34反證法北師大版選修1-2(編輯修改稿)
2024-12-25 13:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 都是無理數(shù)，求證： a ＋ b 是無理數(shù)． 證明 假設(shè) a ＋ b 為有理數(shù)， 則 ( a ＋ b )( a － b ) ＝ a － b . 由 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ，得 a ＋ b ＞ 0. ∴ a － b ＝a － ba ＋ b ∵ a 、 b 為有理數(shù)，且 a ＋ b 為有理數(shù)， ∴a － ba ＋ b為有理數(shù)，即 a － b 為有理數(shù)， ∴ ( a ＋ b ) ＋ ( a － b ) 為有理數(shù) ， 即 2 a 為有理數(shù)． 從而 a 也應(yīng)為有理數(shù) ， 這與已知 a 為無理數(shù)矛盾． ∴ a ＋ b 一定為無理數(shù)． 用反證法證明：過已知直線 a外一點 A有且只有一條 直線 b與已知直線 a平行 ． 由平行直線的定義可知過直線外一點至少可以 作一條已知直線的平行線 ． 而 “ 只有一條 ” 可通過假設(shè)過 點 A有兩條直線與直線 a平行 ， 由平行公理推出與假設(shè)矛 盾 ． 證明 由兩條直線平行的定義和幾何圖形可知 ， 過點 A至 少有一條直線與直線 a平行 ． 假設(shè)過點 A還有一條直線 b′ 與已知直線 a平行 ， 即 b∩b′＝ A， b′∥ b∥ a， 由平 行公理知 b′∥ b∩b′＝ A矛盾 ， 所以假設(shè)錯 誤 ， 原命題成立 ． 題型二 “ 唯一 ” 型命題 【 例 2】 [思路探索 ] 用反證法證明問題時要注意以下三點： (1)必須先否定結(jié)論 ， 即肯定結(jié)論的反面 ， 當結(jié)論的反面呈 現(xiàn)多樣性時 ， 必須羅列出各種可能結(jié)論 ， 缺少任何一種可 能 ， 反證都是不完全的； (2)反證法必須從否定結(jié)論進行推理 ， 即應(yīng)把結(jié)論的反面作 為條件 ， 且必須根據(jù)這一條件進行推證 ， 否則 ， 僅否定結(jié) 論 ， 不從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理 ， 就不是反證法； (3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣 ， 有的與已知矛盾 ， 有的與 假設(shè)矛盾 ， 有的與事實矛盾等 ， 推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯 的 ． 規(guī)律方法 已知兩條相交直線 a， b， 求證：直線 a， b有且只有 一個交點 ． 證明 假設(shè)結(jié)論不成立 ， 即有兩種可能： 無交點；至少有兩個交點 ． (1)若直線 a， b無交點 ，
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