【文章內容簡介】 怕是相同的速率間隔，例如都是 100ms1，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如， 100200 ms1和 500600 ms1有相同的速率間隔，但第一個間隔總的來說速率較低，第二個間隔總的來說速率較大，其概率是不等的。比如，速率接近為 0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小，而居中速率的可能性則較大。根據這個兩個事實，我們自然要問，在不同速率間隔取值的概率有沒有規(guī)律？肯定是有的，這個規(guī)律能用一個函數定量表示出來。為此，我們引入速 率分布函數來描述分子熱運動在不同速率間隔取值的概率規(guī)律。 167。 氣體分子的速率分布律l速率分布函數的定義：一定量的氣體分子總數為 N， dN表示速率分布在某區(qū)間 v~v+dv內的分子數， dN/N表示分布在此區(qū)間內的分子數占總分子數的比率。實驗規(guī)律：?在不同的速率附近，給定的速率間隔 dv內，比值 dN/N是不同的。容易想見，速率間隔越大， dN/N？? dN/N 是 v 的函數；?當速率區(qū)間足夠小時（宏觀小，微觀大） ， dN/N還應與區(qū)間大小成正比。速率分布函數為此，規(guī)定以單位速率間隔為比較標準，即 ，這樣，比值 就反映出了隨速率 v的改變而改變。為此我們規(guī)定 ；速率分布函數定義：處于一定溫度下的氣體，分布在速率 v附近的單位速率間隔內的分子數占總分子數的百分比只是速率 v的函數，稱為速率分布函數。理解分布函數的幾個要點： ：一定溫度（平衡態(tài)）和確定的氣體系統(tǒng)， T和 m是一定的；：（速率 v附近的）單位速率間隔，所以要除以 dv；：（分子數的）比例，局域分子數與總分子數之比。l物理意義：速率在 v 附近，單位速率區(qū)間的分子數占總分子數的概率，或概率密度。表示速率分布在 v→ v+dv內的分子數占總分子數的概率表示速率分布在 v1→ v2內的分子數占總分子數的概率歸一化條件應注意的問題 :分布函數是一個統(tǒng)計結果，以上各種討論都是建立在眾多分子微觀運動基礎上的，分子的數目越大，結論越正確。所以：1）少數分子談不上概率分布偶然事件少了，或分子數少了，就不能表現出穩(wěn)定的統(tǒng)計特性。例如，拋兩分的硬幣，拋的次數越多，幣制和國徽朝上的次數才更加接近相等，否者將有很大差異。2）統(tǒng)計規(guī)律表現出漲落所謂漲落就是對穩(wěn)定的統(tǒng)計結果的偏差，統(tǒng)計規(guī)律必然伴隨著漲落。例如，在某一速率 v附近 dv間隔內求出的比值 dN/N是 ，表示有 6%的分子，它們的速率取值分布在（ v， v+dv）內，但并不是說，每時每刻就一定是 ，也有可能是 ， ， … 等等，但長時間的平均值仍是 。 3） “ 具有某一速率的分子有多少 ” 是不恰當的說法f (v)是針對 v附近單位速率間隔的，離開速率間隔來談分子數有多少就沒有意義了。 4）氣體由非平衡到平衡的過程是通過分子間的碰撞來實現的。因此，分子間的碰撞是使分子熱運動達到并保持確定分布的決定因素。課堂練習 1． 速率分布函數 的物理意義為： （Ａ）具有速率 的分子占總分子數的百分比． （Ｂ）速率分布在 附近的單位速率間隔中的分子數占總分子數的百分比． （Ｃ）具有速率 的分子數． （Ｄ）速率分布在 附近的單位速率間隔中的分子數． （Ｂ） 練習 下列各式的物理意義分別為 :(1)(2)(3)(4)速率在 vv+dv內的分子數占總分子數的百分比速率在 vv+dv內的分子數速率在 v1→v 2內的分子數占總分子數的百分比速率在 v1→v 2內的分子數練習 3．在平衡狀態(tài)下，已知理想氣體分子的麥克斯韋速率分布函數為 、分子質量為 、最可幾速率為 ，試說明下列各式的物理意義：（１） 表示 ________________； （２） 表示 ______________． 分子平動動能的平均值 分布在速率區(qū)間 的分子數在總分子數中占的百分率 練習 4．