【文章內(nèi)容簡介】 怕是相同的速率間隔，例如都是 100ms1，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如， 100200 ms1和 500600 ms1有相同的速率間隔，但第一個(gè)間隔總的來說速率較低，第二個(gè)間隔總的來說速率較大，其概率是不等的。比如，速率接近為 0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小，而居中速率的可能性則較大。根據(jù)這個(gè)兩個(gè)事實(shí)，我們自然要問，在不同速率間隔取值的概率有沒有規(guī)律？肯定是有的，這個(gè)規(guī)律能用一個(gè)函數(shù)定量表示出來。為此，我們引入速 率分布函數(shù)來描述分子熱運(yùn)動(dòng)在不同速率間隔取值的概率規(guī)律。 167。 氣體分子的速率分布律l速率分布函數(shù)的定義：一定量的氣體分子總數(shù)為 N， dN表示速率分布在某區(qū)間 v~v+dv內(nèi)的分子數(shù)， dN/N表示分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。實(shí)驗(yàn)規(guī)律：?在不同的速率附近，給定的速率間隔 dv內(nèi)，比值 dN/N是不同的。容易想見，速率間隔越大， dN/N？? dN/N 是 v 的函數(shù)；?當(dāng)速率區(qū)間足夠小時(shí)（宏觀小，微觀大） ， dN/N還應(yīng)與區(qū)間大小成正比。速率分布函數(shù)為此，規(guī)定以單位速率間隔為比較標(biāo)準(zhǔn)，即 ，這樣，比值 就反映出了隨速率 v的改變而改變。為此我們規(guī)定 ；速率分布函數(shù)定義：處于一定溫度下的氣體，分布在速率 v附近的單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比只是速率 v的函數(shù)，稱為速率分布函數(shù)。理解分布函數(shù)的幾個(gè)要點(diǎn)： ：一定溫度（平衡態(tài)）和確定的氣體系統(tǒng)， T和 m是一定的；：（速率 v附近的）單位速率間隔，所以要除以 dv；：（分子數(shù)的）比例，局域分子數(shù)與總分子數(shù)之比。l物理意義：速率在 v 附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率，或概率密度。表示速率分布在 v→ v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率表示速率分布在 v1→ v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率歸一化條件應(yīng)注意的問題 :分布函數(shù)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，以上各種討論都是建立在眾多分子微觀運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上的，分子的數(shù)目越大，結(jié)論越正確。所以：1）少數(shù)分子談不上概率分布偶然事件少了，或分子數(shù)少了，就不能表現(xiàn)出穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)特性。例如，拋兩分的硬幣，拋的次數(shù)越多，幣制和國徽朝上的次數(shù)才更加接近相等，否者將有很大差異。2）統(tǒng)計(jì)規(guī)律表現(xiàn)出漲落所謂漲落就是對(duì)穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)結(jié)果的偏差，統(tǒng)計(jì)規(guī)律必然伴隨著漲落。例如，在某一速率 v附近 dv間隔內(nèi)求出的比值 dN/N是 ，表示有 6%的分子，它們的速率取值分布在（ v， v+dv）內(nèi)，但并不是說，每時(shí)每刻就一定是 ，也有可能是 ， ， … 等等，但長時(shí)間的平均值仍是 。 3） “ 具有某一速率的分子有多少 ” 是不恰當(dāng)?shù)恼f法f (v)是針對(duì) v附近單位速率間隔的，離開速率間隔來談分子數(shù)有多少就沒有意義了。 4）氣體由非平衡到平衡的過程是通過分子間的碰撞來實(shí)現(xiàn)的。因此，分子間的碰撞是使分子熱運(yùn)動(dòng)達(dá)到并保持確定分布的決定因素。課堂練習(xí) 1． 速率分布函數(shù) 的物理意義為： （Ａ）具有速率 的分子占總分子數(shù)的百分比． （Ｂ）速率分布在 附近的單位速率間隔中的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比． （Ｃ）具有速率 的分子數(shù)． （Ｄ）速率分布在 附近的單位速率間隔中的分子數(shù)． （Ｂ） 練習(xí) 下列各式的物理意義分別為 :(1)(2)(3)(4)速率在 vv+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比速率在 vv+dv內(nèi)的分子數(shù)速率在 v1→v 2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比速率在 v1→v 2內(nèi)的分子數(shù)練習(xí) 3．在平衡狀態(tài)下，已知理想氣體分子的麥克斯韋速率分布函數(shù)為 、分子質(zhì)量為 、最可幾速率為 ，試說明下列各式的物理意義：（１） 表示 ________________； （２） 表示 ______________． 分子平動(dòng)動(dòng)能的平均值 分布在速率區(qū)間 的分子數(shù)在總分子數(shù)中占的百分率 練習(xí) 4．