【文章內(nèi)容簡介】 的自由度是多少呢 ? 這就看 {yi} 之間有沒有線性約束關(guān)系，如果有 m個 (0mn)線性約束方程 a11y1+a12y2+… +a 1nyn = 0 a21y1+a22y2+… +a 2nyn = 0 … am1y1+am2y2+… +a mnyn = 0并且這 m個方程相互獨立，即方程系數(shù)矩陣的秩等于 m, 則 S的自由度是 n m.第一節(jié)：問題的提出自由度的提出 (4)：根據(jù)這個定義，如令 yi = xi x (i=1, 2, … , n)則顯然 {yi}之間有一個線性約束關(guān)系，即即 m = 1, a11 = a12 = … = a 1n = 1所以變差平方和的自由度 = n m = n 1第一節(jié)：問題的提出均方的概念：平均平方和 (簡稱均方 )等于變差平方和除以相應(yīng)的自由度 f.平均平方和以 MS表示，它的開方叫做均方差對例 MS = , 均方差為 對例 MS = ，均方差為 我們看到六爐和十爐的 MS是很相近的，這與工藝條件相同是吻合的，說明用 MS反映波動的大小是更為合理的。假設(shè)：單因素 A有 a個水平 A1， A2, … … , Aa，在水平 Ai (i=1, 2, … … , a) 下，進行 ni次獨立試驗，得到試驗指標的觀察值列于下表：我們假定在各個水平 Ai下的樣本來自具有相同方差 σ2，均值分別為 μi的正態(tài)總體 Xi~N(μi , σ2 )，其中 μi , σ2均為未知，并且不同水平 Ai下的樣本之間相互獨立?？梢匀〉孟旅娴木€性統(tǒng)計模型：xij = μ+δi +εij , i = 1, 2, … …, a。 j = 1, 2, … … , ni, εij ~ N (0, σ2)其中 δi = μi μ第二節(jié)：單因素試驗的方差分析方差分析的任務(wù)就是檢驗線性統(tǒng)計模型中 a個總體 N(μi,σ2)中的各 μi的相等性，即有 :原假設(shè) H0: μ1 =μ2 = … … =μa對立假設(shè) H1: μi =μj 至少有一對這樣的 i, j, 也就是下面的等價假設(shè)：H0: δ1 =δ2 =… … =δa = 0H1 : δi = 0 至少有一個 i第二節(jié)：單因素試驗的方差分析總離差平方和的分解 :記在水平 Ai 下的樣本均值為樣本數(shù)據(jù)的總平均值為總離差平方和為將 ST改寫并分解得第二節(jié)：單因素試驗的方差分析總離差平方和的分解 (2):上面展開式中的第三項為 0若記 SA= SE=則有： ST = SA + SEST表示全部試驗數(shù)據(jù)與總平均值之間的差異SA表示在 Ai水平下的樣本均值與總平均值之間的差異 , 是組間差SE表示在 Ai水平下的樣本均值與樣本值之間的差異 , 是組內(nèi)差， 它是由隨機誤差引起的。第二節(jié)：單因素試驗的方差分析自由度的概念 :在實際計算中，我們發(fā)現(xiàn)在同樣的波動程度下，數(shù)據(jù)多的平方和要大于數(shù)據(jù)少的平方和，因此僅用平方和來反映波動的大小還是不夠的。我們要設(shè)法消去數(shù)據(jù)個數(shù)的多少給平方和帶來的影響。為此引入了自由度的概念。一個直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項數(shù)，但應(yīng)把項數(shù)加以修正，這個修正的數(shù)就叫自由度。ST的自由度為 ( n 1)。SE的自由度為 ( n a)。SA的自由度為 ( a 1)。均方 :MSA = SA/ (a1)。 MSE = SE/ (na)第二節(jié)：單因素試驗的方差分析方差分析 :在 H0成立的條件下，取統(tǒng)計量 F = MSA/MSE ~ F (a 1, n a)對于給出的 α， 查出 Fα(a 1, n a)的值， 由樣本計算出 SA和 SE， 從而算出 F值。從而有如下判斷：若 F Fα (a 1, n a)， 則拒絕 H0；若 F Fα(a 1, n a)， 則接受 H0為了方便計算，我們采用下面的簡便計算公式：記 i= 1, 2, … … , a, 則有第二節(jié)：單因素試驗的方差分析方差分析表 :第二節(jié)：單因素試驗的方差分析例 1： (單因素的方差分析 )人造纖維的抗拉強度是否受摻入其中的棉花的百分比的影響是有疑問的?，F(xiàn)確定棉花百分比的 5個水平 : 15%, 20%, 25%, 30%, 35%。 每個水平中測 5個抗拉強度的值，列于下表。問：抗拉強度是否受摻入棉花百分比的影響 (α＝ )?第二節(jié)：單因素試驗的方差分析解 :設(shè)抗拉強度為 xij = μi+ εij , i, j = 1, 2, 3, 4, 5.