【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ( { } ) ( ) ( )r k r kP A P A X r P X r P A X r????? ? ? ? ??? 因在 Xr? 條件下，司機(jī)死亡數(shù)服從二項(xiàng)分布( , )B r p，因而 ( ) ( 1 )!rk r krkreP A p pkr?????????? ????? [ ( 1 ) ] ( ) ( ).( ) ! ! !r k k kprkp p peer k k k??? ? ???????? ????????? 所以一年內(nèi)在事故中死亡的司機(jī)人數(shù)服從參數(shù)為p?的泊松分布 . 55 例 15 已知甲乙兩箱中裝有同型號(hào)產(chǎn)品，甲箱有 3 件合格、 3 件次品，乙箱裝的 3 件都為合格品 . 今從甲箱中任取 3 件放入乙箱，且記此時(shí)乙箱中的次品件數(shù)為 X . 求：（ 1 ） X 的分布律；（ 2 ）再?gòu)囊蚁渲腥稳?1 件 是次品的概率 . 解 （ 1 ）顯然 X 的可能值為 0, 1 ,2, 3 ，且對(duì)任何0k ?，事件{}Xk ?={ 從甲箱任取 3 件，恰好取到 k 件次品 } . 因此 333( ) ( 0 , 1 , 2 , 3 ) .63kkP X k k? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ??????? 即 X 有分布律 : X 0 1 2 3 概率 56 （ 2 ）記待求概率的事件為 A ，則有 30( ) ( { } )rP A P A X r????30( ) ( )rP X r P A X r?? ? ?? 1 2 3 10 . 0 5 0 0 . 4 5 0 . 4 5 0 . 0 5 .6 6 6 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 概率密度函數(shù) 設(shè) 隨機(jī)變量 X 有 分布函數(shù)? ?xF，若存在? ? 0?xf使得 ? ? ? ? ,xF x f t dt x??? ? ? ? ? ??? 對(duì) 所 有 成立，則 稱(chēng)? ?xf為 X 的 概率密度函數(shù)， 且稱(chēng) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量 . ? ? ?xf為某個(gè) X 的密度函數(shù)的必要條件是： （ 1 ）? ? 0 ( )f x x? ? ? ? ? ? ?； （ 2 ）? ??????? 1dxxf. 57 ? X 為 連續(xù)型 的 隨機(jī)變量， 則其分布函數(shù) ()Fx 處處連續(xù)，且 ? ? ? ? ? ? dbaP a X b P a X b f x x? ? ? ? ? ? ?. ? ? ? ? dbaP a X b f x x? ? ? ?58 常用連續(xù)型分布 （ 1 ） 均勻分布? ?baR ,， ? ?1,0,a x bfx ba????? ????其 它 。 （ 2 ）指數(shù)分布? ??E， ? ?, 0 ,0,xexfx???? ?? ?? 其 它 。 （ 3 ） 正態(tài)分布),( 2??N ? ?22()21()2xf x e x??????? ? ? ? ? ? ?. 59 例 1 6 （ 第四章例 16 ） 設(shè)打一次電話(huà)所有的時(shí)間（單位： 分鐘 ）服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，如果有人剛好在你前面走進(jìn)公用電話(huà)間并開(kāi)始打電話(huà)（假定公用電話(huà)間只有一部電話(huà)機(jī)可供通話(huà)），試求你將等待（ 1 ）超過(guò) 5 分鐘 的概率 。 （ 2 ） 5 分鐘 到 10 分鐘 之間的概率 . 解 令 X 表示 電話(huà)間中那個(gè)人打電話(huà)所占有的時(shí)間，由題意知， X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，因此 X 的密度函數(shù)為 ?????0)( xexf, 0 , 0 .xx?? 所求概率分別為： 15( 5 ) xP X e dx e????? ? ??, 100 .2 1 25( 5 10) xP X e dx e e? ? ?? ? ? ? ??. 60 ? 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)的密度函數(shù)圖像 2221 xey ???61 用()x?表示( 0 , 1 )N的分布函數(shù) ? 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有如下性質(zhì)： （ 1 ）( ) 1 ( )xx? ? ? ? ?， (x? ? ? ? ?)。 （ 2 ）設(shè)~ ( 0 ,1 )XN，則有 ? ?? ?? ?1 0 .6 8 2 6 ,2 0 .9 5 4 4 ,3 0 .9 9 7 4 .PXPXPX?????? 這表明，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量，其分布的 載 荷幾乎集中在區(qū)間[ 3,3] 之中 . 62 ? 標(biāo)準(zhǔn)化變換 設(shè)2~ ( , )XN ??，則~ (0 , 1 )XYN ???? 因此 () xxP X x P Y ??????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 后者可通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得到相應(yīng)的數(shù)值而不必計(jì)算 . 63 例 1 7 （ 第四章例 19 ） 某地抽樣調(diào)查結(jié)果表面，考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制） X 服從正態(tài)分布2( 7 2 , )N ?，且 96 分以上的考生占考生總數(shù)的2. 3 ％，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?60 至 84 分之間的概率 . 解 本題中72? ?分， 2?