【正文】 j????????????? ????19 綜上分析 ， 可以得到如下結(jié)論： ⑴ 繪制根軌跡的相角條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益 值的大小無關(guān) 。因此，系統(tǒng)的特征方程便是繪制根軌跡的依據(jù)。 當(dāng) 時 ， 特征方程為一對共軛復(fù)根 ， 系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng) ， 單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程 ， 振蕩幅度或超調(diào)量隨 值的增加而加大 ， 但調(diào)節(jié)時間不會有顯著變化 。 若根軌跡穿越虛軸進(jìn)入右半 S平面 ， 根軌跡與虛軸交點處的 K值 ， 就是臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益Kc。 將 （ 64） 代入 （ 66） 可得 )s(H)s(GslimK 0s ???? 0?? 21?r ???????????????????νn1iim1jjrνn1iim1jjr0sν0s)P()Z(K)P(s)Z(sKlimH(s)G(s)slimK13 開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益 與開環(huán)系統(tǒng)的增益 K之間僅相差一個比例常數(shù) ， 這個比例常數(shù)只與開環(huán)傳遞函數(shù)中的零點和極點有關(guān) 。 ⑶ 閉環(huán)極點與開環(huán)零點 、 開環(huán)極點以及根軌跡增益 均有關(guān) 。 設(shè)控制系統(tǒng)如圖 62所示 ， 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 (61) )s(H)s(G1)s(G)s(???G(s)H(s)R(s) C(s)圖 62 控制系統(tǒng) 8 前向通路傳遞函數(shù) G(s)和反饋通路傳遞函數(shù) H(s)可分別表示 （ 62） （ 63） 式中 為前向通路增益 ， 為前向通路根軌跡增益； 為反饋通路增益 ， 為反饋通路根軌跡增益 。R 所以用根軌跡圖來分析自動控制系統(tǒng)是十分方便的 。 當(dāng) 時 ， 與 為不相等的兩個負(fù)實根； 當(dāng) 時 ， 為等實根； r2rKs2sKH(s)G(s)1G(s)R(s)C(s)(s)??????? 0Ks2s r2 ??? r2r1 K11s,K11 ????????0rK ?r?01rK?? 2s,0s 21 ??12 1rK ? 1s 21 ???4 當(dāng) 時 ， 為一對共軛復(fù)根 ， 其實部都等于 1， 虛部隨 值的增加而增加； 當(dāng) →∞ 時 ， 、 的實部都等于 1， 是常數(shù) ， 虛部趨向無窮遠(yuǎn)處 。 2 167。 6–3 廣義根軌跡 ? 167。第六章 根軌跡法 ? 167。 6–4 系統(tǒng)性能分析 1 根軌跡法是一種圖解方法 ， 它是古典控制理論中對系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基本方法之一 。 6–1 根軌跡的概念 一 ﹑ 根軌跡圖 根軌跡圖是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)由零變化到無窮時 ， 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根 （ 即閉環(huán)極點 ） 在S平面上的變化軌跡 。 rK1 rK? ? ?s2 1K1s 2,1 ???? rjrK 該系統(tǒng)特征方程的根隨開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)從零變到無窮時在 S平面上變化的軌跡如 圖 61所示。上例中 ， 根軌跡圖是用解析法作出的 ， 這對于二階系統(tǒng)并非難事 ， 但對于高階系統(tǒng) ， 求解特征方程的根就比較困難了 。EVANS） 提出了 根軌跡法 。 ????????????????? q1i if1j jr1q1i if1j j1)Ps(s)Zs(K)1sT(s)1s(K)s(G??????????????? h1i il1j jr2h1i il1j j2)Ps()Zs(K)1sT()1s(K)s(H1K r1K2 29 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 (64) 為系統(tǒng)的開環(huán)增益 ， 為開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益； m=f+L 為開環(huán)系統(tǒng)的零點數(shù) ， 為開環(huán)系統(tǒng)的極點數(shù) 。 