已知分子總數(shù)為 ，它們的速率分布函數(shù)為 ，則速率分布在區(qū)間 內(nèi)的分子的平均速率為 （ A） （ C） （ B） （ D） （ B） 在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，分布在速度區(qū)間 ~ 的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為麥克斯韋速度分布律在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，分布在速度區(qū)間 ~ 也就是分布在 vx~vx+dvx/vy~vy+dvy/vz~vz+dvz的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為 :這個(gè)區(qū)間內(nèi)的分子，它們的速度矢量的端點(diǎn)都在一定的體積元 dω＝ dvxdvydvz內(nèi)也 就是滿足這個(gè)條件的速度矢量的端點(diǎn)都落在半徑為 v，厚度為 dv的球殼層內(nèi)。這個(gè)球殼層的體積等于其內(nèi)壁的面積 4πv2乘以厚度 dv ： dω＝ 4πv2dv將 dω＝ dvxdvydvz代入麥克斯韋速率分布分布律麥克斯韋速率分布律 且：得：得記憶這個(gè)公式分三部分：第一部分， 4pv2dv是 “ 球殼 ” 的體積，而 “ 球殼 ” 全方位的高度對(duì)稱性正是分子熱運(yùn)動(dòng)想各個(gè)方向幾率均等的生動(dòng)表現(xiàn)；第二部分 ,正是分子熱運(yùn)動(dòng)速率取值不等幾率的表現(xiàn)，值得注意，這個(gè)指數(shù)衰減律的結(jié)果沒有單位， mv2/2是分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能， kT既有能量的量綱，所以指數(shù)衰減的指數(shù)部分是熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能與體系能量狀態(tài)特征量之比，對(duì)于大的速率，指數(shù)衰減的速度比 v2增加的速度快得多，二者共同影響的結(jié)果，分布函數(shù)值必然較小。第三部分，是歸一化因子，這里也有一個(gè)值得注意的問題，指數(shù)衰減部分沒有單位， 4pv2dv具有速度立方的單位，分布律只是分子數(shù)的比值，也沒有單位，所以歸一化因子必須具有速度負(fù)立方的單位。即 應(yīng)該具有速度的量綱，的確如此，正是一個(gè)具有統(tǒng)計(jì)特性的速率，后面知道，叫最可幾速率。 麥克斯韋速率分布函數(shù)m—— 分子的質(zhì)量T—— 熱力學(xué)溫度k—— 玻耳茲曼常量vP v v+dv v面積 = dN/Nf(v)f(vP)曲線下面寬度為 dv 的小窄條面積等于分布在此速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率 dN/N 。 .麥克斯韋 速率 分布曲線在 f(v)~v整個(gè)曲線下的面積為 1 歸一化條件。最概然速率 平均速率 方均根速率 分子速率的三個(gè)統(tǒng)計(jì)值 最概然速率 (the most probable speed) 物理意義 ：若把整個(gè)速率范圍劃分為許多相等的小區(qū)間，則分布在 vP所在區(qū)間的分子數(shù)比率最大。令 解得vp 隨 T 升高而增大，隨 m 增大而減小注：定義： 與 f(v)極大值相對(duì)應(yīng)的速率，稱為最概然速率。同一氣體，不同溫度vP與溫度 T的關(guān)系 :T 1T 2曲線的峰值右移 ,由于曲線下面積為 1不變，所以峰值降低。不同氣體，同一溫度vP與分子質(zhì)量 m的關(guān)系 :曲線的峰值左移 ,由于曲線下面積為 1不變，所以峰值升高。m 2m 1練習(xí) ，處于不同溫度狀態(tài)下的速率分布曲線，試問（ 1）哪一條曲線對(duì)應(yīng)的溫度高？（2)如果這兩條曲線分別對(duì)應(yīng)的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲線，問哪條曲線對(duì)應(yīng)的是氧氣，哪條對(duì)應(yīng)的是氫氣？解：(1) T1 T2(2)紅：氧 白：氫f(v)vT1T2平均速率 (the average speed) 由于 則有方均根速率 (the rootmeansquare speed) 最概然速率 平均速率 方均根速率 三種速率的比較三種速率的比較三種速率統(tǒng)計(jì)值有不同的應(yīng)用： 在討論速率分布時(shí)，要用到最可幾速率；在計(jì)算分子運(yùn)動(dòng)的平均距離時(shí)，要用到平均速率；在計(jì)算分子的平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)，要用到方均根速率。補(bǔ)充 :氣體分子按平動(dòng)動(dòng)能的分布規(guī)律麥克斯韋速率分布定律上式表明理想氣體在平衡態(tài)下，分子動(dòng)能在? ~? +?? 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率。意義：代入上式得思考 最概然平動(dòng)動(dòng)能是否等于最概然速率所對(duì)應(yīng)的平動(dòng)動(dòng)能 ?兩邊微分氦氣的速率分布曲線如圖所示 .解例 1求(2) 氫氣在該溫度時(shí)的最概然速率和方均根速率(1) 試在圖上畫出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況， (2)f(v)v有 N 個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為(1) 作速率分布曲線并求常數(shù) a(2) 速率大于 v0 和速率小于 v0 的粒子數(shù)解例 2求(1) 由歸一化條件得O(2) 因?yàn)樗俾史植记€下的面積代表一定速率區(qū)間內(nèi)的分子與總分子數(shù)的比率，所以因此， vv0 的分子數(shù)為 ( 2N/3 )同理 vv0 的分子數(shù)為 ( N/3 )的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為O根據(jù)麥克斯韋速率分布律，試求速率倒數(shù)的平均值 。 