未知， 但通過(guò)題中 已 知的條件( 9 6 ) 0 . 0 2 3PX ??可求得12? ?. 所以 8 4 7 2 6 0 7 2(6 0 8 4 )1 2 1 2PX??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ( 1 ) ( 1 ) 0 . 6 8 2 6? ? ? ? ? ?. 64 ? 聯(lián)合分布函數(shù) ? ? ? ?, , ( , )F x y P X x Y y x y? ? ? ? ? ? ? ? ?. 聯(lián)合分布函數(shù)具有以下性質(zhì)： （ 1 ）? ? 1,0 ?? yxF； （ 2 ）? ?yxF ,分別關(guān)于 x 及 y 單調(diào)不減 ； （ 3 ）? ?yxF ,分別關(guān)于 x 及 y 右連續(xù)； （ 4 ）? ? ? ? ? ? ? ? 1,l i m,0,l i m,0,l i m,0,l i m ??????????????????????yxFyxFyxFyxFyxyxyx. ? 邊緣分布函數(shù) ? ? ? ? ? ?, ( ) ,XF x P X x F x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ( ) .YF y P Y y F y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 65 ? 聯(lián)合 密度 和 邊緣密度 （ 1 ） 如 存在? ?, 0 ( , ) ,f x y x y? ? ? ? ? ? ?使得 ? ? ? ?, , d d ( , ) ,xyF x y f u v u v x y? ? ? ?? ? ? ? ? ???? 那么? ?yxf ,為? ?YX ,的聯(lián)合密度函數(shù) . （ 2 ） 稱(chēng) ? ? ? ?, d ( )Xf x f x y y x????? ? ? ? ? ???； 為 X 的邊緣密度 。 ? ? ? ?, d ( )Yf y f x y x y????? ? ? ? ? ??? 為 Y 的邊緣密度 . 66 例 1 8 （ 第五章例 4 、例 7 ） 設(shè) 二維隨機(jī)變量? ?YX ,在區(qū)域 G 上服從均勻分布，其中? ?0 1 ,G x y x? ? ? ?， 求（ 1 ）? ?YX ,的聯(lián)合密度函數(shù)? ?yxf ,；（ 2 ）關(guān)于 X ，關(guān)于 Y 的邊緣密度函數(shù) . 解 易見(jiàn) G 的面積為 1 ，因此聯(lián)合密度為 1 , 0 1 , ,( , )0,x y xf x y? ? ? ?? ?? 其 他 . ? ? ? ?2 0 1,d0Xxxf x f x y y????????? ???， ， 其 他 .； ? ? ? ?1 , 1 ,d0,Yyyf y f x y x????? ? ??? ???其 他 . 67 68 例 19 設(shè)隨機(jī)變量 Y 服從參數(shù)1? ?的泊松分布，對(duì)1 , 2k ?，定義隨機(jī)變量0 , ,1 , ,kYkXYk??? ??? 求12( , )XX的聯(lián)合分布律 . 解 依假設(shè)11( ) e 0 , 1 , 2 ,!P Y i ii?? ? ?（ ） , 12( 0 , 0 ) ( 1 , 2 )P X X P Y Y? ? ? ? ?1( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) 2 eP Y P Y P Y ?? ? ? ? ? ? ? ， 12( 0 , 1 ) ( 1 , 2 ) 0P X X P Y Y? ? ? ? ? ? ， 12( 1 , 0 ) ( 1 , 2 )P X X P Y Y? ? ? ? ? 11( 1 2 ) ( 2 ) e2P Y P Y?? ? ? ? ? ? ， 12( 1 , 1 ) ( 1 , 2 )P X X P Y Y? ? ? ? ? ( 2 ) 1 ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )P Y P Y P Y P Y? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1151 2 e e 1 e .22? ? ?? ? ? ? ? 69 因此12( , )XX有聯(lián)合分布律： X 2 X 1 0 1 0 12e ? 0 1 11 e2? 151e2?? ? 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 如果 X 與 Y 的聯(lián)合分布函數(shù)? ?yxF ,，如果對(duì)任意實(shí)數(shù) x ， y ，成立 ? ? ? ? ? ?yFxFyxF YX?,， 則 稱(chēng)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立。 ? 如果? ?YX ,有聯(lián)合密度函數(shù)? ?yxf ,，則 X 與 Y 相互獨(dú)立 ，當(dāng)且僅當(dāng) ? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX?,，對(duì)任意 x ， y . 70 ? 二維正態(tài)分布? ?221 2 1 2, , , ,N ? ? ? ? ? 設(shè)（ X,Y ）有二元正態(tài)分布，其聯(lián)合密度 為 ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?221 1 2 2222121212212121,e21x x y yf x y? ? ? ???????? ? ? ???? ? ? ???? ? ?????? , ) .xy? ? ? ? ? ?（ 可求得 X, Y 的邊緣密度分別為 ? ? ? ?22122212( ) ( )221211e , e .22xyf x f y????? ? ? ??????? 即? ? ? ?221 1 2 2~ , ~ ,X N Y N? ? ? ?，因此邊緣分布與參數(shù)?無(wú)關(guān) . 由此可知：邊緣分布并不能完全確定聯(lián)合分布 . 71 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 分布律 為 X 1x 2x ix 概率 1p 2p