【正文】 第六章 根軌跡法 ? 167。 6–1 根軌跡的概念 ? 167。 6–2 繪制根軌跡的規(guī)則 ? 167。 6–3 廣義根軌跡 ? 167。 6–4 系統(tǒng)性能分析 1 根軌跡法是一種圖解方法 ， 它是古典控制理論中對系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基本方法之一 。 由于根軌跡圖直觀地描述了系統(tǒng)特征方程的根 （ 即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn) ） 在 S平面上的分布 ， 因此 ， 用根軌跡法分析控制系統(tǒng)十分方便 ， 特別是對于高階系統(tǒng)和多回路系統(tǒng) ， 應(yīng)用根軌跡法比用其他方法更為方便 ， 因此在工程實(shí)踐中獲得了廣泛應(yīng)用 。 本章主要介紹根軌跡的概念 ， 繪制根軌跡的基本規(guī)則和用根軌跡法分析自動(dòng)控制系統(tǒng)的方法 。 2 167。 6–1 根軌跡的概念 一 ﹑ 根軌跡圖 根軌跡圖是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)由零變化到無窮時(shí) ， 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根 （ 即閉環(huán)極點(diǎn) ） 在S平面上的變化軌跡 。 例 61 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試分析該系統(tǒng)的特征方程的根隨系統(tǒng)參數(shù) 的變化在 S平面上的分布情況。 2)s(sK)H(G(s)??rsrK3 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)的特征方程為 特征方程的根是 設(shè) 〔 0, ∞﹚ ， 當(dāng) 時(shí) , 。 當(dāng) 時(shí) ， 與 為不相等的兩個(gè)負(fù)實(shí)根； 當(dāng) 時(shí) ， 為等實(shí)根； r2rKs2sKH(s)G(s)1G(s)R(s)C(s)(s)??????? 0Ks2s r2 ??? r2r1 K11s,K11 ????????0rK ?r?01rK?? 2s,0s 21 ??12 1rK ? 1s 21 ???4 當(dāng) 時(shí) ， 為一對共軛復(fù)根 ， 其實(shí)部都等于 1， 虛部隨 值的增加而增加； 當(dāng) →∞ 時(shí) ， 、 的實(shí)部都等于 1， 是常數(shù) ， 虛部趨向無窮遠(yuǎn)處 。 rK1 rK? ? ?s2 1K1s 2,1 ???? rjrK 該系統(tǒng)特征方程的根隨開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)從零變到無窮時(shí)在 S平面上變化的軌跡如 圖 61所示。 5 ?j?21 0??rK??rK? ?01?rKP ? ?02?rKP? ?1?rK[s]圖 61 例 61的根軌跡 6 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù) 為某一確定的值時(shí) ， 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在 S平面上變化的位置便可確定 ，由此可進(jìn)一步分析系統(tǒng)的性能 。 值的變化對閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的影響可在根軌跡上直觀地看到 ，因此系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響也一目了然 。 所以用根軌跡圖來分析自動(dòng)控制系統(tǒng)是十分方便的 。上例中 ， 根軌跡圖是用解析法作出的 ， 這對于二階系統(tǒng)并非難事 ， 但對于高階系統(tǒng) ， 求解特征方程的根就比較困難了 。 如果要研究系統(tǒng)參數(shù)的變化對閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的影響 ， 需要大量反復(fù)的計(jì)算 。 1948年伊萬斯 （ WREVANS） 提出了 根軌跡法 。 該方法不需要求解閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程 ， 只需依據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)便可會繪制系統(tǒng)的根軌跡圖 。 rKrK7 二 、 開環(huán)零 、 極點(diǎn)與閉環(huán)零 、 極點(diǎn)之間的關(guān)系 通常系統(tǒng)的開環(huán)零 、 極點(diǎn)是已知的 ， 因此建立開環(huán)零 、 極點(diǎn)與閉環(huán)零 、 極點(diǎn)之間的關(guān)系 ， 有助于閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的繪制 ， 并由此引導(dǎo)出根軌跡方程 。 設(shè)控制系統(tǒng)如圖 62所示 ， 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 (61) )s(H)s(G1)s(G)s(???G(s)H(s)R(s) C(s)圖 62 控制系統(tǒng) 8 前向通路傳遞函數(shù) G(s)和反饋通路傳遞函數(shù) H(s)可分別表示 （ 62） （ 63） 式中 為前向通路增益 ， 為前向通路根軌跡增益； 為反饋通路增益 ， 為反饋通路根軌跡增益 。 ????????????????? q1i if1j jr1q1i if1j j1)Ps(s)Zs(K)1sT(s)1s(K)s(G??????????????? h1i il1j jr2h1i il1j j2)Ps()Zs(K)1sT()1s(K)s(H1K r1K2 29 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 (64) 為系統(tǒng)的開環(huán)增益 ， 為開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益； m=f+L 為開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù) ， 為開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù) 。 將式 （ 62） 和 （ 64） 代入 （ 61） 可得 （ 65） ????????????????????? n1i im1j jrn1i im1j j)Ps(s)Zs(K)1sT(s)1s(K)s(H)s(G21 KKK ?? ???? hqn?????????????????? m1j irn1i ih1j jf1i ir1)Zs(K)Ps(s)Ps()Zs(K)s(r2r1 K??r10 比較式 （ 64） 和式 （ 65） ， 可得以下結(jié)論： ⑴ 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益 ， 等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益 ；對于單位反饋系統(tǒng) ， 閉環(huán)系統(tǒng)根跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益 。 ⑵ 閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)零點(diǎn)和反饋通路傳遞函數(shù)極點(diǎn)所組成；對于單位反饋系統(tǒng) ，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn) 。 ⑶ 閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn) 、 開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益 均有關(guān) 。 r1KrK11 根軌跡法的基本任務(wù)：由已知的開環(huán)零 、極點(diǎn)的分布及根軌跡增益 ， 通過圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn) , 一旦閉環(huán)極點(diǎn)被確定 ， 閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式便不難確定 ， 因?yàn)殚]環(huán)零點(diǎn)可由式 （ 65） 直接得到 。 在已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的情況下 ， 閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)可利用拉氏反變換的方法求出 ， 或利用計(jì)算機(jī)直接求解 。 12 三 、 根軌跡增益 與開環(huán)系統(tǒng)增益 K的關(guān)系 系統(tǒng)的開環(huán)增益 （ 或開環(huán)放大倍數(shù) ） 為 （ 66） 式中 是開環(huán)傳遞函數(shù)中含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù) ，由它來確定該系統(tǒng)是零型系統(tǒng) （ ） ,Ⅰ 型系統(tǒng)（ ） 或 Ⅱ 型系統(tǒng) （ ） 等 。 將 （ 64） 代入 （ 66） 可得 )s(H)s(GslimK 0s ???? 0?? 21?r ???????????????????νn1iim1jjrνn1iim1jjr0sν0s)P()Z(K)P(s)Z(sKlimH(s)G(s)slimK13 開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益 與開環(huán)系統(tǒng)的增益 K之間僅相差一個(gè)比例常數(shù) ， 這個(gè)比例常數(shù)只與開環(huán)傳遞函數(shù)中的零點(diǎn)和極點(diǎn)有關(guān) 。 由式 （ 64） 可知 ， 根軌跡增益 （ 或根軌跡放大系數(shù) ） 是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的分子 ﹑ 分母的最高階次項(xiàng)的系數(shù)為 1的比例因子 。 在例 61中系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其開環(huán)增益為 對于該系統(tǒng) ， 根軌跡增益 與開環(huán)增益 K之間的是 ， 它們之間僅相差一個(gè)比例常數(shù) 2。 rK )2s(sKH(s)G(s) r?? 2K)s(H)s(sGlim r0s ?? ?r K2K r ?14 四 、 根軌跡與系統(tǒng)性能 以圖 61為例進(jìn)行說明 穩(wěn)定性 如果系統(tǒng)特征方程的根都位于 S平面的左半部 ， 系統(tǒng)是穩(wěn)定的 ， 否則是不穩(wěn)定的 。 若根軌跡穿越虛軸進(jìn)入右半 S平面 ， 根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的 K值 ， 就是臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益Kc。 穩(wěn)態(tài)性能 開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn) ， 所以屬 Ⅰ 型系統(tǒng) ， 因而根軌跡上的 K值就是靜態(tài)速度