中職數(shù)學基礎模塊下冊直線、平面垂直的判定與性質1(編輯修改稿)
2025-12-24 15:30 本頁面
【文章內容簡介】 又 SAB， ∴ SC⊥ SM， ∴ △ SMC為直角三角形 . 設 SB=a， 即 SC與平面 ABC所成的角的正切值為 . ,360t an,2 2 aSBSCaSM ????則.6 6t an ???? SCSMS C M66?AB?SM題型四 二面角的求法 如圖所示，三棱錐 P— ABC中， D是 AC的中點， PA=PB=PC= ， AC=2 ， AB= ， BC= . （ 1）求證： PD⊥ 平面 ABC； （ 2）求二面角 P— AB— C的正切值大小 . （ 1）已知三角形三邊長，可考慮利用 勾股定理的逆定理證明垂直 . （ 2）關鍵是找出二面角的平面角，由 AP=PB， 可考慮取 AB的中點 E. 【 例 4】思維啟迪252 6（ 1） 證明 連結 BD， ∵ D是 AC的中點， PA=PC= ， ∴ PD⊥ AC. ∵ AC= ， AB= ， BC= ， ∴ AB2+BC2=AC2. ∴∠ ABC=90176。 ，即 AB⊥ BC. ∵ PD2=PA2AD2=3， PB= ， ∴ PD2+BD2=PB2.∴ PD⊥ BD. ∵ AC∩ BD=D， ∴ PD⊥ 平面 ABC. 522 2 6.221 ADACBD ????5（ 2） 解 取 AB的中點 E，連結 DE、 PE， 由 E為 AB的中點知 DE∥ BC， ∵ AB⊥ BC， ∴ AB⊥ DE. ∵ PD⊥ 平面 ABC， ∴ PD⊥ AB. 又 AB⊥ DE， DE∩ PD=D， ∴ AB⊥ 平面 PDE， ∴ PE⊥ AB. ∴∠ PED是二面角 P— AB— C的平面角 . 在△ PED中， ∠ PDE=90176。 , ∴ 二面角 P— AB— C的正切值為 . ,3,2 621 ??? PDBCDE.2t an ???? DEPDP ED2 找二面角的平面角常用的方法有 : (1)定義法：作棱的垂面，得平面角 . (2)利用等腰三角形、等邊三角形的性質 ,取中線 . 知能遷移 4 如圖所示，四棱錐 P— ABCD的底面 ABCD是直角梯形， PA⊥ 平面 ABCD，且 AD∥ BC， AD⊥ DC,△ ADC和△ ABC均為等腰直角三角形 , 設 PA=AD=DC=a，點 E為側棱 PB上一點， 且 BE=2EP. （ 1）求證：平面 PCD⊥ 平面 PAD； （ 2）求證：直線 PD∥ 平面 EAC； （ 3）求二面角 B— AC— E的余弦值 . 探究提高（ 1） 證明 ∵ PA⊥ 平面 ABCD， DC 平面 ABCD， ∴ DC⊥ PA. 又 ∵ AD⊥ DC，且 PA與 AD是平面 PAD內兩相交 直線， ∴ DC⊥ 平面 PAD. 又 ∵ DC 平面 PCD， ∴ 平面 PCD⊥ 平面 PAD. （ 2） 證明 連結 BD，設 BD與 AC相交于點 F， 連結 EF， 在等腰直角△ ADC中， ∵ AD⊥ DC， ??.4π????? A CDD A C又 ∵ AD∥ BC， ∴∠ ACB=∠ DAC= 又 ∵ △ ABC為等腰直角三角形，且底面 ABCD是直 角梯形， （若 ∠ B為直角，則與底面 ABCD是直角梯形相矛盾） . 由 AD=DC=a，易知 AB=AC= a， BC=2a， ∵ BC∥ AD且 BC=2AD， ∴ BF=2FD. 又 ∵ BE=2EP， ∴ PD∥ EF. 又 ∵ EF 平面 EAC， PD 平面 EAC， ∴ 直線 PD∥ 平面 EAC. .4π2π??? BAC? ?2（ 3） 解 過點 E作 EH∥ PA交 AB于 H點， 則 EH⊥ 平面 ABCD，又 ∵ AB⊥ AC， ∴ EA⊥ AC. ∴∠ EAH為二面角 B— AC— E的平面角 . ∵ BE=2EP， 即二面角 B— AC— E的余弦值為 . .3231 aABAH ???,2t an,3232 ????? AHEHEA HaPAEH?又,33co s ??? EAH33 方法與技巧 （ 1）線面垂直的定義： a與 α 內任何直線都垂 a⊥ α ； （ 3）判定定理 2： a∥ b， a⊥ α b⊥ α ； （ 4）面面平行的性質： α ∥ β ， a⊥ α a⊥ β ； （ 5）面面垂直的性質： α ⊥ β ， α ∩ β =l， a α ， a⊥ l a⊥ β . ?。, ,:1)2( ?? ??????? ?? lnlml Anmm 、 ?判定定理??? ?n 思想方法 感悟提高 （ 1）定義：兩條直線所成的角為 90176。 。 （ 2）平面幾何中證明線線垂直的方法； （ 3）線面垂直的性質： a⊥ α ， b α a⊥ b； （ 4）線面垂直的性質： a⊥ α ， b∥ α a⊥ b. （ 1）利用定義：兩個平面相交，所成的二面角 是直二面角； （ 2）判定定理： a α ， a⊥ β α ⊥ β . 方法 . ? ??? ?失誤與防范 在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋 找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則 可通過作輔助線來解決 .如有平面垂直時，一般
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