【文章內容簡介】 , )R f s ds?? ?? ?可以得到： 110 1 21111 e xp( ) 1 e xp( )( 0 , ) e xp R???? ?? ? ? ??? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?這就是 NelsonSiegel模型的基本表達形式。當固定 時，通過 的不同組合，利用這個模型，可以推出四種不同形狀的零息票債券收益曲線：遞增、遞減、水平和倒置。 但是，這個模型無法推導出形狀更為復雜的收益曲線，例如 V形收益曲線和駝峰收益曲線。 0?12??和為了克服上述缺點， Svensson (1994)將上述模型擴展如下： 0 1 2 31 1 1 2 2( 0 , ) e xp( ) e xp( ) e xp( )f ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?于是，可以得到： 110 1 211123221 e xp( ) 1 e xp( )( 0 , ) e xp1 e xp( ) e xpR???? ?? ? ? ??? ????? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??????? ???? ???? ???? 4 . 0 3 . 0 2 . 0 1 . 00 . 01 . 02 . 03 . 04 . 05 . 06 . 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20%B0 B1 B2 Y i e l d動態(tài)利率期限結構模型 動態(tài)利率期限模型包括均衡模型和套利模型。 均衡模型是一種由均衡分析方法得出的模型，它從假設一些經濟 變量開始，推出短期無風險利率的一個過程，然后尋找該過程對 債券價格和期權價格的含義。 均衡模型利用以下三步來為利率或有要求權定價： ? 利用已建立好的因子模型來推導出理論零息票債券收益率曲線。 ? 利用參考債券的市場價格來校準模型并推出模型的參數值。 ? 最后，利用已確定的參數來為金融衍生品定價。 套利模型由無套利分析方法得出，它是利用市場上的價格信息來 推導出利率隨機微分方程的形式的。 均衡模型 根據狀態(tài)變量集中隨機變量的個數，可以將利率期限結構模型區(qū)分為單因素和兩 (多 )因素模型兩大類。 一般單因素模型 ( , ) ( , )t t t tdr t r dt t r dW????對 取不同的形式，得到了不同的模型。其一般形式如下： ( , ) ( , )ttt r t r??和 1 2 1 2( ) ( )t t t tdr r dt r dW?? ? ? ?? ? ? ?1?2?1?2?表 單因素模型總結 模型 布倫南和施瓦茨 (BrennenSchwartz,1979) ● ● ● 1 瓦西塞克 (Vasicek,1977) ● ● ● 1 克斯 英格爾索爾 羅斯 ( CIR,1985b) ● ● ● 默頓 (Merton,1973) ● ● 1 多塞 (Dothan,1978) ● 1 皮爾遜和孫 (PearsonSun,1994) ● ● ● ● Vasicek模型 假設短期利率的歷史數據服從 OrnsteinUhlenbeck過程，即： 1 2 1( ) ( )t t t t tdr r dt dW a b r dt dW? ? ? ?? ? ? ? ? ?在風險中性測度 Q條件下，得到利率 變化的過程為： tr ?()Qt t tdr a b r dt dW?? ? ?其中 Qbb a????通過求解偏微分方程或鞅方法，可以推導出在時間 T到期的貼現債券在時間 t的價格為： 12( , ) ( , ) e xp( ( , ) )tB t T A t T A t T r??其中， ? ?21 e xp ( )( , ) a T tA t Ta? ? ?? 2 2 2 2221 2( ( , ) ) ( / 2) ( , )( , ) e xp[ ]4QA t T T t a b A t TA t Taa??? ? ???于是，根據公式： 1( , ) l n ( , )R t B t t???? ? ?可以推導出起息時間為 t，剩余到期期限為 的貼現債券的利率，從而得出時間 t的收益率曲線。 ?貼現債券利率的波動率由下式給出： 1 e xp( )( , ) ( ) ( )aV t Va?? ? ??????CIR模型 CIR模型假設短期利率的風險中性過程為： ?()Qt t t tdr a b r dt r dW?? ? ? 于是，貼現債券價格可以表示為： 12( , ) ( , ) e xp( ( , ) )tB t T A t T A t T r??22 [ e xp( ( ) ) 1 ]( , )( ) [ e xp( ( ) ) 1 ] 2TtA t Ta T t?? ? ????? ? ? ? 22/1 2 e xp( ( ) ( ) / 2)( , ) [ ]( ) ( e xp( ( ) ) 1 ) 2 Qaba T tA t T a T t ???? ? ???? ? ? ? ?222a????其中， 貼現債券利率的波動率由下式給出： 22 ( , )( , ) tr A t tVt ??????套利模型 在套利模型中，假設在時間 T到期的貼現債券在時間 t的價格 的相對變化滿足如下 Ito過程： ( , )Bt T ( , ) ( , ) ( , ) 8( , ) tdB t T t T dt t T dWB t T ???? （ ）其中， 為貼現債券價格 在時間 t的預期瞬間收益； 為貼現債券價格在時間 t的瞬時波動； W為標準布朗運動。 ( , )tT? ( , )Bt T( , )tT?將方程 ()在等價鞅測度下寫成如下形式 ( , ) ?( , )( , ) ttdB t T r dt t T dWB t T ???其中， 為在另一個概率測度下的標準布朗運動。 ?W根據 Ito引例解上面隨機微分方程（ stochastic differential equation），得到： 20 0 01?( , ) ( 0 , ) e xp[ ( , ) ( , ) ]2t t tssB t T B T r ds s T dW