原假設(shè) H0： μ1=μ2=μ3=μ4=μ5備選假設(shè) H1： μi=μj, 至少有一對 i, j.這里 a = 5, ni = 5 (i = 1, 2, … … , 5), n = 25ST, SA, SE的自由度分別為 24， 4， 20第二節(jié)：單因素試驗的方差分析解 (2):已給出 α=， 查表得 Fα(a1, na)=(4,20)= 這里 F==(4, 20)故拒絕原假設(shè) H0， 接受 H1: μi =μj說明棉花的百分比對人造纖維的抗拉強度有影響。第二節(jié)：單因素試驗的方差分析無交互作用的方差分析 :設(shè)兩因素 A， B。 A有 a個水平 A1， A2, … … , Aa， B有 b個水平， B1， B2, … …, Bb, 在每一個組合水平 (Ai, Bj)下，進行一次無重復試驗，得到試驗指標的觀察值列于下表：設(shè) Xij~N(μij , σ2 )，各 xij相互獨立?？梢匀〉孟旅娴木€性統(tǒng)計模型：xij = μ+αi +βj+εij , i = 1, 2, … …, a。 j = 1, 2, … … , b, εij ~ N (0, σ2), 各相互獨立，其中 μ, αi,βj ,σ2都是未知數(shù)第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析對這個線性模型，我們檢驗如下的假設(shè) HA0: α1 =α2 = … … =αa = 0 HA1: αi = 0 至少有一個 i, HB0: β1 =β2 =… … =βb = 0 HB1: βj= 0 至少有一個 j第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析總離差平方和的分解 :記在水平 Ai 下的樣本均值為記在水平 Bj 下的樣本均值為樣本數(shù)據(jù)的總平均值為總離差平方和為將 ST改寫并分解得記為 ST = SA (效應(yīng)平方和 )+ SB (效應(yīng)平方和 )+ SE (誤差平方和 )第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析自由度 :ST的自由度為 ( ab 1)。SA的自由度為 ( a 1)。SB的自由度為 ( b 1)。SE的自由度為 ( a 1)(b1)。均方 :第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析方差分析 :在 H0成立的條件下，取統(tǒng)計量對于給出的 α， 查出 Fα(a 1, (a 1)(b1)), Fα(b 1, (a 1)(b1))的值， 由樣本計算出 F1, F2值。從而有如下判斷：若 F 1 Fα (a 1, (a1)(b1))， 則拒絕 HA0， 否則就接受；若 F2 Fα (b 1, (a1)(b1))， 則拒絕 Hbo， 否則就接受；為了方便計算，我們采用下面的簡便計算公式：第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析方差分析表 :第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析例 2： (雙因素無交互作用的方差分析 )使用 4種燃料， 3種推進器作火箭射程試驗，每一種組合情況做一次試驗，則得火箭射程列在表中，試分析各種燃料 (Ai)與各種推進器 (Bj)對火箭射程有無顯著影響 (α=)第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析解 :設(shè)火箭的射程為 : xij =μ+αi+βj+εij, i =1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3原假設(shè) HA0: α１ =α２ =α３ =α４ =0 HB0: β１ =β２ =β３ =0備擇假設(shè) HA1:αi=0, 至少一個 i HB1:βj=0, 至少一個 j這里 a=4, b=3, ab=12第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析解 (2):給出的 α=, 查出 (3, 6)=, (2, 6) = 因為 F1=, F2=所以接受原假設(shè) HA0, HB0故不同的燃料、不同的推進器對火箭射程均無顯著影響。第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析有交互作用的方差分析 (分析過程略 ):自由度 :ST的自由度為 ( abn 1)。SA的自由度為 ( a 1)。