【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1)12(j iij k ??? 由以上分析知，只有 s0點(diǎn)右側(cè)實(shí)軸上的開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)，才滿足相角條件。 27 規(guī)則四 漸近線 當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù) n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù) m時(shí) ， 系統(tǒng)有nm條根軌跡終止于 S平面的無窮遠(yuǎn)處 ， 這 nm條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線 ， 因此 ， 浙近線也有 nm條 ， 且它們交于實(shí)軸上的一點(diǎn) 。 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)位置 和與實(shí)軸正方向的交角 分別為 aσa? mnZPm1jjn1iia ?????? ??? ?1mn,0,1 ,2,kmn 1k2a ???? ?? ???28 在例 61中，開環(huán)傳遞函數(shù)為 開環(huán)極點(diǎn)數(shù) n=2,開環(huán)零點(diǎn)數(shù) m=0,nm=2,兩條漸近線在實(shí)軸上的交點(diǎn)位置為 它們與實(shí)軸正方向的交角分別為 和 ，兩條漸近線正好與 時(shí)的根軌 跡重合。 1rK ?2)s(sKH(s)G(s) r??12 2σ a ???? 0)(k2π 1)(kπ3 ?29 例 62 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。 解 對(duì)于該系統(tǒng)有 n=4， m=1， nm=3；三條漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)位置為 它們與實(shí)軸正方向的交角分別是 漸近線如圖 63所示 。 4)1)(s(ss2)(sKH(s)G(s)2r????13 241σ a ?????? 0)(k60π ??? 1)(k180π ??? 2)(k603π5 ????30 圖 63 根軌跡的漸近線 ??j4 3 2 1 0BCAa??60?60?3 0 0a??18031 規(guī)則五 根軌跡的分離點(diǎn) 分析例 61， 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)增益 由零到無窮大變化時(shí) ，兩條根軌跡先是在實(shí)軸上相向運(yùn)動(dòng) ( ),然后它們相遇在 點(diǎn) ， 當(dāng) 后 ， 它們便離開實(shí)軸進(jìn)入 S平面 ， 且離開實(shí)軸時(shí) ， 根軌跡與實(shí)軸正交 。 我們稱該點(diǎn)為根軌跡的分離點(diǎn) 。 實(shí)際上 , 點(diǎn)是例 61系統(tǒng)特征方程的等實(shí)根 ， 它對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益 。 一般 ， 常見的根軌跡分離點(diǎn)是位于實(shí)軸上兩條根軌跡分支的分離點(diǎn) 。 如例 61中的 點(diǎn) 。 若根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)極點(diǎn)之間 （ 其中一個(gè)可以是無限極點(diǎn) ） ， 則在這兩個(gè)極點(diǎn)之間至少存在一個(gè)分離點(diǎn)；若根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)零點(diǎn)之間 （ 其中一個(gè)可以是無限零點(diǎn) ） ， 則在這兩個(gè)零點(diǎn)之間也至少有一個(gè)分離點(diǎn) 。 如圖 65上的分離點(diǎn) 和 。 但在有些情況下 ， 根軌跡的分離點(diǎn)也可能以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面上 ， 如圖 66中的分離點(diǎn) A和 B。 顯然 ， 復(fù)平面上的分離點(diǎn)表明系統(tǒng)特征方程的根中至少有兩對(duì)相等的共軛復(fù)根存在 。 r0 K 1??rK1?? ?1Kr ?? 0j1,? j1,?1d232 圖 65 實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn) ??j4 3 2 1 01d2d分離點(diǎn)??j4p3p1p2pAB0[s]圖 66 復(fù)平面上的分離點(diǎn) 33 由上面分析可知 ， 確定根軌跡的分離點(diǎn) ， 實(shí)質(zhì)上就是求出系統(tǒng)特征方程的等實(shí)根 （ 實(shí)軸上的分離點(diǎn) ） 或等共軛復(fù)根 （ 復(fù)平面上的分離點(diǎn) ） 。 