r1KrK11 根軌跡法的基本任務(wù)：由已知的開環(huán)零 、極點的分布及根軌跡增益 ， 通過圖解的方法找出閉環(huán)極點 , 一旦閉環(huán)極點被確定 ， 閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式便不難確定 ， 因為閉環(huán)零點可由式 （ 65） 直接得到 。 由式 （ 64） 可知 ， 根軌跡增益 （ 或根軌跡放大系數(shù) ） 是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的分子 ﹑ 分母的最高階次項的系數(shù)為 1的比例因子 。 穩(wěn)態(tài)性能 開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點有一個極點 ， 所以屬 Ⅰ 型系統(tǒng) ， 因而根軌跡上的 K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù) 。 01rK??1r ?rK 1rK ?15 167。系統(tǒng)的特征方程為 0)s(H)s(G1 ?? 1)s(H)s(G ??rK16 當(dāng)系統(tǒng)有 m個開環(huán)零點和 n個開環(huán)極點時 ， 特征方程可寫成 式中 ， 為已知的開環(huán)零點 ， 為已知的開環(huán)極點 ， 為可從零變到無窮的開環(huán)根軌跡增益 。 即在 S平面上 ， 所有滿足相角條件的點的集合的構(gòu)成系統(tǒng)的根軌跡圖 。 ⑶ 在系統(tǒng)參數(shù)確定的情況下 ， 凡能滿足相角條件和幅值條件的 S值 ， 就是對應(yīng)給定參數(shù)的特征根 ，或系統(tǒng)的閉環(huán)極點 。 rK21 規(guī)則一 根軌跡的起點和終點 幅值條件可寫成 當(dāng) ， 必須有 此時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)極點相同 (重合 )，我們把開環(huán)極點稱為根軌跡的起點，它對應(yīng)于開環(huán)根軌跡增益 。 2． 當(dāng) mn時 ， 即開環(huán)零點數(shù)小于開環(huán)極點數(shù)時 ， 除有 m條根軌跡終止于開環(huán)零點 (稱為有限零點 )外 ， 還有 nm條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)點 (稱為無限零點 )。 23 結(jié)論： 根軌跡起始于開環(huán)極點 ，終止于開環(huán)零點 （ 或 )；如果開環(huán)極點數(shù) n大于開環(huán)零點數(shù) m， 則有 nm條根軌跡終止于 S平面的無窮遠(yuǎn)處(無限零點 )， 如果開環(huán)零點數(shù) m大于開環(huán)極點數(shù) n， 則有 mn條根軌跡起始于 S平面的無窮遠(yuǎn)處 (無限極點 )。 由于實際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實數(shù) ， 如果特征方程有復(fù)數(shù)根 ， 一定是對稱于實軸的共軛復(fù)根 ， 因此 ， 根軌跡總是對稱于實軸的 。 實軸上的根軌跡必須滿足繪制根軌跡的相角條件，即 規(guī)則三 實軸上的根軌跡 若實軸上某線段右側(cè)的開環(huán)零 、 極點的個數(shù)之和為奇數(shù) ， 則該線段是實軸上的根軌跡 。 若 s0為根軌跡上的點 ， 必滿足相角條件 ， ?? ?? ????4151)12(j iij k ??? 由以上分析知，只有 s0點右側(cè)實軸上的開環(huán)極點和開環(huán)零點的個數(shù)之和為奇數(shù)時，才滿足相角條件。 解 對于該系統(tǒng)有 n=4， m=1， nm=3；三條漸近線與實軸交點位置為 它們與實軸正方向的交角分別是 漸近線如圖 63所示 。 一般 ， 常見的根軌跡分離點是位于實軸上兩條根軌跡分支的分離點 。 但在有些情況下 ， 根軌跡的分離點也可能以共軛形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面上 ， 如圖 66中的分離點 A和 B。 對于一個 n階系統(tǒng) ， 解式 （ 623） 可得到 n1個根 分離點方程的另一種形式為 （ 624） 式中 ， 為開環(huán)零點的數(shù)值 ， 為開環(huán)極點的數(shù)值 。 對于例 61， 由式 （ 623） 可得分離點方程 即 解得 ， 位于實軸根軌跡上 （ 由 0到 2的線段上 ） ，故它是實軸上的分離