【文章內(nèi)容簡介】 31023ababbamGaxxxmGadxxmGatabab??????????????? 積分 ? ????Z Za ZdZmGZdZ? ??0 2 得 令 代入上式： O Z m f 太陽中心 圖 [例 2] 兩個小環(huán)套在一懸掛著的大環(huán)上沿大環(huán)滑動 解：大環(huán)和小環(huán)各受哪些力作用？ 如圖 ，大環(huán)在豎直方向所受的合力為 F=T2Ncosθmˊg (1) 2cos ?? ?mRNmg ??（ 2） ????mR?sin（ 3） 小環(huán)沿大環(huán)運動的微分方程為 由（ 3）式，有 ???? dgdR sin??? 積分上式得 )cos1(sin21 02 ???? ? ??? ? gdgR ?（ 4） （ 4）式代入（ 2）式可得 )2cos3()cos1(2coscos 2????????????mgmgmgmRmgN ? （ 5） （ 5）式代入（ 1）式： gmmgTF ????? ?? cos)2cos3(2（ 6） 當(dāng)合力 F≥0時大環(huán)上升，這時 T=0，于是（ 6）式化為 0cos4cos660cos4cos622?????????mmmmmm????)2311(31cos mm ????? 上式成立的條件為 mmmm ????? 23,0231 即，因此： ① 大環(huán)可上升的條件為 mm ?? 23 ② 大環(huán)開始上升時小環(huán)所處的位置為 )]2311(31cos [0 mmarc ????? [例 3]質(zhì)點沿擺線 ?sin4 RS ?運動 解 :半徑為 R的圓周沿 x軸純滾動時 ,圓周上一點 P(x,y)的軌跡即為擺線 .本題給 出擺線方程 ,求質(zhì)點運動的加速度的大小 . 擺線方程通常表成直角坐標(biāo)形式 .如圖 : O R C Y D R C E P M 圖 X jRiRjRiRjRiRjRiRCMPCiRPMOPr??????????)cos1()sin()cos1()sin(cossin??????????????????????????? ????????)cos1()sin(???RyRx (1) 上式為 M點的運動學(xué)方程 (直角坐標(biāo)形式 ),稱為擺線 (式旋輪線 )參數(shù)方程 . ????????dRdRdRdRdydxdS2sin2cos1(2)sin(])cos1([)()( 2222????????積分得 )2cos1(4)( ?? ?? RS (2) ??????? ???? 232,223設(shè) x軸正向與軌道切線正向之間的夾角為 ,由圖 : 則 (2)式為 )sin1(4)]23cos(1[4)(?????????RRS 將弧坐標(biāo)原點移至 4R處 ,上式為 ?? sin4)( RS ? (3) (3)式為以弧長為變量的擺線方程 (軌跡方程 ) ???????s in24cos4????RaRS??????? ???? cos4cos4 Rd dRddS ??? ??????? cos4cos4 )cos4( 222 ?? RRRn ???nnn eReReaeaa ??????? ????? ??? cos4si n 22 ?????? 222 4 ?? ?Raaa n ??? 可見 :切向加速度和法向加速度隨質(zhì)點的位置改變變化 ,但總的加速度的大小是常量 ． [例 4] 變質(zhì)量方塊串的運動。 x y F O 圖 NF2T1T方塊串的總長為 L，單位質(zhì)量為 ρ，開 始時排列放在桌面上，右端正好排列到桌緣， 小方塊與桌面的動摩擦因數(shù)為 μ，用恒力 F沿水平方向從左端推動該列小方塊。求當(dāng)左端剛好達到桌緣時，這列小方塊的速度。 解：以桌面上（水平方向）和豎直方向兩部分方塊串為研究對象，它們的質(zhì)量在運動過程中不斷變化，是變質(zhì)量運動問題，其運動方程分別為 1)( TFFgxxxdtd ??? ??? ?（ 1） 2)( TFFygyydtd ??? ??（ 2） 在轉(zhuǎn)角處，方塊串微元 dldm ??的運動方程為 21 TTN FFFrdl?????? ????（ 3） 當(dāng) 0?? dldm ?時 021 ??? TTN FFF ??? NTT FF 2221 ??? 代入（ 1）、（ 2）式，并相減，得 ??Fgyxyyxxdtd ???? )()( ??因 yxLyxLyx ?? ?????? ,，代入上式，可得 yLggLFy )1()( ???? ????? yLggLFdy ydydtdydy ydy )1()( ?????? ???????? dyyLggLFydy ])1()[( ???? ????? 積分上式并利用初始條件 t=0時， 0,0 ?? yy ?，得 gLFLLgLgLFy)1(2])1()(2[ 2122????????????? [例 5]帶電粒子在電磁場中的運動 的電磁場中的運動規(guī)律。 ，磁感應(yīng)強度為 E?B? 