20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)13全稱量詞與存在量詞1(編輯修改稿)
2024-12-22 23:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 特稱命題的步驟： 1． 首先判定語句是否為命題 ， 若不是命題 ， 就當(dāng)然不是全稱命題或特稱命題 ． 2． 若是命題 ， 再分析命題中所含的量詞 ， 含有全稱量詞的命題是全稱命題 ， 含有存在量詞的命題是特稱命題 ． 3． 當(dāng)命題中不含量詞時(shí) ， 要注意理解命題含義的實(shí)質(zhì) ． 4． 一個(gè)全稱 (或特稱 )命題往往有多種不同的表述方法 ， 有時(shí)可能會(huì)省略全稱 (存在 )量詞 ， 應(yīng)結(jié)合具體問題多加體會(huì) ． 判斷下列語句是否是全稱命題或特稱命題 ． (1)有一個(gè)實(shí)數(shù) a， a不能取對(duì)數(shù)； (2)若所有不等式的解集為 A， 則有 A?R； (3)三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎 ？ (4)有的向量方向不定； (5)自然數(shù)的平方是正數(shù) ． [答案 ] (1)(4)為特稱命題 ， (2)(5)為全稱命題 ， (3)不是命題 ． [解析 ] 因?yàn)?(1)(4)含在存在量詞 ， 所以命題 (1)(4)為特稱命題；又因?yàn)?“ 自然數(shù)的平方是正數(shù) ” 的實(shí)質(zhì)是 “ 任意一個(gè)自然數(shù)的平方都是正數(shù) ” ， (2)含有全稱量詞 ， 故 (2)(5)為全稱命題 ． (3)不是命題 . 全稱命題與特稱命題的真假判斷 判斷下列命題的真假： (1) p ：所有的單位向量都相等； (2) p ：任一等比數(shù)列 { a n } 的公比 q ≠ 0 ； (3) p ：存在 x 0 ∈ R ， x20 ＋ 2 x 0 ＋ 3 ≤ 0 ； (4) p ：存在等差數(shù)列 { a n } ，其前 n 項(xiàng)和 S n ＝ n2＋ 2 n － 1. [分析 ] 主要考查如何判斷含有一個(gè)量詞的命題的真假 ，具體用到以下知識(shí)： (1)什么是單位向量 ？ 相等的向量是如何規(guī)定的 ？ (2)什么是等比數(shù)列 ？ 其公比的意義是什么 ？ (3)不等式 x2＋ 2x＋ 3≤0的解的情況如何 ？ 有解嗎 ？ (4)等差數(shù)列有何特征 ？ 其前 n項(xiàng)和公式是什么 ？ [ 解析 ] (1) p 是全稱命題，是假命題 ． 若兩個(gè)單位向量 e1， e2方向不相同時(shí)，顯然有 | e1|＝ | e2|＝ 1 ，但 e1≠ e2. (2) p 是全稱命題，是真命題 ． 根據(jù)等比數(shù)列的定義知，任一等比數(shù)列中，其每一項(xiàng) an≠ 0 ，所以其公比 q ＝an ＋ 1an≠ 0( n ＝ 1,2,3 ， ? ) ． (3) p 是存在性命題，是假命題 ． 因?yàn)閷?duì)于 所有的 x ∈ R ， x2＋ 2 x ＋ 3 ＝ ( x ＋ 1)2＋ 2 ≥ 20 恒成立 ． (4) p 是存在性命題，是假命題 ． 對(duì)于任一等差數(shù)列 { a n }( 首項(xiàng) a 1 ，公差 d ) ，其前 n 項(xiàng)和為：S n ＝ na 1 ＋12n ( n － 1) d ＝d2n2＋ ( a 1 －d2) n .因此不可能是 S n ＝ n2＋ 2 n－ 1 這種形式 ( 含常數(shù)式 ) ． [ 方法規(guī)律總結(jié) ] 對(duì)于全稱命題，若真，要證明其正確性，若假只需舉一反例，對(duì)于存在性命題，若真，只要有一個(gè)元素滿足即可；若假，全部否定才可以 ． 指出下列命題中 ， 哪些是全稱命題 ， 哪些是特稱命題 ， 并判斷其真假 ． (1)至少有一個(gè)整數(shù) ， 它既不是合數(shù) ， 也不是素?cái)?shù)； (2)存在 x∈ {x|x是無理數(shù) }， x2是無理數(shù)； (3)任意的 x∈ R， 則 x2＋ 2x＋ 10. [解析 ] (1)由于整數(shù) 1既不是合數(shù) ， 也不是素?cái)?shù) ， 所以特稱命題 “ 至少有一個(gè)整數(shù) ， 它既不是合數(shù) ， 也不是素?cái)?shù) ” 是真命題 ． (2)由于 π是無理數(shù) ， π2仍是無理數(shù) ， 所以特稱命題 “ 存在x∈ {x|x是無理數(shù) }， x2是無理數(shù) ” 是真命題 ． (3)x2＋ 2x＋ 1＝ (x＋ 1)2， 找不到一個(gè) x使 x2＋ 2x＋ 10， 所以全稱命題 “ 任意的 x∈ R， 則 x2＋ 2x＋ 1
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