shí)，且 ??xn為復(fù)數(shù)的話，則計(jì)算 DFT 每一個(gè)值就需要 N 次復(fù)數(shù)乘法和 ? ?1N? 次復(fù)數(shù)加法。 N 個(gè)值總共需要 2N 次復(fù)數(shù)乘法和 ? ?1NN? 次復(fù)數(shù)加法。每個(gè)復(fù)數(shù)乘法需要 4 次實(shí)數(shù)乘法和 2 次實(shí)數(shù)加法。所以，對(duì)于每一個(gè) k值，直接計(jì)算 ??Xk就需要 4 2N 次實(shí)數(shù)乘法 和 ? ?2 2 1NN? 次實(shí)數(shù)加法。 DFT 數(shù)字13 計(jì)算還需要存儲(chǔ)和讀取 N 個(gè)復(fù)數(shù)輸入序列值 ??xn以及復(fù)系數(shù) nkNW 值的設(shè)備。當(dāng)N 值很大時(shí)直接計(jì)算 DFT 計(jì)算量特別大。 直到 1965 年庫(kù)利和圖基首次提出了計(jì)算 DFT 的一種快速算法，人們開始認(rèn)識(shí)到 DFT 運(yùn)算的一些內(nèi)在規(guī)律，發(fā)展和完善了一套高效的運(yùn)算方法， DFT 的運(yùn)算在實(shí)際中才得到廣泛的應(yīng)用。 FFT 使復(fù)數(shù)乘法的次數(shù)從 2N 次減少到了 logNN次。如 1024N? 時(shí)運(yùn)算量從 1048576 次減少到 5120 次，運(yùn)算效率提高了 倍，為 DFT 乃至數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的實(shí)際應(yīng)用特別是實(shí)時(shí)處理創(chuàng)造了良好的條件，大大地推動(dòng)了數(shù)字信號(hào)處 理技術(shù)的發(fā)展。 FFT 算法基本思想 FFT 算法的基本思想：將長(zhǎng)度為 N 的序列的離散傅里葉變換逐次分解為較短的離散傅里葉變換，直到兩點(diǎn)的 FFT 為止，使得總的運(yùn)算次數(shù)比直接計(jì)算 DFT運(yùn)算量少得多，從而提高了運(yùn)算速度。 快速傅立葉變換就是利用 nkNW 的特性，逐步地將 N 點(diǎn)序列分解成較短的序列，計(jì)算短序列的 DFT，然后組合成原序列的 DFT，使運(yùn)算量明顯減少。有兩類分解：一類是將時(shí)間序列 ??xn進(jìn)行逐次分解，稱為按時(shí)間抽取算法（ Decimation In Time）；另一類將傅立葉變換序列 ??Xk進(jìn)行分解，稱為按頻率抽取算法（ Decimation In Frenquency）。本文主要介紹按時(shí)間抽取基 2 FFT 算法。 按時(shí)間抽取基 2 FFT 算法（庫(kù)利 圖基算法） FFT 算法主要是利用 nkNW 的性質(zhì)，把序列分解為較短的序列來(lái)減小運(yùn)算量。nkNW 有以下三種性質(zhì)： 性質(zhì) 1： nkNW 的周期性 ? ?nk n k NNNWW?? 性質(zhì) 2： nkNW 的對(duì)稱性 ? ?nk nkNNWW? ?? 14 性質(zhì) 3： nkNW 的可約性 nk mnkN mNWW?， nk nk mN N mWW? 基二算法中，序列 ??xn的長(zhǎng)度 N 為 2的整數(shù)次冪，即 2MN? ，其中 M 為正整數(shù)。最初通過將 ??Xn分解為奇數(shù)項(xiàng)序列和偶數(shù)項(xiàng)序列的形式使 FFT 運(yùn)算分為兩組。 設(shè)： ? ? ? ?1 2x r x r? ? ? ? ?2 21x r x r?? 0,1,..., 12Nr ?? （ ） 設(shè) ? ?1Xk為 ??1xr的 DFT， ? ?2Xk為 ??2xr的 DFT，利用 nkNW的性質(zhì)可得 ??xn的 DFT 運(yùn)算為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ?12122kNkNX k X k X kNX k X k X kWW? ???? ??? ? ?? ????? 0,1,..., 12Nk ?? （ 39） 上面式子的運(yùn)算可用下圖的蝶形信號(hào)流圖符號(hào)表示： 圖 時(shí)間抽取算法蝶形運(yùn)算圖 4 點(diǎn) DFT 4 點(diǎn) DFT x(0) x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7) X1(0) X1(1) X1(2) X1(3) X2(0) X2(1) X2(2) X2(3) X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) 38W28W18W08W15 圖 8N? 