求電荷量為 q，質(zhì)量為 m的帶電粒子在電場強度為 解：（ 1）帶電粒子在均勻恒定磁場中的運動 ① 運動方程 Btrqtrm ?????? ?? )()( （ 1） B? BkB??設(shè) 沿 Z軸正向： ,則 )( Brmqr ?????? ?? （ 2） 粒子受什么力作用？ ② 速度 用 k?標(biāo)乘（ 2）式： 0)()(. ????? tZBrmqkrk ?????????? 常量?Z?（ 3） 即沿 Z軸方向（ B?方向）的速度分量不變（為何不變？） ③ 動能 將 r??點乘（ 1）式： 0)( ????? Btrrqrrm ?????????? 0)21( 2 ?rmdtd ?? 或 常量?? 221 rmT ??（ 4） 即粒子的動能守恒（何故？） 方程（ 2）的分量式為 )( jxiymgBkzjyix ????????????? ???? ???????????0)()()()()(tztxtytytx????????（ 5） 式中 mqB??（ 6） 稱為粒子的回旋頻率，是等粒子體物理學(xué)中一個重要的特征量。 ④ 運動軌跡 將（ 5）式中的第一、二兩式再對 t求導(dǎo)，得 ???????????0)()(0)()(22tytytxtx???????? （８） （ 7） 積分可得 ?????????????????00)cos ()()sin()(yttyxttx???? 將（ 5）式中的第三式 0)( ?tz??對 t積分二次得 （９） 0//)( zttz ?? ? （ 8）和（ 9）式即為粒子的軌跡方程，（ 8）式表示：帶電粒子 ⊥ 磁感應(yīng)線做橫向圓圈運動；（ 9）式表示：帶電粒子沿磁場方向作勻速直線運動。 0//)( zttz ?? ?00 , yx對于運動平面（ ）上的觀察者：粒子的運動軌跡是以（ ）為圓心（稱為引導(dǎo)中心）的圓，圓的半徑（稱為回旋半徑）為 Bqmr ??? ??? ?（ 10） 回旋方向與 q的正負有關(guān)（見圖 ） ⊕ y x z O B y y y (a ) (b) y y y x z O B y _ 圖 (a) (b) 圖 對于靜止觀察者：帶電粒子繞磁感應(yīng)線作螺旋運動，其軌跡形成一個螺旋管（見圖 ） ?E//EB? O O x z 圖 （ 2）帶電粒子在均勻恒定電磁場中的運動 設(shè)磁場和電場的方向為 ????????? kEjEkBB ??? ??// 牛頓力學(xué)方程的分量為 ???????????????//)()()()()(qEtzEmqtxtytytx???????? （ 11） 積分（ 11）中的第三式，很容易求得沿磁場方向的速度 ztmqEtz0//)( ????（ 12） 上式表明帶電粒子沿磁場方向作勻加速度運動。 為簡化討論，設(shè) E// =0， jEE ?? ?。將（ 11）式中的第一、二兩式 對 t再求導(dǎo)一次，然后連續(xù)積分兩次，可得 ???????????????)sin()()cos ()(????ttyBEttx??（ 13） 是由粒子初始條件確定的常數(shù)。（ 13）式表明： 粒子除 了圍繞其引導(dǎo)中心作圓周運動外，其引導(dǎo)中心還沿著 x軸方向漂移， 漂移速度為 ???式中 與 2BBEBEEF??? ??? ?? 或 （ 14） 在 受控核聚變 中，需要采用磁場來約束帶電粒子（等離子體），使之在 c810度高溫下聚集不散，磁場約束裝置設(shè)計的一個重要任務(wù)就是克服 帶電粒 子因漂移運動而引起的損失。 地球是一個磁體，周圍有地磁場存在。地球的大氣層中有由大量的帶電粒子（電子、正離子、負離子）構(gòu)成的電離層，電離層中的帶電粒子的正負總電荷相等，但不是中性的而是呈電性的稱為等離子體。太陽也是由等離子體組成的，不斷從太陽吹向地球的所謂“太陽風(fēng)”，實際上就是帶電粒子流，這些帶電粒子受到地磁場的作用時，形成豐富的物理現(xiàn)象。因此，本例討論的帶電粒子在電磁場中的運動是一個很有實際意義的力學(xué)問題。 解題指導(dǎo) (1)習(xí)題類型及基本解法 牛頓動力學(xué)問題大體上分為兩類 : )(trr?? ???a? F? Ⅰ .已知質(zhì)點的運動學(xué)方程 ,求質(zhì)點的運動速度 、 加速度 、 和所受的力 ： 這是正問題。 所受的力 ． 和加速度 基本解法 ： 運用高等數(shù)學(xué)的微分法，將運動學(xué)方程 )(trr ?? ???a? amF ??F? 對時間 t ，再由第二定律 求導(dǎo)數(shù)，即可求得速度 可求出質(zhì)點 和運動的初始條件（狀態(tài)），求質(zhì)點的運動學(xué)方程 F? )(trr ?? ???a? Ⅱ .已知質(zhì)點所受的力 、速度 、加速度 和軌跡。 這是逆問題 。 基本解法： 根據(jù)牛頓第二定律建立方程，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的積分法或解微分方程方法，求出方程的解析解可得速度 ?? )(trr ?? ?)(trr ?? ?、運動學(xué)方程 ，消去 中的參數(shù) t可得軌跡方程。 （ 2）解題的思路和步驟 ①