已知分子總數為 ，它們的速率分布函數為 ，則速率分布在區(qū)間 內的分子的平均速率為 （ A） （ C） （ B） （ D） （ B） 在平衡態(tài)下，當氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布在速度區(qū)間 ~ 的分子數占總分子數的比率為麥克斯韋速度分布律在平衡態(tài)下，當氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布在速度區(qū)間 ~ 也就是分布在 vx~vx+dvx/vy~vy+dvy/vz~vz+dvz的分子數占總分子數的比率為 :這個區(qū)間內的分子，它們的速度矢量的端點都在一定的體積元 dω＝ dvxdvydvz內也 就是滿足這個條件的速度矢量的端點都落在半徑為 v，厚度為 dv的球殼層內。這個球殼層的體積等于其內壁的面積 4πv2乘以厚度 dv ： dω＝ 4πv2dv將 dω＝ dvxdvydvz代入麥克斯韋速率分布分布律麥克斯韋速率分布律 且：得：得記憶這個公式分三部分：第一部分， 4pv2dv是 “ 球殼 ” 的體積，而 “ 球殼 ” 全方位的高度對稱性正是分子熱運動想各個方向幾率均等的生動表現；第二部分 ,正是分子熱運動速率取值不等幾率的表現，值得注意，這個指數衰減律的結果沒有單位， mv2/2是分子熱運動的動能， kT既有能量的量綱，所以指數衰減的指數部分是熱運動的動能與體系能量狀態(tài)特征量之比，對于大的速率，指數衰減的速度比 v2增加的速度快得多，二者共同影響的結果，分布函數值必然較小。第三部分，是歸一化因子，這里也有一個值得注意的問題，指數衰減部分沒有單位， 4pv2dv具有速度立方的單位，分布律只是分子數的比值，也沒有單位，所以歸一化因子必須具有速度負立方的單位。即 應該具有速度的量綱，的確如此，正是一個具有統(tǒng)計特性的速率，后面知道，叫最可幾速率。 麥克斯韋速率分布函數m—— 分子的質量T—— 熱力學溫度k—— 玻耳茲曼常量vP v v+dv v面積 = dN/Nf(v)f(vP)曲線下面寬度為 dv 的小窄條面積等于分布在此速率區(qū)間內的分子數占總分子數的概率 dN/N 。 .麥克斯韋 速率 分布曲線在 f(v)~v整個曲線下的面積為 1 歸一化條件。最概然速率 平均速率 方均根速率 分子速率的三個統(tǒng)計值 最概然速率 (the most probable speed) 物理意義 ：若把整個速率范圍劃分為許多相等的小區(qū)間，則分布在 vP所在區(qū)間的分子數比率最大。令 解得vp 隨 T 升高而增大，隨 m 增大而減小注：定義： 與 f(v)極大值相對應的速率，稱為最概然速率。同一氣體，不同溫度vP與溫度 T的關系 :T 1T 2曲線的峰值右移 ,由于曲線下面積為 1不變，所以峰值降低。不同氣體，同一溫度vP與分子質量 m的關系 :曲線的峰值左移 ,由于曲線下面積為 1不變，所以峰值升高。m 2m 1練習 ，處于不同溫度狀態(tài)下的速率分布曲線，試問（ 1）哪一條曲線對應的溫度高？（2)如果這兩條曲線分別對應的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲線，問哪條曲線對應的是氧氣，哪條對應的是氫氣？解：(1) T1 T2(2)紅：氧 白：氫f(v)vT1T2平均速率 (the average speed) 由于 則有方均根速率 (the rootmeansquare speed) 最概然速率 平均速率 方均根速率 三種速率的比較三種速率的比較三種速率統(tǒng)計值有不同的應用： 在討論速率分布時，要用到最可幾速率；在計算分子運動的平均距離時，要用到平均速率；在計算分子的平均平動動能時，要用到方均根速率。補充 :氣體分子按平動動能的分布規(guī)律麥克斯韋速率分布定律上式表明理想氣體在平衡態(tài)下，分子動能在? ~? +?? 區(qū)間內的分子數與總分子數的比率。意義：代入上式得思考 最概然平動動能是否等于最概然速率所對應的平動動能 ?兩邊微分氦氣的速率分布曲線如圖所示 .