【正文】 uv1)1v()1u()1u(v22uvtg222210)1v()1u( )1u(v22u v 22 ???? ???0v2u4u 22 ???? 222 )2(v)2u( ???方程表示在 S平面上的根軌跡是一個圓心位于點 、半徑為 的圓弧。由此，可畫出根軌跡的準(zhǔn)確圖形如圖612所示。 )0j,2(?256 圖 612 例 68系統(tǒng)的根軌跡圖 ?j?[s]0123)0(1?rKP1p?)0(2?rKP2p?1??1?4rK??11)(1??rKZ57 由本例不難發(fā)現(xiàn) ， 由兩個開環(huán)極點 （ 實極點或復(fù)數(shù)極點 ） 和一個開環(huán)實零點組成的二階系統(tǒng) ， 只要實零點沒有位于兩個實極點之間 ，當(dāng)開環(huán)根軌跡增益 由零變到無窮大時 ， 復(fù)平面上的閉環(huán)根軌跡 ， 是以實零點為圓心 ， 以實零點到分離點的距離為半徑的一個圓 （ 當(dāng)開環(huán)極點為兩個實極點時 ） 或圓的一部分 （ 當(dāng)開環(huán)極點為一對共軛復(fù)數(shù)極點時 ） 。 這個結(jié)論在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格證明可參照本例進(jìn)行 。 rK58 例 69 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。 解 ⑴ 由已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可得到它的特征方程為 由規(guī)則一和規(guī)則二知 ， 該系統(tǒng)的根軌跡共有 4條分支（ n=4） ， 4條根軌跡連續(xù)且對稱于實軸 。 )2s2s)(2s(srK)s(H)s(G 2???? 0Ks4s6s4s r234 ?????⑵由規(guī)則三知， 4條根軌跡的起點分別是系統(tǒng)的 4個開環(huán)極點 ,即 ， 。由于系統(tǒng)無有限開環(huán)零點（ m=0）， 4條根軌跡的終點 均在 S平面的無窮遠(yuǎn)處（無窮零點）。 1j1p 3 ???0p1 ? 22 ?? 1j14 ???59 漸近線與實軸正方向的交角為 當(dāng) k = 0時， 當(dāng) k = 1時 ， 當(dāng) k = 2時 ， 當(dāng) k = 3時， πmn 1k2a ? ??? ????? 5134π5a ?? 5133 ???? 454π7a ?? 454πa⑶ 由規(guī)則四可求出 4條根軌跡漸近線與實軸的交點為 104 j1j12mn zp jia ??? ??????? ?????60 ⑷由規(guī)則五知，實軸上的根軌跡是實軸上由 0到 2的線段。⑸由規(guī)則六可求出根軌跡與實軸的交點（分離點）。分離點方程是 即 解方程得到三個根 ， 它們是 0|)]2s2s)(2s(s[(dsd s2 ???? ??0133 23 ??????? 1 ?? 12 ?? ?? 不在實軸上的根軌跡上 ， 不是分離點； 和 在實軸根軌跡上 ， 它們是根軌跡與實軸交點的合理值 ， 即 和 是兩個分離點 。 13 21?2⑹ 由規(guī)則七可求出復(fù)數(shù)極點 和 的出射角 3p4? ??????????????????????909045135180)pp()pp()pp(180 432313??????? 9034 pp61 ⑺ 該系統(tǒng)為 4階系統(tǒng) ， 用解析法求根軌跡與虛軸的交點 和對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值 比較困難 。下面采用勞斯判據(jù)求出 和 的值 。 根據(jù)系統(tǒng)的特征方程列出勞斯表如下： 1 6 4 4 0 5 0 0 5K420 r?c?rcKc? rcrKrr3s20s 令勞斯表中 行的首項系數(shù)為零 ， 求得 ， 由 行系數(shù)寫出輔助方程為 令 ， 并將 代入輔助方程可求出 。 系統(tǒng)的根軌跡如圖 613所示 。 5rc ?2 0Ks5 r2 ???? j 5K rcr ??1c ???62 ?[s]?j)(3??rKP)(4??rKP)0(2?rKP )0(1?rKP?? 90??rK??rKrK??rK??2 01 1?2?)5(1 ?rcKj圖 613 例 69系統(tǒng)的根軌跡圖 63 167。 63 廣義根軌跡 前面介紹的普通根軌跡或一般根軌跡的繪制規(guī)則是以開環(huán)根軌跡增益 為可變參數(shù)的 ，大多數(shù)系統(tǒng)都屬于這種情況 。 但有時候 ， 為了分析系統(tǒng)方便起見 ， 或著重研究某個系統(tǒng)參數(shù)(如時間節(jié)數(shù) 、 反饋系數(shù)等 )對系統(tǒng)性能的影響 ，也常常以這些參數(shù)作為可變參數(shù)繪制根軌跡 ，我們把以非開環(huán)根軌增益 作為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做參數(shù)根軌跡 (或廣義根軌跡 )。 