【文章內(nèi)容簡介】 、眾數(shù)、極差 R、方差 S均方差 S等 xx~25 二 樣本平均值 1 概念 從總體中隨機(jī)抽取大小為 n的樣本，其數(shù)據(jù)分別為 x x … xn，則其樣本平均 值記為 樣本平均值 是總體 X數(shù)學(xué)期望 μ的估計(jì)值 若樣本數(shù)據(jù)的種類數(shù)為 k，第 j種數(shù)據(jù)的數(shù)值為 xj； xj出現(xiàn)的頻 數(shù)為 fj；此時(shí)可用下式計(jì)算： 例 1 2 性質(zhì) ???? kjjj xfnx11??26 例 1 從某工序加工的一批零件中隨機(jī)抽取樣本大小為 12的 數(shù)據(jù)。其尺寸分別為： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。試估計(jì)該 批零件的均值。 解： 或 )(12 1? ????????? ?x?27 2 性質(zhì) ● 是一個(gè)隨機(jī)變量，若總體的數(shù)學(xué)期望為 μ，方差為 σ2，則隨 機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望和方差分別為： 可以看出， n越大， ● 例 2 從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 5件測(cè)量其尺寸，得數(shù)據(jù)如下：， ， ， ， 。設(shè)母體的均方差 σ=1，試求尺寸的均 值及平均尺寸的方差。 ● 樣本平均值是描述隨機(jī)變量集中位置特征的最常用的量，通常 用對(duì)稱或近似對(duì)稱分布 ( 如正態(tài)分布 )隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的估計(jì)。 xx x28 三 眾數(shù) ?概念 :在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)頻數(shù)最多或頻率最大的數(shù)據(jù)稱為眾數(shù)。它也是描述數(shù)據(jù)集中位置的統(tǒng) 計(jì)量。 ?使用條件 ：只有當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)較多而且有 明顯的集中趨勢(shì)時(shí)，才能計(jì)算眾數(shù)。 ?例 3:試求例 1中樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù) 解：由 例 1表 ，顯然，樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為 。 29 四 中位數(shù) ● 概念 :將樣本數(shù)據(jù)按大小順序排列，若樣本大小 n為奇數(shù)， 排在正中央的數(shù)據(jù)為中位數(shù)；若樣本 大小為偶數(shù)，排在 中央的兩個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為中位數(shù)。中位數(shù)用 表 ● 例 4 試找出 11五個(gè)樣本數(shù)據(jù)和 11六個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中 解： 11的中位數(shù)為 6 11的中位數(shù)為 ● 當(dāng)總體為連續(xù)型隨機(jī)變量且概率密度曲線為對(duì)稱時(shí) (如正 態(tài)分布 )，常用中位數(shù)估計(jì)總體均 值 μ 據(jù)的影響。 ● 正態(tài)總體 的樣本中位數(shù) 漸進(jìn)為 ， 因此正態(tài)總體用 估計(jì) μ x~x~x~ )2,(2??? nN ),(2??N30 五 極差 ? 概念 :將樣本數(shù)據(jù)按大小順序排列，數(shù)列中最大值 max(xi)與最小數(shù)據(jù) min(xi)之差 稱為樣本的極差。記為 R。 ? 例 5 如例 4中，兩組數(shù)據(jù)的極差均為 R=113=8。 ? 作用 ：樣本極差是描述總體離散程度的數(shù)量值。 ? 在正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)場(chǎng)合 當(dāng) n10時(shí)，將數(shù)據(jù)分組求極差均值。 ndR???2111 ?? nnd n 102 ?? n31 六 樣本方差 ● 概念 : 設(shè) 樣本數(shù)據(jù) x x … 、 xn為來自總體 X的樣本 數(shù)據(jù)。