根據(jù)平均值的定義，速率倒數(shù)的平均值為 解例 3根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率vp~vp+Δv 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與溫度 成反比 ( 設(shè) Δv 很小 )將最概然速率代入麥克斯韋速率分布定律中，有例 4證金屬導(dǎo)體中的電子，在金屬內(nèi)部作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，與容器中的氣體分子很類似。設(shè)金屬中共有 N 個(gè)電子，其中電子的最大速率為 vm，設(shè)電子速率在 v~v+dv 之間的幾率為式中 A 為常數(shù)解例 5求 該電子氣的平均速率因?yàn)閮H在（ 0 ， vm）區(qū)間分布有電子，所以例 27℃ 下的氧氣分子的三種速率 .解 : Mmol=,T=273+27=300K可見在相同溫度下 :例題 N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為 :C ( vo v 0)0 ( v vo )作速率分布曲線。由 N和 vo求常數(shù) C。求粒子的平均速率。求粒子的方均根速率。Cvo vo解：二、驗(yàn)證麥克斯韋速度分布律 實(shí)驗(yàn)裝置 O—— 蒸汽源 S —— 分子束射出方向孔R(shí) —— 長為 l 、刻有螺旋形細(xì)槽的鋁鋼滾筒D —— 檢測器，測定通過細(xì)槽的分子射線強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)原理當(dāng)圓盤以角速度 ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，每轉(zhuǎn)動(dòng)一周，分子射線通過圓盤一次，由于分子的速率不一樣，分子通過圓盤的時(shí)間不一樣，只有速率滿足下式的分子才能通過 S達(dá)到 D實(shí)驗(yàn)結(jié)果?分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比率與速率和速率間隔的大小有關(guān)；?速率特別大和特別小的分子數(shù)的比率非常??；?在某一速率附近的分子數(shù)的比率最大；?改變氣體的種類或氣體的溫度時(shí)，上述分布情況有所差別，但都具有上述特點(diǎn)?！?麥克斯韋速度分布函數(shù)三、玻爾茲曼能量分布律 等溫氣壓公式一、玻爾茲曼能量分布律問題：對(duì)于更一般的情形，如在外力場中的氣體分子的分布將如何？其指數(shù)僅包含分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能分子按速度的分布不受力場的影響，按空間位置的分布卻是不均勻的，依賴于分子所在力場的性質(zhì)。玻爾茲曼的推廣 用 εk+εp 代替 εk，用 x、 y、 z、 vx、 vy、 vz 為軸構(gòu)成的六維空間中的體積元 xdydzdvxdvydvz 代替速度空間的體積元dvxdvydvz 玻爾茲曼能量分布律當(dāng)系統(tǒng)在力場中處于平衡態(tài)時(shí)，其中坐標(biāo)介于區(qū)間x~x+dx、 y~y+dy、 z~z+dz內(nèi)， 同時(shí)速度介于vx~vx+dvx， vy~vy+dvy， vz~vz+dvz內(nèi)的分子數(shù)為單位體積分子數(shù) nn0為在 ε p=0處，單位體積內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)。玻爾茲曼分子按能量分布律對(duì)所有可能的速度積分分子在坐標(biāo)間隔 x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz內(nèi)的分子數(shù)密度為 ：分子按勢能分布律?重力場中粒子按高度的分布 (ε p=mgh)?重力場中，一方面是無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)使氣體分子均勻分布于它們所能夠到達(dá)的空間。另一方面是重力要使氣體分子聚集到地面上。這兩種作用平衡時(shí)，氣體分子則在空間作非均勻分布，即氣體分子數(shù)密度隨高度的增加按指數(shù)規(guī)律減??；?分子質(zhì)量越大，受重力的作用越大，分子數(shù)密度減小得越迅速； ?對(duì)于溫度較高的氣體，分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)劇烈。分子數(shù)密度隨高度減小比較緩慢。法國物理學(xué)家佩蘭據(jù)此測量了玻耳茲曼常數(shù)進(jìn)而得到了阿伏伽德羅常數(shù)，于 1922年獲得了諾貝爾物理獎(jiǎng)。假設(shè)： 大氣為理想氣體 不同高度處溫度相等利用： p = nkT 可得 :每升高 10米，大氣壓強(qiáng)降低 133Pa。 近似符合實(shí)際，可粗略估計(jì)高度變化。二、重力場中等溫氣壓公式近似估計(jì)高度 167。 能量按自由度均分定理 (Theorem of Equipartition of Energy according to Degree of Freedom)一、自由度 (Degree of Freedom)物體運(yùn)動(dòng)的自由度 質(zhì)點(diǎn)的自由度：