的時(shí)間抽取基 4 FFT算法流圖 N 點(diǎn) DFT 分解為兩個(gè) 2N 點(diǎn)的 DFT，從而實(shí)現(xiàn)了運(yùn)算量的減少，再經(jīng)過逐次分解最終分解為 2 點(diǎn)的 DFT，實(shí)現(xiàn)了 FFT 運(yùn)算。 FFT 運(yùn)算的核心是蝶形運(yùn)算，通過順 序計(jì)算全部蝶形實(shí)現(xiàn) FFT 算法的實(shí)現(xiàn)。下面給出 8N? 時(shí)的按時(shí)間抽取 FFT 流圖。 圖 8N? 的時(shí)間抽取基 2 FFT算法流圖 當(dāng) 2MN? 的 FFT，共有 M 級(jí)蝶形，每級(jí)由 2N 個(gè)蝶形運(yùn)算單元，每個(gè)蝶形包括一次復(fù)乘、二次復(fù)加，則 M 級(jí)運(yùn)算的運(yùn)算量為 復(fù)數(shù)乘法：2log22NNMN? ? ? 復(fù)數(shù)加法： 2logN M N N? ? ? 則 FFT 算法與直接 DFT 算法相比運(yùn)算量大為減少，當(dāng) 1024N? 時(shí)， DFT 所需的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算次數(shù)為： 2 1048576N ? 次，而 FFT 所需的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算次數(shù)僅為2log 51 202N N??次?？梢?1024N? 時(shí) DFT 算法的運(yùn)算量是 FFT 算法的運(yùn)算量的2 2l o g 1 0 4 8 5 7 6 5 1 2 0 2 0 4 .82NNN?? ?????? 倍，則 N越大 FFT 算法的優(yōu)越性越明顯。 按時(shí)間抽取 FFT 算法的特點(diǎn) 2 點(diǎn)DFT 2 點(diǎn)DFT 2 點(diǎn)DFT 2 點(diǎn)DFT x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) X3(0) X3(1) X4(0) X4(1) X5(0) X5(1) X6(0) X6(1) 08W28W08W28W X1(0) X1(1) X1(2) X1(3) X2(0) X2(1) X2(2) X2(3) 38W28W18W08WX(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) 16 FFT 運(yùn)算有兩個(gè)特點(diǎn)：同址運(yùn)算和倒位序規(guī)律。 特點(diǎn) 1：同址運(yùn)算 長(zhǎng)度為 N 的序列，將 N 個(gè)數(shù)據(jù)送到存儲(chǔ)器后，經(jīng)蝶形運(yùn)算，其結(jié)果為另一列數(shù)據(jù)，它們以蝶形為單位仍存儲(chǔ)在這同一組存儲(chǔ)中，直到最后輸出，中間無(wú)需其他存儲(chǔ)器。采用同址運(yùn)算只需 N 個(gè)存儲(chǔ)單元，大大節(jié)省了存儲(chǔ)單元，從而降低了設(shè)計(jì)成本。 特點(diǎn) 2：倒位序規(guī)律 為了實(shí)現(xiàn)同址計(jì)算，輸入序列不能按照原來(lái)的先后順序存貯，這種輸入數(shù)據(jù)存貯和讀取的順序稱為倒位序。我們注意到，對(duì)于已經(jīng)討論過的 8 點(diǎn)流圖，只需要用三位二進(jìn)制碼來(lái)標(biāo)注整個(gè)數(shù)據(jù)。 若 2 1 0( , , )n n n 為序列 ??xn中標(biāo)號(hào)的二進(jìn)制表示，則序列值 ? ?2 1 0,x n n n 存放在數(shù)列 ? ?0 0 1 2,X n n n 的位置上。實(shí)際運(yùn)算中先 按自然順序?qū)⑿盘?hào)序列存入 RAM 中，則需經(jīng)過變址運(yùn)算得到倒位序的排列，然后實(shí)現(xiàn) FFT 算法。 圖 ( 8)N? 自然系數(shù) ()n 二進(jìn)制碼 倒位序二進(jìn)制碼 倒位序數(shù) 0 000 000 0 1 001 100 4 2 010 010 2 3 011 110 6 4 100 001 1 5 101 101 5 6 110 011 3 7 111 111 7 17 4 用 FPGA實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號(hào)處理的算法 本章討論 FFT在 FPGA中如何實(shí)現(xiàn)，首先介紹實(shí)現(xiàn) FFT算法的四種方法：軟件、DSP、專用 FFT處理芯片、 FPGA來(lái)實(shí)現(xiàn)。軟件和 DSP實(shí)現(xiàn)速度較慢；專用 FFT處理芯片價(jià)格高、硬件不易擴(kuò)展； FPGA