若總體的數(shù)學(xué)期望 μ已知， 則樣本方 差 S2的計(jì)算公式為 若總體的數(shù)學(xué)期望 μ未知，則樣本方差 S2的 計(jì)算公式為： 樣本方差是總體 X方差 D(X)，即 σ2(X)的估計(jì)值 ● 常用計(jì)算公式 ● 例 32 常用計(jì)算公式 在實(shí)際問題中，經(jīng)常碰到的是數(shù)學(xué)期望 μ未知的情況。即： 在現(xiàn)場(chǎng)中，為計(jì)算方便，在 n較大時(shí)，有時(shí)使用下式代替進(jìn)行 在實(shí)際計(jì)算中，常用化簡整理后的下式進(jìn)行計(jì)算。 若樣本數(shù)據(jù)的種類數(shù)為 k，第 j種數(shù)據(jù)的數(shù)值為 xj， xj出現(xiàn)的頻 數(shù)為 fj，此時(shí)， S2 33 例 6 計(jì)算例 1所給樣本數(shù)據(jù)的方差 或 或 ][112 1? 22222 12 ????????? ? ?nS? )(1121? 2222212 ???????????? ? ?nS?])()()[(112 1? 2222 12 ????????? ? ?nS??34 七 樣本均方差 ● 概念 :總體 X的均方差 為方差 D（ X） (σ2（ X） )的正平方根， 即 因此有： )()( XDX ????????????????niiiniinxxnSSXxxnSSX1222122)(11)(?)(11)(??????????niniii nxxn 1122 ])([11???????kjjj xxfnSSX122 )(11)(?? ???????????kjkjjjjjjj nxfxfnxnxfn 112222 ])([11)(11● 例 7 試計(jì)算例 6中樣本數(shù)據(jù)的均方差 ● 樣本均方差是總體均方差的估計(jì)值 ??? S?)(x35 167。 ——頻數(shù)直方圖 一 概念： 頻數(shù)直方 圖是通過對(duì)隨機(jī)收集的樣本數(shù)據(jù) 進(jìn)行分組整理，并用圖形描述總體分布狀 態(tài)的一種常用工具 二 繪制程序 三 頻數(shù)直方圖、頻率直方圖、頻率密度直方圖和頻 率密度曲線 四 頻數(shù)直方圖的應(yīng)用 36 二 繪制程序 ? 例 8 從一批螺栓中隨機(jī)抽取 100件測(cè)量其外徑數(shù)據(jù)如下表所示。螺栓外徑規(guī)格為 。試?yán)L出頻數(shù)直方圖。 ? 繪制程序 8 0 8 4 4 9 8 0 8 3 0 5 0 0 5 8 0 8 8 8 8 3 5 6 8 4 2 3 5 9 5 5 5 5 7 0 2 7 3 5 3 7 7 7 3 2 3 9 1 2 0 0 4 5 9 2 5 0 6 8 0 5 0 6 3 0 9 0 5 2 9 8 0 5 0 9 5 4 0 5 2 8 2 5 5 0 7 2 0 0 5 8 2 5 8 7 5 1 9 2 ???單位： mm 37 繪制程序 1 xL和最小值 xS 數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)應(yīng) ≥50，并將數(shù)據(jù)排成矩陣形式。本例數(shù)據(jù) 個(gè)數(shù) n=100。最大值 xL=，最小值 xS= 2 3 k k值的選擇一般參考下表給出的經(jīng)驗(yàn)數(shù)值確定 本例選擇 k=10 4 確定組距 h 5 計(jì)算各組的上、下邊界值 6 計(jì)算各組的組中值 xi 7 統(tǒng)計(jì)落入各組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，整理成頻數(shù)表 8 作直方圖 n K 50100 610 100250 712 250以上 1020 ????? SL xxR數(shù)據(jù)分組組數(shù)表 38 4 h ? 組距即每個(gè)小組的寬度，或組與組之間的間隔 ? 本例中 ? 為分組方便，常在 h的計(jì)算值基礎(chǔ)上將其修約為測(cè)量單位的整數(shù)倍，并作適當(dāng)調(diào)整。 如本例測(cè)量單位為 ，將 h修約為 kRkxxh SL ??? ???h39 5 ? 為了不使數(shù)據(jù)漏掉，應(yīng)盡可能使邊界值最末一位為測(cè)量單位的 1/2。 ? 當(dāng) h為奇數(shù)時(shí)， 第一組邊界值應(yīng)為 ? 當(dāng) h 第一組上邊界值 =xS – 測(cè)量單位 /2 第一組下邊界值 =上邊界值 +h 一直計(jì)算