下面先看 — 個例子 。 rKr一 . 參數(shù)根軌跡 64 例 610 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制以時間常數(shù) T 為可變參數(shù)的根軌跡。 解 ⑴系統(tǒng)的特征方程是 或 用 去除等式兩邊得 )1s)(1Ts(s2)s(H)s(G??? 02)1s)(1Ts(s ???? 02ss)1s(Ts 22 ?????2ss 2 ?? 02ss)1s(Ts122?????65 令 （ 635） 則有 （ 636） 我們稱 為系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù) 。在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中 ， 除時間常數(shù) T取代了普通根軌跡中開環(huán)根軌跡增益 的位置外 ， 其形式與繪制普通根軌跡的開環(huán)傳遞函數(shù)完全一致 ， 這樣便可根據(jù)繪制普通根軌跡的七條基本規(guī)則來繪制參數(shù)根軌跡 。 2ss)1s(Ts)s(H)s(G22??????0)s(H)s(G1 ???? )s(H)s(G ??rK66 ⑵ 系統(tǒng)特征方程的最高階次是 3， 由規(guī)則一和規(guī)則二知 ， 該系統(tǒng)有三條連續(xù)且對稱于實軸的根軌跡 ， 根軌跡的終點 (T=∞)是等效開環(huán)傳遞函數(shù)的三個零點 ， 即 ；本例中 ， 系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零點數(shù) m=3,極點數(shù) n=2， 即 m＞ n。 我們在前面已經(jīng)指出 ， 這種情況在實際物理系統(tǒng)中一般不會出現(xiàn) ， 然而在繪制參數(shù)根軌跡時 ， 其等效開環(huán)傳遞函數(shù)卻常常出現(xiàn)這種情況 。 1,0 321 ???? zzz67 與 n＞ m情況類似 ， 這時我們認(rèn)為有 mn條根軌跡起始于 S平面的無窮遠(yuǎn)處 （ 無限極點 ） 。因此 ， 本例的三條根軌跡的起點 (T=0)分別為 ， 和無窮遠(yuǎn)處 （ 無限極點 ） 。 由規(guī)則三知 ， 實軸上的根軌跡是實軸上 1至 ∞線段 。 由規(guī)則六可求出兩個等效開環(huán)復(fù)數(shù)極點的起始角分別為 jp ??? jp ??? ????????????? 3090120230601801p ? ?????? 3012 pp68 由規(guī)則七可求出根軌跡與虛軸的兩個交點 ，用 代入特征方程得 由此得到虛部方程和實部方程分別為 解虛部方程得 的合理值為 ， 代入實部方程求得 秒 ， 所以 為根軌跡與虛軸的兩個交點 。 ?? js 02j)1T(jT 23 ????????????????????0)1T(20T23? T1c ??? 1Tc ? 1c ???69 ?[s]?j)(1??Tz)(2??Tz0)0(2?Tp1)0(pT ?1p?2p?T?0?1 2 0?601 3)(zT ??1)1(jTc?)1(1??cTj圖 614 例 610系統(tǒng)的根軌跡圖 70 最后繪制出以時間常數(shù) T為可變參數(shù)的根軌跡圖如圖 614所示 。 由根軌跡圖可知 ， 時間常數(shù) 秒時 ， 系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài) ， T1秒時 ， 根軌跡在 S平面右半部 ， 系統(tǒng)不穩(wěn)定 。 由此可知 ， 參數(shù)根軌跡在研究非開環(huán)根軌跡增益 對系統(tǒng)性能的影響是很方便的 。 由上面的例子 ， 可將繪制參數(shù)根軌跡的方法歸納為下述兩個步驟： ⑴ 先根據(jù)系統(tǒng)的特征方程 求出系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù) ， 使 與繪制普通根軌跡的開環(huán)傳遞函數(shù)有相同的形式 ， 即 1TT c ??rK 0)s(H)s(G1 ?? )s(H)s(G ?? )s()s( ??71 其中 為除開環(huán)根軌跡增益 以外的任何參數(shù) ， 它是繪 制參數(shù)根軌跡的可變參數(shù) 。 ⑵ 然后根據(jù)繪制普通根軌跡的七條基本規(guī)則和等效 開環(huán)傳遞函數(shù) 繪制出系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡 。 )s(H)s(G ??rK? rK? ?? ???????n1iim1jjr)ps()zs(K)s(H)s(G（ 637） 72