SB的自由度為 ( b 1)。SAxB的自由度為 (a1)(b1):SE的自由度為 ab(n1)。均方 :第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析例 2： (雙因素無交互作用的方差分析 )使用 4種燃料， 3種推進器作火箭射程試驗，每一種組合情況做一次試驗，則得火箭射程列在表中，試分析各種燃料 (Ai)與各種推進器 (Bj)對火箭射程有無顯著影響 (α=)第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析解 :設(shè)火箭的射程為 : xij =μ+αi+βj+εij, i =1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3原假設(shè) HA0: α１ =α２ =α３ =α４ =0 HB0: β１ =β２ =β３ =0備擇假設(shè) HA1:αi=0, 至少一個 i HB1:βj=0, 至少一個 j這里 a=4, b=3, ab=12第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析解 (2):給出的 α=, 查出 (3, 6)=, (2, 6) = 因為 F1=, F2=所以接受原假設(shè) HA0, HB0故不同的燃料、不同的推進器對火箭射程均無顯著影響。第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析有交互作用的方差分析 (分析過程略 ):自由度 :ST的自由度為 ( abn 1)。SA的自由度為 ( a 1)。SB的自由度為 ( b 1)。SAxB的自由度為 (a1)(b1):SE的自由度為 ab(n1)。均方 :第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析有交互作用的方差分析 (2):簡化公式第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析有交互作用的方差分析 (3):方差分析表第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析為什么要進行因子設(shè)計 :很多試驗包含著兩個、三個或更多的因子。對這些因子產(chǎn)生的效果都要進行研究。使用因子設(shè)計方法，在每一個完全的試驗或試驗的多次重復中，各個因子的各個水平的所有可能的組合都要考慮。例如，假若因子 A有 a個水平，因子 B有 b個水平。完成全部試驗應(yīng)包含所有的 ab個組合。一個因子的效果是由因子水平的改變而引起的反應(yīng)的變化，經(jīng)常稱為主要效果。第四節(jié)：因子設(shè)計的一般概念例 :設(shè)某一試驗有兩個因子 A和 B，因子 A有兩個水平 A1， A2，因子 B兩個水平 B1， B2，試驗所得數(shù)據(jù)如表。試考察因子 A， B 的效果。解 : 對于第一種情況。因子 A的主要效果可看成是在 A的第一個水平下的平均反應(yīng)與在第二個水平下的平均反應(yīng)之差，即類似地，因子 B的主要效果是第四節(jié)：因子設(shè)計的一般概念解 :對于第二種情況。因子 A的主要效果是因子 B的主要效果是分別畫出這兩種情況的圖形： 交互作用是不能忽視的 有時它比因子的作用還 大。第四節(jié)：因子設(shè)計的一般概念什么是 2K因子設(shè)計 :假設(shè)試驗中共有 k個因子，每個因子都只有兩個水平。這些水平可以是數(shù)量性的，也可以不是數(shù)量性的 (如兩種操作方法 )。這種設(shè)計的安排總共有 2k個不同的組合，若每種組合下取一個觀察值，總觀察值共有 2K個，因此叫 2K因子設(shè)計。我們對 2K設(shè)計作如下假設(shè)：1) 因子是固定的；2) 設(shè)計是完全隨機的；3) 一般都滿足正態(tài)性假定；4) 反應(yīng)近似于線性；第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計22設(shè)計 :這是 2k因子設(shè)計中最簡單的一種設(shè)計 ,每個因子的兩個水平可以用 “低 ”和 “高 ”來作一般性的描述。為分析問題方便，我們用 A表示因子 A的效果， B表示因子 B的效果， AB表示交互作用 AxB的效果。 a表示因子 A在高水平、因子 B在低水平情況下觀察值之和； b表示因子 A在低水平、因子 B在高水平下的觀察值之和； ab表示因子 A， B都在高水平情況下觀察值之和， l表示因子 A， B都在低水平情況下觀察值之和。第五節(jié)： 2