【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 31023ababbamGaxxxmGadxxmGatabab??????????????? 積分 ? ????Z Za ZdZmGZdZ? ??0 2 得 令 代入上式： O Z m f 太陽(yáng)中心 圖 [例 2] 兩個(gè)小環(huán)套在一懸掛著的大環(huán)上沿大環(huán)滑動(dòng) 解：大環(huán)和小環(huán)各受哪些力作用？ 如圖 ，大環(huán)在豎直方向所受的合力為 F=T2Ncosθmˊg (1) 2cos ?? ?mRNmg ??（ 2） ????mR?sin（ 3） 小環(huán)沿大環(huán)運(yùn)動(dòng)的微分方程為 由（ 3）式，有 ???? dgdR sin??? 積分上式得 )cos1(sin21 02 ???? ? ??? ? gdgR ?（ 4） （ 4）式代入（ 2）式可得 )2cos3()cos1(2coscos 2????????????mgmgmgmRmgN ? （ 5） （ 5）式代入（ 1）式： gmmgTF ????? ?? cos)2cos3(2（ 6） 當(dāng)合力 F≥0時(shí)大環(huán)上升，這時(shí) T=0，于是（ 6）式化為 0cos4cos660cos4cos622?????????mmmmmm????)2311(31cos mm ????? 上式成立的條件為 mmmm ????? 23,0231 即，因此： ① 大環(huán)可上升的條件為 mm ?? 23 ② 大環(huán)開(kāi)始上升時(shí)小環(huán)所處的位置為 )]2311(31cos [0 mmarc ????? [例 3]質(zhì)點(diǎn)沿?cái)[線(xiàn) ?sin4 RS ?運(yùn)動(dòng) 解 :半徑為 R的圓周沿 x軸純滾動(dòng)時(shí) ,圓周上一點(diǎn) P(x,y)的軌跡即為擺線(xiàn) .本題給 出擺線(xiàn)方程 ,求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度的大小 . 擺線(xiàn)方程通常表成直角坐標(biāo)形式 .如圖 : O R C Y D R C E P M 圖 X jRiRjRiRjRiRjRiRCMPCiRPMOPr??????????)cos1()sin()cos1()sin(cossin??????????????????????????? ????????)cos1()sin(???RyRx (1) 上式為 M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 (直角坐標(biāo)形式 ),稱(chēng)為擺線(xiàn) (式旋輪線(xiàn) )參數(shù)方程 . ????????dRdRdRdRdydxdS2sin2cos1(2)sin(])cos1([)()( 2222????????積分得 )2cos1(4)( ?? ?? RS (2) ??????? ???? 232,223設(shè) x軸正向與軌道切線(xiàn)正向之間的夾角為 ,由圖 : 則 (2)式為 )sin1(4)]23cos(1[4)(?????????RRS 將弧坐標(biāo)原點(diǎn)移至 4R處 ,上式為 ?? sin4)( RS ? (3) (3)式為以弧長(zhǎng)為變量的擺線(xiàn)方程 (軌跡方程 ) ???????s in24cos4????RaRS??????? ???? cos4cos4 Rd dRddS ??? ??????? cos4cos4 )cos4( 222 ?? RRRn ???nnn eReReaeaa ??????? ????? ??? cos4si n 22 ?????? 222 4 ?? ?Raaa n ??? 可見(jiàn) :切向加速度和法向加速度隨質(zhì)點(diǎn)的位置改變變化 ,但總的加速度的大小是常量 ． [例 4] 變質(zhì)量方塊串的運(yùn)動(dòng)。 x y F O 圖 NF2T1T方塊串的總長(zhǎng)為 L，單位質(zhì)量為 ρ，開(kāi) 始時(shí)排列放在桌面上，右端正好排列到桌緣， 小方塊與桌面的動(dòng)摩擦因數(shù)為 μ，用恒力 F沿水平方向從左端推動(dòng)該列小方塊。求當(dāng)左端剛好達(dá)到桌緣時(shí)，這列小方塊的速度。 解：以桌面上（水平方向）和豎直方向兩部分方塊串為研究對(duì)象，它們的質(zhì)量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不斷變化，是變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，其運(yùn)動(dòng)方程分別為 1)( TFFgxxxdtd ??? ??? ?（ 1） 2)( TFFygyydtd ??? ??（ 2） 在轉(zhuǎn)角處，方塊串微元 dldm ??的運(yùn)動(dòng)方程為 21 TTN FFFrdl?????? ????（ 3） 當(dāng) 0?? dldm ?時(shí) 021 ??? TTN FFF ??? NTT FF 2221 ??? 代入（ 1）、（ 2）式，并相減，得 ??Fgyxyyxxdtd ???? )()( ??因 yxLyxLyx ?? ?????? ,，代入上式，可得 yLggLFy )1()( ???? ????? yLggLFdy ydydtdydy ydy )1()( ?????? ???????? dyyLggLFydy ])1()[( ???? ????? 積分上式并利用初始條件 t=0時(shí)， 0,0 ?? yy ?，得 gLFLLgLgLFy)1(2])1()(2[ 2122????????????? [例 5]帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 的電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 ，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 E?B? 求電荷量為 q，質(zhì)量為 m的帶電粒子在電場(chǎng)強(qiáng)度為 解：（ 1）帶電粒子在均勻恒定磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) ① 運(yùn)動(dòng)方程 Btrqtrm ?????? ?? )()( （ 1） B? BkB??