解例 1求(2) 氫氣在該溫度時的最概然速率和方均根速率(1) 試在圖上畫出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況， (2)f(v)v有 N 個粒子，其速率分布函數為(1) 作速率分布曲線并求常數 a(2) 速率大于 v0 和速率小于 v0 的粒子數解例 2求(1) 由歸一化條件得O(2) 因為速率分布曲線下的面積代表一定速率區(qū)間內的分子與總分子數的比率，所以因此， vv0 的分子數為 ( 2N/3 )同理 vv0 的分子數為 ( N/3 )的分子數與總分子數的比率為O根據麥克斯韋速率分布律，試求速率倒數的平均值 。 根據平均值的定義，速率倒數的平均值為 解例 3根據麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率vp~vp+Δv 區(qū)間內的分子數與溫度 成反比 ( 設 Δv 很小 )將最概然速率代入麥克斯韋速率分布定律中，有例 4證金屬導體中的電子，在金屬內部作無規(guī)則運動，與容器中的氣體分子很類似。設金屬中共有 N 個電子，其中電子的最大速率為 vm，設電子速率在 v~v+dv 之間的幾率為式中 A 為常數解例 5求 該電子氣的平均速率因為僅在（ 0 ， vm）區(qū)間分布有電子，所以例 27℃ 下的氧氣分子的三種速率 .解 : Mmol=,T=273+27=300K可見在相同溫度下 :例題 N個粒子，其速率分布函數為 :C ( vo v 0)0 ( v vo )作速率分布曲線。由 N和 vo求常數 C。求粒子的平均速率。求粒子的方均根速率。Cvo vo解：二、驗證麥克斯韋速度分布律 實驗裝置 O—— 蒸汽源 S —— 分子束射出方向孔R —— 長為 l 、刻有螺旋形細槽的鋁鋼滾筒D —— 檢測器，測定通過細槽的分子射線強度實驗原理當圓盤以角速度 ω轉動時，每轉動一周，分子射線通過圓盤一次，由于分子的速率不一樣，分子通過圓盤的時間不一樣，只有速率滿足下式的分子才能通過 S達到 D實驗結果?分子數在總分子數中所占的比率與速率和速率間隔的大小有關；?速率特別大和特別小的分子數的比率非常??；?在某一速率附近的分子數的比率最大；?改變氣體的種類或氣體的溫度時，上述分布情況有所差別，但都具有上述特點?！?麥克斯韋速度分布函數三、玻爾茲曼能量分布律 等溫氣壓公式一、玻爾茲曼能量分布律問題：對于更一般的情形，如在外力場中的氣體分子的分布將如何？其指數僅包含分子運動動能分子按速度的分布不受力場的影響，按空間位置的分布卻是不均勻的，依賴于分子所在力場的性質。玻爾茲曼的推廣 用 εk+εp 代替 εk，用 x、 y、 z、 vx、 vy、 vz 為軸構成的六維空間中的體積元 xdydzdvxdvydvz 代替速度空間的體積元dvxdvydvz 玻爾茲曼能量分布律當系統(tǒng)在力場中處于平衡態(tài)時，其中坐標介于區(qū)間x~x+dx、 y~y+dy、 z~z+dz內， 同時速度介于vx~vx+dvx， vy~vy+dvy， vz~vz+dvz內的分子數為單位體積分子數 nn0為在 ε p=0處，單位體積內具有各種速度的分子總數。玻爾茲曼分子按能量分布律對所有可能的速度積分分子在坐標間隔 x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz內的分子數密度為 ：分子按勢能分布律?重力場中粒子按高度的分布 (ε p=mgh)?重力場中，一方面是無規(guī)則的熱運動使氣體分子均勻分布于它們所能夠到達的空間。另一方面是重力要使氣體分子聚集到地面上。這兩種作用平衡時，氣體分子則在空間作非均勻分布，即氣體分子數密度隨高度的增加按指數規(guī)律減小；?分子質量越大，受重力的作用越大，分子數密度減小得越迅速； ?對于溫度較高的氣體，分子的無規(guī)則運動劇烈。分子數密度隨高度減小比較緩慢。法國物理學家佩蘭據此測量了玻耳茲曼常數進而得到了阿伏伽德羅常數，于 1922年獲得了諾貝爾物理獎。假設： 大氣為理想氣體 不同高度處溫度相等利用： p = nkT 可得 :每升高 10米，大氣壓強降低 133Pa。 近似符合實際，可粗略估計高度變化。二、重力場中等溫氣壓公式近似估計高度 167。 能量按自由度均分定理 (Theorem of Equipartition of Energy according to Degree of Freedom)一、自由度 (Degree of Freedom)物體運動的自由度 質點的自由度：