系統(tǒng)的特征方程可寫成 （ 622） 對(duì)式（ 622）求導(dǎo)可得 （ 623） 式 （ 623） 稱為分離點(diǎn)方程 。 對(duì)于一個(gè) n階系統(tǒng) ， 解式 （ 623） 可得到 n1個(gè)根 分離點(diǎn)方程的另一種形式為 （ 624） 式中 ， 為開環(huán)零點(diǎn)的數(shù)值 ， 為開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值 。 rm1jjn1iiK)Z(s)P(s??? ?? ??? 0)Z(s)P(sdsdαsm1jjn1ii?????????????? ?? ????).1,2,(nα 1n ???? ??? ? ?? n 1iim1j j Pα1Zα1jZiP34 當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)無有限零點(diǎn)時(shí)，則在方程（ 624）中，應(yīng)取 。此時(shí)，分離點(diǎn)方程即為 （ 625） 只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點(diǎn) 。 若在這些根中有共軛復(fù)根 ， 如何判斷共軛復(fù)根是否在根軌跡上 ， 是一個(gè)比較復(fù)雜的問題 ， 但由于只有當(dāng)開環(huán)零 、 極點(diǎn)分布非常對(duì)稱時(shí) ， 才會(huì)出現(xiàn)復(fù)平面上的分離點(diǎn) （ 如圖 66所示 ） ， 因此 ， 用觀察法可大體上判斷 ， 然后將其代入特征方程中進(jìn)行驗(yàn)算 ， 即可確定 。 對(duì)于例 61， 由式 （ 623） 可得分離點(diǎn)方程 即 解得 ， 位于實(shí)軸根軌跡上 （ 由 0到 2的線段上 ） ，故它是實(shí)軸上的分離點(diǎn) 。 0Zα 1m1j j?? ?? 0Pα1n1i i ??? ? ? 0s2sdsdαs2 ???02α2 ??1α ??35 例 64 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求出系統(tǒng)根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)。 解 本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點(diǎn) ， 由式 （ 625） 可得 即 解出 ， ， 由規(guī)則五知，實(shí)軸上的根軌跡為 1到 2線段和 3到 ∞線段。 不在上述兩線段上，應(yīng)舍去。 是實(shí)軸根軌跡上的點(diǎn)，它就是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。運(yùn)用前面的六條規(guī)則，可繪制如圖 67所示的根軌跡圖。 3)2)(s1)(s(sKH(s)G(s) r???? 03α 12α 11α 1 ?????? 011α12α3 2 ??? ?? 2 ?? 1 ?? 36 圖 67 根軌跡的分離點(diǎn) ?j01231P2P3P1?2???rK??rK?37 規(guī)則六 起始角與終止角 當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有復(fù)數(shù)極點(diǎn)或零點(diǎn)時(shí) ，根軌跡是沿著什么方向離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的呢 ？ 這就是所謂的起始角和終止角問題 , 先給出定義如下： ⑴起始角 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處在切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖 48（ a）中的 和 。 ⑵終止角 根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖 68（ b）中的 和 。 plθ1p2pzlθ 1zθ2zθ38 圖 68(a) 根軌跡的起始角和終止角 ?j?3P2P1P0[s]1p?2p?39 ?j?[s]1z2z1p2p1z?2z?0圖 68(b) 根軌跡的起始角和終止角 40 )p)(sps(s)z(sKH(s)G(s)211r ?? ??1P23P1Z21pθ2pθ通過例 65分析起始角與終止角的大小。 例 65 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 且 和 為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)， 和 分別為實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，它們?cè)?S平面上的分布如圖 69所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn) 和 的起始角 和 。 41 圖 69 起始角 的求取 1p?[s]??j1z1p2p3p)(31pp ??)(21pp ??)(11zp ??01p?A 對(duì)于根軌跡上無限靠近 p