山西省太原市20xx-20xx學年高二上學期期末數(shù)學試卷文科word版含解析(編輯修改稿)
2024-12-21 21:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 （ x） ＞ 0，且 g（﹣ 3） =0，則不等式 f（ x） g（ x） ＜ 0 的解集是（ ） A．（﹣ ∞，﹣ 3） ∪ （ 0， 3） B．（﹣ ∞，﹣ 3） ∪ （ 3， +∞） C．（﹣ 3， 0） ∪ （ 3， +∞） D．（﹣ 3， 0） ∪ （ 0， 3） 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)． 【分析】 構造函數(shù) h（ x） =f（ x） g（ x），利用已知可判斷出其奇偶性和單調(diào)性，進而即可得出不等式的解集． 【解答】 解：令 h（ x） =f（ x） g（ x），則 h（﹣ x） =f（﹣ x） g（﹣ x） =﹣ f（ x） g（ x） =﹣h（ x），因此函數(shù) h（ x）在 R 上是奇函數(shù)． ①∵ 當 x＜ 0時， h′（ x） =f′（ x） g（ x） +f（ x） g′（ x） ＞ 0， ∴ h（ x）在 x＜ 0 時單調(diào)遞增， 故函數(shù) h（ x）在 R 上單調(diào)遞增． ∵ h（﹣ 3） =f（﹣ 3） g（﹣ 3） =0， ∴ h（ x） =f（ x） g（ x） ＜ 0=h（﹣ 3）， ∴ x＜ ﹣ 3． ②當 x＞ 0 時，函數(shù) h（ x）在 R上是奇函數(shù)，可知： h（ x）在（ 0， +∞）上單調(diào)遞增，且 h（ 3） =﹣ h（﹣ 3） =0， ∴ h（ x） ＜ 0，的解集為（ 0， 3）． ∴ 不等式 f（ x） g（ x） ＜ 0 的解集是（﹣ ∞，﹣ 3） ∪ （ 0， 3）． 故選： A 12．過點 M（ 2，﹣ 1）作斜率為 的直線與橢圓 + =1（ a＞ b＞ 0）相交于 A， B 兩個不同點，若 M 是 AB 的中點，則該橢圓的離心率 e=（ ） A． B． C． D． 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì)． 【分析】 利用點差法，結合 M 是線段 AB 的中點，斜率為 = = ，即可求出橢圓的離心率． 【解答】 解：設 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），則 x1+x2=4， y1+y2=﹣ 2， A， B 兩個不同點代入橢圓方程，可得 + =1， + =1， 作差整理可得 + =0， ∵ 斜率為 = = ， ∴ a=2b， ∴ c= = b， ∴ e= = ． 故選： C． 二、填空題：本大題共 4 個小題，每小題 4 分 .、共 16分 . 13．拋物線 x2=4y 的焦點坐標為 （ 0， 1） ． 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì)． 【分析】 由拋物線 x2=4y 的焦點在 y 軸上，開口向上，且 2p=4，即可得到拋物線的焦點坐標． 【解答】 解：拋物線 x2=4y 的焦點在 y 軸上，開口向上，且 2p=4， ∴ ∴ 拋物線 x2=4y 的焦點坐標為（ 0， 1） 故答案為：（ 0， 1） 14．已知命題 p： ? x0∈ R， 3 =5，則￢ p 為 ?x∈ R， 3x≠5 ． 【考點】 命題的否定． 【分析】 由特稱命題的否定方法可得結論． 【解答】 解：由特稱命題的否定可知： ￢ p： ? x∈ R， 3x≠ 5， 故答案為： ? x∈ R， 3x≠ 5． 15．已知曲線 f（ x） =xex在點 P（ x0， f（ x0））處的切線與直線 y=x+1 平行，則點 P 的坐標為 （ 0， 0） ． 【考點】 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【分析】 求出 f（ x）的導數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，可得 x0為 x+1=e﹣ x的解，運用單調(diào)性可得方程的解，進而得到 P 的坐標． 【解答】 解： f（ x） =xex的導數(shù)為 f′（ x） =（ x+1） ex， 可得切 線的斜率為（ x0+1） ex0， 由切線與直線 y=x+1 平行，可得 （ x0+1） ex0=1， 即有 x0為 x+1=e﹣ x的解， 由 y=x+1﹣ e﹣ x，在 R 上遞增，且 x=0 時， y=0． 即有 x0=0， 則 P 的坐標為（ 0， 0）． 故答案為：（ 0， 0）． 16．已知 f（ x） =ax3+3x2﹣ 1 存在唯一的零點 x0，且 x0＜ 0，則實數(shù) a 的取值范圍是 （﹣∞，﹣ 2） ． 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)零點的判定定理． 【分析】 討論 a 的取值范圍，求函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的極值，根據(jù)函數(shù)極值和單調(diào)性之間的關系進行求解即可 ． 【解答】 解：（ i）當 a=0 時， f（ x） =﹣ 3x2+1，令 f（ x） =0，解得 x= ，函數(shù) f（ x）有兩個零點，舍去． （ ii）當 a≠ 0 時， f′（ x） =3ax2+6x=3ax（ x+ ），令 f′（ x） =0，解得 x=0 或﹣ ． ①當 a＜ 0 時，﹣ ＞ 0，當 x＞ ﹣ 或 x＜ 0， f′（ x） ＜ 0，此時函數(shù) f（ x）單調(diào)遞減；當 0＜ x＜ ﹣ 時， f′（ x） ＞ 0，此時函數(shù) f（ x）單調(diào)遞增． ∴ 故 x=﹣ 是函數(shù) f（ x）的極大值點， 0 是函數(shù) f（ x）的極小值點． ∵ 函數(shù) f（ x） =ax3+3x2﹣ 1 存在唯一的零點 x0，且 x0＜ 0，則 f（﹣ ） =﹣ + ﹣ 1=﹣ 1＜ 0， 即 a2＞ 4 得 a＞ 2（舍）或 a＜ ﹣ 2． ②當 a＞ 0 時，﹣ ＜ 0，當 x＜ ﹣ 或 x＞ 0 時， f′（ x） ＞ 0，此時函數(shù) f（ x）單調(diào)遞增； 當﹣ ＜ x＜ 0 時， f′（ x） ＜ 0，此時函數(shù) f（ x）單調(diào)遞減．
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