【文章內容簡介】 的。 【 例 36】 有一輸水管道，如 圖 314所示。水自截面 11流向截面 22。測得截面 11的水流平均流速 m/s，已知 d1=， d2=1m，試求截面 22處的平均流速 為多少？ 【 解 】 由式（ 333）得 (m/s)圖 314 輸水管道第四節(jié) 理想流體的運動方程 一、理想流體的運動微分方程 在流動的理想流體中，取出一個微元平行六面體的微團，它的各邊長度分別為 dx、 dy和 dz，如 圖 315所示。由于是理想流體，沒有黏性，運動時不產生內摩擦力，所以作用在流體微團上的外力只有質量力和壓強。該壓強與靜壓強一樣，垂直向內，作用在流體微團的表面上。假設六面體形心的坐標為 x、 y、 z，壓強為 p。 先分析 x方向的運動，在垂直于 x軸的左右兩個平面中心點上的壓強各等于圖 315 推導歐拉運動微分方程用圖 平均壓強。設在六面體形心上的單位質量的質量力分量為fx、 fy和 fz ，則作用在微元平行六面體的流體微團上的質量力在軸方向的分量為 fxρdxdydz 又流體微團的加速度在 x軸上的投影為 ，則根據牛頓第二定律得 x軸方向的運動微分方程 將上式各項除以流體微團的流體質量 ρdxdydz ， 化簡后得： 同理 (340) 這就是理想流體的運動微分方程。 對于靜止的流體 ux=uy=uz=0，則由式（ 340）可以直接得出流體平衡微分方程，即歐拉平衡微分方程式（ 23）。因此歐拉平衡微分方程只是歐拉運動微分方程的一個特例。如果把加速度寫成展開式，可將歐拉運動微分方程寫成如下形式 (341) 在一般情況下，作用在流體上的質量力 fx、 fy和 fz 是已知的，對理想不可壓縮流體其密度 ρ為一常數。在這種情況下，式（ 341）中有四個未知數 ux、 uy、 uz和 p，而式（ 341）中有三個方程，再加上不可壓縮流體的連續(xù)性方程（ 330），就從理論上提供了求解這四個未知數的可能性。 三、理想流體微元流束的伯努利方程 理想流體的運動微分方程（ 341）只有在少數特殊情況下才能求解。在下列幾個假定條件下： (1) 理想流體的定常流動； (2)不可壓縮； (3)質量力有勢； (4)沿同一微元流束（也就是沿流線）積分。 即可求得理想流體微元流束的伯努利方程。 假定流體是定常流動，則，第四節(jié) 理想流體的運動方程 因此式 (335)可寫成 (336) 假如流體微團沿流線的微小位移 ds在三個坐標軸上的投影為 dx、 dy和 dz?，F用 dx、 dy和 dz分別乘以式（ 336）的第一式、第二式和第三式，則可得到 (337) 由流線微分方程 （ 315） 有 udy=vdx ydz=wdy (338) wdx=udz 將式（ 338）代入式（ 337）中的對應項，則得 (339) 將式（ 339）的三個方程相加，得到 (340) 由于式（ 340）中的 dx、 dy和 dz是流體微團沿流線微小位移 ds的三個分量，所以要沿流線（或微元流束）進行積分。 式（ 340)中的 假設質量力只有重力， fx=0， fy=0， fz=g，即 z軸垂直向上， oxy為水平面。則式 (340)可寫成 又假設為不可壓縮均質流體，即 ρ=常數，積分后得 或 (341) 式（ 341）稱為理想流體微元流束的伯努利方程。方程右邊的常數對不同的流線有不同的值。該方程的適用范圍 是：理想不可壓縮均質流體在重力作用下作定常流動，并沿同一流線（或微元流束）。若 2為同一條流線（或微元流束）上的任意兩點，則式（ 341）也可寫成 (342) 在特殊情況下，絕對靜止流體 V=0，由式 (341)可以得到靜力學基本方程 二、方程的物理意義和幾何意義 為了進一步理解理想流體微元流束的伯努利方程，現來敘述該方程的物理意義和幾何意義。 物理意義 理想流體微元流束的伯努利方程式（ 341）中，左端 前兩項的物理意義，在靜力學中已有闡述，即第一項 z表示單位重量流體所具有的位勢能；第二項 p/(ρg)表示單位重量流體的壓強勢能；第三項 V2/(2g)理解如下：由物理學可知，質量為 m的物體以速度 V運動時，所具有的動能為Mv2/2，則單位重量流體所具有的動能為 V2/(2g)即(mV2/2)/(mg)= V2/(2g) 。所以該項的物理意義為單位重量流體具有的動能。位勢能、壓強勢能和動能之和稱為機械能。因此，伯努利方程可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線（或微元流束）上各點的單位重量流體所具有的位勢能、壓強勢能和動能之和保持不變，即機械能是一常數，但位勢能、壓強勢能和動能三種能量之間可以相互轉換，所以伯努利方程是能量守恒定律在流體力學中的一種特殊表現形式。 幾何意義圖 理想流體微元流束的伯努利方程式（ 341）中，左端前兩項的幾何意義，同樣在靜力學中已有闡述，即第一項 z表示單位重量流體的位置水頭，第二項 p/(ρg)表示單位重量流體的壓強水頭，第三項 V2/(2g)與前兩項一樣也具有長度的量綱。它表示所研究流體由于具有速度 V，在無阻力的情況下，單位重量流體所能垂直上升的最大高度，稱之為速度水頭。位置水頭、壓強水頭和速度水頭之和稱為總水頭