現(xiàn)代電子理論培訓(xùn)教程(編輯修改稿)
2025-01-23 02:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 n(r). ∵ v(r)≠ v’(r) ， ∴ Ψ ≠ Ψ ’（除非 v’(r)v (r)=const） . ∵ Ψ 與 Ψ ’滿足不同的 Schr246。dinger 方程： H Ψ = E Ψ H’Ψ ’ = E’Ψ ’ ? 利用 基態(tài)能量最小原理 ，有(7)(8)(9)24HohenbergKohn定理的證明定理的證明即同時，把帶撇的與不帶撇的交換得或者(10)(11)可見 (10)與 (11)相互矛盾。表明 v’(r) 不可能產(chǎn)生同樣的 n(r) .所以 v(r) 是 n(r) 的唯一泛函。由于 v(r) 決定整個 H, 即系統(tǒng)的基態(tài)能量是 n(r) 的唯一泛函。 同理， T和 U也是 n(r) 的唯一泛函?？啥x：(12)式 (12)是一個普適函數(shù)，適于任何粒子系和任何外部勢。于是整個系統(tǒng)的基態(tài)能量泛函可寫為：(13)25HohenbergKohn定理－定理－ II定理 2：如果 n(r) 是體系正確的密度分布，則 E[n(r)]是最低的能 量，即體系的基態(tài)能量。證明：設(shè)有另一個 n’(r) ,粒子數(shù)與 n(r) 相同為 N. 則 實(shí)際計算是利用 能量變分原理 ，使系統(tǒng)能量達(dá)到最低（有一定精度要求）。由此求出體系的真正電荷密度 n(r) ,進(jìn)而計算體系的所有其它基態(tài)性質(zhì)。如，能帶結(jié)構(gòu)，晶格參數(shù)，體模量等等。(14) 能量泛函公式能量泛函公式系統(tǒng)的基態(tài)能量泛函中，普適函數(shù) F[n]可以把其包含的經(jīng)典 Coulomb能部分寫出：（ 15）其中 G[n]包括三部分：（ 16）（ 17）Ts[n]=密度為 n(r) 的 非相互作用 電子體系的 動能 。Exc[n]=密度為 n(r) 的 相互作用 電子體系的 交換關(guān)聯(lián)能 。Eselfenergy[n]=單個粒子的 自能 。應(yīng)當(dāng)扣除自能修正，下面暫時忽略這一修正。（ 18）27局域密度近似局域密度近似 (LDA) HK定理已經(jīng)建立了密度泛函理論（ DFT）的框架，但在實(shí)際執(zhí)行上遇到了嚴(yán)重困難。主要是 相互作用 電子體系的 交換關(guān)聯(lián)能 Exc[n]無法精確得到。 為了使 DFT理論能夠付諸實(shí)施， KohnSham提出了 局域密度近似 (Local Density Approximation, LDA)。本次只直接引用以便建立 KohnSham方程。28局域密度近似（局域密度近似（ LDA））LDA: 對于緩變的 n(r) 或 /和高電子密度情況，可采用如下近似：是 交換關(guān)聯(lián)能密度 。它可以從均勻自由電子氣的理論結(jié)果得到。對于不同的 r, 有不同的 n(r) .相應(yīng)的有不同的 。一種計算 的近似公式為（在 Hartree單位下）：rs是自由電子氣的電子 ”半徑 ”。(19)(20)(21)29 KohnSham方程方程利用 LDA式 (19), 能量泛函寫為：(22)上式考慮另一個電子密度 n’(r)。然后求 E[n’]對 n’的變分δE[n’] /δn’為最小。相當(dāng)于改變 n’(r) 使 E[n’] E[n]。先求 Ts[n’]:為寫出 Ts[n’]，考慮 v’(r) 為一個試驗(yàn)的單電子勢。可由 v’(r) 滿足的單粒子方程，解出 n’(r) 。(23)(24)30KohnSham方程方程(26)(25)于是能量泛函為(27)求 ，可得：31KohnSham方程方程 由此得到：或(28)(29)32KohnSham方程方程. 由此得到 KohnSham方程：εi=KohnSham本征值稱有效勢經(jīng)典 Coulomb勢交換關(guān)聯(lián)勢電子密度分布(30)KohnSham方程是一個自洽方程組。先提供初始電子密度分布n(r) , 它一般可由原子的 nat(r) 疊加而成。依次求出經(jīng)典 Coulomb勢、交換關(guān)聯(lián)勢、有效勢。再求解 KS方程。再由 KS波函數(shù)構(gòu)造新的電子密度分布。比較輸入與輸出的電子密度分布。如已自洽，便計算總能，輸出所有結(jié)果。33解解 KohnSham方程的流程圖方程的流程圖. nin(r) 總能總能
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1