最優(yōu)消費和投資離散時間分析(編輯修改稿)
2025-03-10 12:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ,T ] ，他可以在 t=0,1,2,?,T1 這些離散的時點上做決策；他被賦予一定量的初始資源， W ( 0 ) 0 。n （ 2）單一消費品。只有一種用于當期消費的易腐消費品。它不可以儲藏，暫時不考慮它是如何生產(chǎn)出來的。216。 （ 3）資產(chǎn)價格運動。理想化的資本市場上存在 n+1 種資產(chǎn)，第 0 種資產(chǎn)是無風險的債券，它的單位時間總收益率為 R f ；其他 n 種都是風險資產(chǎn)，它們的總收益率定義為：Ri (t)是由外部經(jīng)濟環(huán)境外生決定的。外生經(jīng)濟環(huán)境用狀態(tài)變量 S (t )來表示。目前假定存在 m 個狀態(tài)變量，而且基于當前狀態(tài) S (t )的：均具有馬爾可夫性質(zhì)（ Markov property）。基于上面的假定，最優(yōu)消費和投資問題為：根據(jù)動態(tài)規(guī)劃原則，從倒數(shù)第一期開始解，這樣它就變成了熟悉的單期問題：n 先引入 T1 時刻的價值函數(shù)（ valuation function） J[W(T1),T1] ，即n 最優(yōu)化的一階條件：n 根據(jù)上式中的第二個一階條件，第一個一階條件又可以表示為：如果用 T1 期的價值函數(shù)（ 26）式對 W 做微分（使用連鎖法則和導數(shù)基本運算法則），就有：n 它的經(jīng)濟學含義就是：在消費者均衡時，當期消費的邊際效用就等于財富（未來消費）的邊際效用。當期消費與投資比例的選擇既影響生活質(zhì)量U1（ C） ，也影響投資預算基金的數(shù)量。當前每增加一單位的消費就減少可投資的財富，因而獲得時際最優(yōu)的標準條件就是 消費的邊際效用等于財富的邊際效用。而且根據(jù)上式容易知道，因為 U CC 0，所以有J WW 0 ，因此 J 是財富的嚴格凹函數(shù)。n 可以繼續(xù)對倒數(shù)第二期做類似的工作，這時的價值函數(shù)為：n 把這一個重復（ recursive）過程遞推到 T T4 ， ?， t 時期。根據(jù)最優(yōu)化原理，在 t 期價值函數(shù)的一般形式是：n 類似地可以獲得 n + 1 個一般最優(yōu)化條件（general optimality condition）：n 把它們代入價值函數(shù)并求解，就可以得出 J[W(t),t]。如此這般反復，疊代到最后的 0時期，問題就徹底解決了。n 回顧前一章中的靜態(tài)問題，可以發(fā)現(xiàn)在靜態(tài)模型中，個人以最大化期末財富為惟一目標，效用函數(shù)是外生的，且僅僅包含期末財富這一個變量（如最大化二次效用，進而導出均方原則）。而在跨期模型中的（期間）財富的效用函數(shù)是內(nèi)生、引至的。不僅如此，它還取決于狀態(tài)變量 S(t) 。特殊形式的效用函數(shù) :對數(shù)效用函數(shù)n 效用函數(shù)n 根據(jù)（ 26）式 ,T1 時期的價值函數(shù)就是：注意 ?上面的 T1 是指 T1 到 T 這一個時間段；而且以上 W 、 w *和 C *均為 T1 時期的數(shù)值，化簡得n 結(jié)論 1： 我們看到在對數(shù)效用函數(shù)這樣一個特例中，最優(yōu)消費水平是獨立于資產(chǎn)收益條件（投資機會）的，消費隨著財富水平的增加而遞增，隨著貼現(xiàn)因子的增加而減少。如果消費者時間偏好為 0，即 ?=1 ，這就是說投資者對于同等數(shù)量的當前消費和未來消費是無差異的
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