設(shè) 沿 Z軸正向： ,則 )( Brmqr ?????? ?? （ 2） 粒子受什么力作用？ ② 速度 用 k?標(biāo)乘（ 2）式： 0)()(. ????? tZBrmqkrk ?????????? 常量?Z?（ 3） 即沿 Z軸方向（ B?方向）的速度分量不變（為何不變？） ③ 動(dòng)能 將 r??點(diǎn)乘（ 1）式： 0)( ????? Btrrqrrm ?????????? 0)21( 2 ?rmdtd ?? 或 常量?? 221 rmT ??（ 4） 即粒子的動(dòng)能守恒（何故？） 方程（ 2）的分量式為 )( jxiymgBkzjyix ????????????? ???? ???????????0)()()()()(tztxtytytx????????（ 5） 式中 mqB??（ 6） 稱(chēng)為粒子的回旋頻率，是等粒子體物理學(xué)中一個(gè)重要的特征量。 ④ 運(yùn)動(dòng)軌跡 將（ 5）式中的第一、二兩式再對(duì) t求導(dǎo)，得 ???????????0)()(0)()(22tytytxtx???????? （８） （ 7） 積分可得 ?????????????????00)cos ()()sin()(yttyxttx???? 將（ 5）式中的第三式 0)( ?tz??對(duì) t積分二次得 （９） 0//)( zttz ?? ? （ 8）和（ 9）式即為粒子的軌跡方程，（ 8）式表示：帶電粒子 ⊥ 磁感應(yīng)線(xiàn)做橫向圓圈運(yùn)動(dòng)；（ 9）式表示：帶電粒子沿磁場(chǎng)方向作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。 0//)( zttz ?? ?00 , yx對(duì)于運(yùn)動(dòng)平面（ ）上的觀(guān)察者：粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是以（ ）為圓心（稱(chēng)為引導(dǎo)中心）的圓，圓的半徑（稱(chēng)為回旋半徑）為 Bqmr ??? ??? ?（ 10） 回旋方向與 q的正負(fù)有關(guān)（見(jiàn)圖 ） ⊕ y x z O B y y y (a ) (b) y y y x z O B y _ 圖 (a) (b) 圖 對(duì)于靜止觀(guān)察者：帶電粒子繞磁感應(yīng)線(xiàn)作螺旋運(yùn)動(dòng)，其軌跡形成一個(gè)螺旋管（見(jiàn)圖 ） ?E//EB? O O x z 圖 （ 2）帶電粒子在均勻恒定電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 設(shè)磁場(chǎng)和電場(chǎng)的方向?yàn)? ????????? kEjEkBB ??? ??// 牛頓力學(xué)方程的分量為 ???????????????//)()()()()(qEtzEmqtxtytytx???????? （ 11） 積分（ 11）中的第三式，很容易求得沿磁場(chǎng)方向的速度 ztmqEtz0//)( ????（ 12） 上式表明帶電粒子沿磁場(chǎng)方向作勻加速度運(yùn)動(dòng)。 為簡(jiǎn)化討論，設(shè) E// =0， jEE ?? ?。將（ 11）式中的第一、二兩式 對(duì) t再求導(dǎo)一次，然后連續(xù)積分兩次，可得 ???????????????)sin()()cos ()(????ttyBEttx??（ 13） 是由粒子初始條件確定的常數(shù)。（ 13）式表明： 粒子除 了圍繞其引導(dǎo)中心作圓周運(yùn)動(dòng)外，其引導(dǎo)中心還沿著 x軸方向漂移， 漂移速度為 ???式中 與 2BBEBEEF??? ??? ?? 或 （ 14） 在 受控核聚變 中，需要采用磁場(chǎng)來(lái)約束帶電粒子（等離子體），使之在 c810度高溫下聚集不散，磁場(chǎng)約束裝置設(shè)計(jì)的一個(gè)重要任務(wù)就是克服 帶電粒 子因漂移運(yùn)動(dòng)而引起的損失。 地球是一個(gè)磁體，周?chē)械卮艌?chǎng)存在。地球的大氣層中有由大量的帶電粒子（電子、正離子、負(fù)離子）構(gòu)成的電離層，電離層中的帶電粒子的正負(fù)總電荷相等，但不是中性的而是呈電性的稱(chēng)為等離子體。太陽(yáng)也是由等離子體組成的，不斷從太陽(yáng)吹向地球的所謂“太陽(yáng)風(fēng)”，實(shí)際上就是帶電粒子流，這些帶電粒子受到地磁場(chǎng)的作用時(shí)，形成豐富的物理現(xiàn)象。因此，本例討論的帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)很有實(shí)際意義的力學(xué)問(wèn)題。 解題指導(dǎo) (1)習(xí)題類(lèi)型及基本解法 牛頓動(dòng)力學(xué)問(wèn)題大體上分為兩類(lèi) : )(trr?? ???a? F? Ⅰ .已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 ,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度 、 加速度 、 和所受的力 ： 這是正問(wèn)題。 所受的力 ． 和加速度 基本解法 ： 運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的微分法，將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 )(trr ?? ???a? amF ??F? 對(duì)時(shí)間 t ，再由第二定律 求導(dǎo)數(shù)，即可求得速度 可求出質(zhì)點(diǎn) 和運(yùn)動(dòng)的初始條件（狀態(tài)），求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 F? )(trr ?? ???a? Ⅱ .已知質(zhì)點(diǎn)所受的力 、速度 、加速度 和軌跡。 這是逆問(wèn)題 。 基本解法： 根據(jù)牛頓第二定律建立方程，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的積分法或解微分方程方法，求出方程的解析解可得速度 ?? )(trr ?? ?)(trr ?? ?、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 ，消去 中的參數(shù) t可得軌跡方程。 （ 2）解題的思路和步驟 ①